高中數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法

1、導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點(diǎn)題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1 . f(x) x3 3x22在區(qū)間1,1上的最大值是222 .已知函數(shù)y f(x) x(x c)在x 2處有極大值，則常數(shù) c= 6;33.函數(shù)y 1 3x x有極小值i ,極大值 3題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程1 .曲線y 4x x3在點(diǎn)1, 3處的切線方程是 y x 242 .若曲線f(x) x x在p點(diǎn)處的切線平行于直線3x v 0,則p點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, 0)

2、43,若曲線y x的一條切線l與直線x 4y 8 0垂直，則l的方程為4x y 3 04.求下列直線的方程：322(1)曲線y x x1在p(-1,1)處的切線；(2)曲線y x過(guò)點(diǎn)p(3,5)的切線；解.(1) 點(diǎn)p( 1,1)在曲線 yx3x21上，y/3x22x ky/ |x1321所以切線方程為y 1 x 1，即x y 2 0(2)顯然點(diǎn)p (3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為 a(x0，y0),則y0 x02又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y/ 2x, 所以過(guò)a(x0,y0)點(diǎn)的切線的斜率為ky/|xx。2x0,又切線過(guò)a(x0,y0)、p(3,5)點(diǎn)，所以有2x03x01 或x0北x0 3，由聯(lián)立方

3、程組得，v。1y025,即切點(diǎn)為(1, 1)時(shí)，切線斜率為k1 2x0 2;當(dāng)切點(diǎn)為(5, 25)時(shí)，切線斜率為k2 2x0 10 ;所以所求的切線有兩條，方程分另i為 y 1 2(x 1)或y 25 10(x 5),即y 2x 1 或y 10x 25題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值321 .已知函數(shù)f(x) x ax bx c,過(guò)曲線y f (x)上的點(diǎn)p(1, f (1)的切線方程為y=3x+1(i)若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達(dá)式；(n)在(i)的條件下，求函數(shù) y f(x)在3, 1上的最大值；(出)若函數(shù)y f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) b的取

4、值范圍 解.(1)由 f (x) x3 ax2 bx c,求導(dǎo)數(shù)得 f (x) 3x2 2ax b.過(guò)y f (x)上點(diǎn)p3 f)的切線方程為：y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而過(guò)y f (x)上p1, f(1)的切線方程為y 3x 1.第3頁(yè)共61頁(yè)3 2a b 3即2a b 0a c 3. y 川在*2時(shí)有極值，故f ( 2) 0, 4ab 12 由得 a=2 , b=- 4, c=5f (x) x3 2x2 4x 5.2 f (x) 3x4x 4 (3x 2)(x 2).3 x2時(shí)，f(x) 0;當(dāng) 2- 2當(dāng) 3 x 1 時(shí)

5、，f(x) 0. f(x)極大2一， 一x 2時(shí)，f(x) 0；3f(2) 13 又 f 4,f(x)在3, 1上最大值是13。b,由知2a+b=0。2(3) y=f(x)在2, 1上單調(diào)遞增，又 f (x) 3x 2ax依題意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) 0,即 3x2 bx b 0.bx 1 時(shí)，f(x)minf (1) 3 b b 0, b 6當(dāng) 6;x b2日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b當(dāng) 6;6 g12b b2 加2 1 時(shí)，所0,則0 b 6.當(dāng) b12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是q )3 2.2 .已知三次函數(shù)f(x) x ax bx

6、c在x 1和x 1時(shí)取極值，且f( 2)4.(1) 求函數(shù)yf (x) 的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)yf (x) 的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù) g(x) f(x m) 4m(m 0)在區(qū)間 m 3,n 上的值域?yàn)?4,16,試求m、n應(yīng)滿足的條件.解： (1)2f (x) 3x2 2ax b，1, 1是 3x2 2ax b 0的兩個(gè)根，解得， a 0, b 33再由 f ( 2)4 可彳導(dǎo) c 2 . f(x) x 3x 2(2)f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) 1 x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) x

