2直角三角形存在性問題(總17頁

1、直角三角形存在性問題【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1），點B坐標為（5,3），在x軸上找一點C使得ABC是直角三角形，求點C坐標【幾何法】兩線一圓得坐標（1）若A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C（直徑所對的圓周角為直角）重點還是如何求得點坐標，求法相同，以為例：【構造三垂直】求法相同，以為例：構造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似【代數(shù)法】表示線段構勾股還

2、剩下待求，不妨來求下：（1）表示點：設坐標為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線段：，；（3）分類討論：當為直角時，；（4）代入得方程：，解得：還有個需要用到一個教材上并沒有出現(xiàn)但是大家都知道的算法：互相垂直的兩直線斜率之積為-1考慮到直線與AB互相垂直，可得：，又直線過點A（1,1），可得解析式為：y=-2x+3，所以與x軸交點坐標為，即坐標為確實很簡便，但問題是這個公式出現(xiàn)在高中的教材上【小結】幾何法：（1）“兩線一圓”作出點；（2）構造三垂直相似，利用對應邊成比例求線段，必要時可設未知數(shù)代數(shù)法：（1）表示點A、B、C坐標；（2）表示線段AB、AC、BC；（3）分類討論A

3、B+AC=BC、AB+BC=AC、AC+BC=AB；（4）代入列方程，求解如果問題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等【三垂直構造等腰直角三角形】【2019蘭州中考（刪減）】通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題【模型呈現(xiàn)】如圖，在RtABC，ACB=90，將斜邊AB繞點A順時針旋轉得到AD，過點D作DEAC于點，可以推理得到ABCDAE，進而得到AC=DE，BC=AE我們把這個數(shù)學模型成為“K型”推理過程如下：【模型遷移】二次函數(shù)的圖像交軸于點A（-1,0），B（4,0）兩點，交軸于點動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點作軸交

4、直線于點，交拋物線于點，連接，設運動的時間為秒（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）在直線上存在一點，當是以為直角的等腰直角三角形時，求此時點的坐標 【分析】（1）；（2）本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作水平線，得三垂直全等設HP=a，PQ=b，則BQ=a，CH=b，由圖可知：，解得：故D點坐標為（1,3）同理可求此時D點坐標為（3,2）思路2：等腰直角的一半還是等腰直角如圖，取BC中點M點，以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點根據(jù)B點和M點坐標，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2，故P點坐標易求P點橫坐標同D點，故可求得D點坐

5、標【2017本溪中考】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點B（3,0），經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為，與y軸交點為D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）（1）求該拋物線的解析式（2）點在拋物線的對稱軸上運動，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點的坐標【分析】（1）；（2）當POQ為直角時，考慮Q點在對稱軸上，故過點Q向y軸作垂線，垂線段長為1，可知過點P向x軸作垂線，長度必為1，故P的縱坐標為1如下圖，不難求出P點坐標設P點坐標為，可得：解得：，（舍）如下圖，對應P點坐標分別為、當OPQ為直角時，如圖構造OMPPNQ，可得

6、：PM=QN設P點坐標為，則，QN=，若，解得：，（舍）若，解得：，（舍）如下圖，對應P點坐標分別為、對于構造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！也許能畫出大概位置，但如何能畫出所有情況，才是問題的關鍵其實只要再明確一點，構造出三垂直后，表示出一組對應邊，根據(jù)相等關系列方程求解即可【2019阜新中考】 如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式（2）點的坐標為，點為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值（3）點為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由

7、【分析】（1）；（2）連接AC，將四邊形面積拆為APC和ADC面積，考慮ADC面積為定值，故只需APC面積最大即可，鉛垂法可解；（3）過點N作NEx軸交x軸于E點，如圖1，過點M向NE作垂線交EN延長線于F點，易證OENNFM，可得：NE=FM設N點坐標為，則，解得：（圖1），（圖4）對應N點坐標分別為、；，解得：（圖2）、（圖3）對應N點坐標分別為、當直角頂點不確定時，問題的一大難點是找出所有情況，而事實上，所有的情況都可以歸結為同一個方程：NE=FM故只需在用點坐標表示線段時加上絕對值，便可計算出可能存在的其他情況一般直角三角形存在性，同樣構造三垂直，區(qū)別于等腰直角構造的三垂直全等，沒了等

8、腰的條件只能得到三垂直相似而題型的變化在于動點或許在某條直線上，也可能在拋物線上等【對稱軸上尋找點】（2018安順中考）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標；（3）設點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點坐標【分析】（1）直線BC：拋物線：；（2）將軍飲馬問題，考慮到M點在對稱軸上，且點A關于對稱軸的對稱點為點B，故MA+MC=MB+MC，當B、M、C三點共線時，M到A和C的距離之后最小，此時M點坐標為（-1，2）；

9、（3）兩圓一線作點 P：以為例，構造PNBBMC，考慮到BM=MC=3，BN=PN=2，故點坐標為（-1，-2）易求坐標為（1,4）、求法類似，下求：已知PN=1，PM=2，設CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由圖可知：b-a=3，故可解：，（舍），對應坐標為類似可求坐標為【拋物線上尋找點】（2018懷化中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是該拋物線的頂點（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）請在軸上找一點，使的周長最小，求出點的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點，使以點，為頂點，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點的坐

10、標；若不存在，請說明理由【分析】（1）拋物線：，直線AC：y=3x+3；（2）看圖，M點坐標為（0,3）與C點重合了（3）考慮到AC為直角邊，故分別過A、C作AC的垂線，與拋物線交點即為所求P點，有如下兩種情況，先求過A點所作垂線得到的點P：設P點坐標為，則PM=m+1，AM=，易證PMAANC，且AN=3，CN=1，解得：，（舍），故第1個P點坐標為；再求過點C所作垂線得到的點P：，CN=m，解得：，（舍），故第2個P點坐標為綜上所述，P點坐標為或【動點還可能在】（2019鄂爾多斯中考）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線與該拋物線交于，兩點（1）求拋物線的解析式（2）是直線下方拋物線上的一個動點，作于點，求的最大值（3）以點為圓心，1為半徑作圓，上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點坐標；若不存在，說明理由【分析】（1）；（2）過點P作x軸的垂線交EF于點Q，所謂PH最大，即PQ最大，易解（3）CM為直角邊，故點C可能為直角頂點，點M也可能為直角頂點當為直角時，如圖：不難求得CF=1，BF=2，又，可得：，故坐標為；同理可求坐標為當BMC為直角時，