7、 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0 .，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1上是增函數(shù);在區(qū)間 1，1上是減函數(shù)；在區(qū)間1，)上是增函數(shù).函數(shù) f(x) 的極大值是f( 1) 0 ，極小值是f(1)4(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 m個(gè)單位，向上平移所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間 3，n m上的值域?yàn)?4 4m，16 4ml (m 而 f( 3)20 ,4 4m 20 ,即 m 4 .于是，函數(shù)f(x) 在區(qū)間 3，n 4 上的值域?yàn)?20， 0 令f(x)0得x 1或x 2.由f(x)的單調(diào)性知，1加4 2j 綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m 4,且3別n 6.4

8、m個(gè)單位得到的,0)3 頸jn 63 設(shè)函數(shù)f(x) x(x a)(x b) (1)若f(x)的圖象與直線5x y 8 0相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,且求實(shí)數(shù) a， b 的值；f (x) 在 x 1 處取極值，第 5 頁(yè) 共 61 頁(yè)(2)當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論 a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由題意f5，f,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)當(dāng)b=1 時(shí)，令f (x) 得方程 3x2 2(a 1)x a 0.2因 4(a a 1),故萬(wàn)程有兩個(gè)不同實(shí)根 xi，x2.不妨設(shè)xix2,由f (x) 3(x xi)(x x2)可

9、判斷f (x)的符號(hào)如下:當(dāng) x x1 時(shí)，f(x) ；當(dāng) x1因此x1是極大值點(diǎn),x x2時(shí)，f(x)v0；當(dāng) x x2時(shí)，f(x)0x2是極小值點(diǎn).，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象/1加左圖臬f 2或kv 2時(shí)，方程f(t) k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k= 2或k=- 2時(shí)，方程f k=0有兩解;11 當(dāng)2 v k1, f (x) 1,且 f (f (x。) x0,求證：f(x0) x0.22解：(1) y f (x) 3x a,若f(x)在1,上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須y 。，即a 3x，這樣的實(shí)數(shù)a不存在.故f (x)在1

10、，上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)在1，上是單調(diào)遞增函數(shù)，則aw 3x2,2由于x 1，故3x3.從而oa0,即 3x2 bx b 0.bx 1 時(shí)，f(x)minf (1) 3 b b 0, b 6當(dāng) 6;x b2日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b當(dāng) 6;6 g12b b2 加2 1 時(shí)，所0,則0 b 6.當(dāng) b12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是q )3 2.2 .已知三次函數(shù)f(x) x ax bx c在x 1和x 1時(shí)取極值，且f( 2)4.(1) 求函數(shù)yf (x) 的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)yf (x) 的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù) g(x) f(x

11、m) 4m(m 0)在區(qū)間 m 3,n 上的值域?yàn)?4,16,試求m、n應(yīng)滿足的條件.解： (1)2f (x) 3x2 2ax b，1, 1是 3x2 2ax b 0的兩個(gè)根，解得， a 0, b 33再由 f ( 2)4 可彳導(dǎo) c 2 . f(x) x 3x 2(2)f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) 1 x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0 .，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1上是增函數(shù);在區(qū)間 1，1上是減函數(shù)；在區(qū)間1，)上是增函數(shù).函數(shù) f(x)

12、 的極大值是f( 1) 0 ，極小值是f(1)4(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 m個(gè)單位，向上平移所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間 3，n m上的值域?yàn)?4 4m，16 4ml (m 而 f( 3)20 ,4 4m 20 ,即 m 4 .于是，函數(shù)f(x) 在區(qū)間 3，n 4 上的值域?yàn)?20， 0 令f(x)0得x 1或x 2.由f(x)的單調(diào)性知，1加4 2j 綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m 4,且3別n 6.4 m個(gè)單位得到的,0)3 頸jn 63 設(shè)函數(shù)f(x) x(x a)(x b) (1)若f(x)的圖象與直線5x y 8 0相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,且求實(shí)數(shù) a， b

13、 的值；f (x) 在 x 1 處取極值，第 20 頁(yè) 共 61 頁(yè)(2)當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論 a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由題意f5，f,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)當(dāng)b=1 時(shí)，令f (x) 得方程 3x2 2(a 1)x a 0.2因 4(a a 1),故萬(wàn)程有兩個(gè)不同實(shí)根 xi，x2.不妨設(shè)xix2,由f (x) 3(x xi)(x x2)可判斷f (x)的符號(hào)如下:當(dāng) x x1 時(shí)，f(x) ；當(dāng) x1因此x1是極大值點(diǎn),x x2時(shí)，f(x)v0；當(dāng) x x2時(shí)，f(x)0x2是極小值點(diǎn).，當(dāng)b=

14、1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象/1加左圖臬f 2或kv 2時(shí)，方程f(t) k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k= 2或k=- 2時(shí)，方程f k=0有兩解;11 當(dāng)2 v k1, f (x) 1,且 f (f (x。) x0,求證：f(x0) x0.22解：(1) y f (x) 3x a,若f(x)在1,上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須y 。，即a 3x，這樣的實(shí)數(shù)a不存在.故f (x)在1，上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)在1，上是單調(diào)遞增函數(shù)，則aw 3x2,2由于x 1，故3x3.從而oa0,即 3x2 bx b 0.bx 1 時(shí)，f(x)

15、min f (1) 3 b b 0, b 6當(dāng) 6x b2日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b當(dāng) 622 1 時(shí)，f(x)min 0,則0 b 6.當(dāng) b12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是q )322.已知三次函數(shù)f (x) x ax bx c在x 1和x 1時(shí)取極值，且f( 2)4.(1) 求函數(shù)y f (x) 的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)y f (x) 的單調(diào)區(qū)間和極值； 若函數(shù)g(x) f(x m) 4m(m 0)在區(qū)間m 3，n上的值域?yàn)?，16,試求m、n應(yīng)滿足 的條件2解： (1) f (x) 3x 2ax b ，2由題意得， 1, 1 是 3x 2ax b 0

16、 的兩個(gè)根，解得， a 0, b 3 3再由 f( 2)4 可彳導(dǎo) c 2. f (x) x 3x 2 .2(3) f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) ，當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) x1 時(shí)，f (x) 0 ；當(dāng) 1 x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) 0 ；當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0. .函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1上是增函數(shù)；在區(qū)間1，1上是減函數(shù)；在區(qū)間1，)上是增函數(shù).函數(shù) f(x) 的極大值是f( 1) 0 ，極小值是f(1)4 (3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 m個(gè)單位，向上平移 4m個(gè)單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在

17、區(qū)間3，n m上的值域?yàn)? 4m，16 4m ( m 0).而 f( 3)20 , .4 4m 20 ,即 m 4 .于是，函數(shù)f(x) 在區(qū)間 3，n 4 上的值域?yàn)?20， 0 令f(x) 0得x 1或x 2.由f(x)的單調(diào)性知，n 4 2,即3頸jn 6.綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m 4,且3荊n 6.(4) 設(shè)函數(shù)f(x) x(x a)(x b) (1)若f(x)的圖象與直線5x y 8 0相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2 ,且 f(x)在x 1處取極值,求實(shí)數(shù)a, b的值;(2)當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論 a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn). 2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由題意f (2)5, f0,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)當(dāng) b=1 時(shí)，令f (x)。得方程 3x2 2(a 1)x a 0. 2因 4(a a 1) 0，故方程有兩個(gè)不同實(shí)根x1，x2 .不妨設(shè)x1 x2,由f (x) 3(x x1)(x x2)可判斷f (x)的符號(hào)如下：當(dāng) x x1時(shí)，f (x) 0 ；當(dāng) x x x2時(shí)，f (x) v 0 ；當(dāng) x x2時(shí)，f (x) 0因此x1是極大值點(diǎn)，x2是極小值點(diǎn).，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的 極值點(diǎn)。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1 .如右圖：是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f