高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)28求空間距離

1、難點(diǎn)28求空間距離空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線(xiàn)、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.難點(diǎn)磁場(chǎng)()如圖，已知 abcd 是矩形，ab=a,ad=b,pa，平面 abcd , pa=2c,q 是 pa 的 中占 . i ef |2a 0)2(2)oe (0,2 22a a)2 (0422a),of (a, a,0)44a)2%, ef 42oe of 0 ,a 42. 2. 2(ta)(ta) 7a 0求：(1)q到bd的距離；(2)p到平面bqd的距離.案例探究例1把正方形abcd沿對(duì)角線(xiàn)ac折起成直二面角，點(diǎn) e、f分別是ad、bc的中 點(diǎn)，點(diǎn)

2、o是原正方形的中心，求：(1)ef的長(zhǎng)；(2)折起后/ eof的大小.命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決立體幾 何問(wèn)題，屬*級(jí)題目.知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公式錯(cuò)解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系.其中必須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直.技巧與方法：建系方式有多種，其中以。點(diǎn)為原點(diǎn)，以ob、oc、od的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡(jiǎn)單.解：如圖，以o點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系oxyz,設(shè)正方形abcd邊長(zhǎng)為a,則a(0,2、22a, a),f( a, a,0)2. 2 八 .222a,0),b( a,0,0),c(0, - a,0),d(0,0, a),e(0,-

3、|oe| a，|of | oe ofcos oe,of；|oe |of | ./ eof=120例2正方體abcdaibicidi的棱長(zhǎng)為1,求異面直線(xiàn) aici與abi間的距離.命題意圖：本題主要考查異面直線(xiàn)間距離的求法，屬*級(jí)題目知識(shí)依托：求異面直線(xiàn)的距離， 可求兩異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)，或轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)面距離，或面面距離，亦可由最值法求得 .錯(cuò)解分析：本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為oib是aic與abi的距離，這主要是對(duì)異面直線(xiàn)定義不熟悉，異面直線(xiàn)的距離是與兩條異面直線(xiàn)垂直相交的直線(xiàn)上垂足間的距離技巧與方法：求異面直線(xiàn)的距離，有時(shí)較難作出它們的公垂線(xiàn)，故通常采用化歸思想， 轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)面距、面面距、或由最值法求得

4、.解法一：如圖，連結(jié) aci,在正方體 aci 中，aici /ac,，aici/平面 abic, /. a1c1 與平面abic間的距離等于異面直線(xiàn) aici與abi間的距離.連結(jié) bidi、bd,設(shè) bidin aici=oi,bdaac=o. acxbd, acxddi, . . ac,平面 bbidid 平面 abic,平面 bbidid,連結(jié) bio,則平面 abica平面 bbidid=bio作 oigbio 于 g,則 oigl平面 abicoig為直線(xiàn)aici與平面abic間的距離，即為異面直線(xiàn)aici與abi間的距離.在 rtaooibi 中，. oibi=22 , ooi=

5、i，.二 obi=ooi2 oib；=近22 .oig=oi oibi e3,即異面直線(xiàn)aici與abi間距離為w3 .obi33解法二：如圖，在aic上任取一點(diǎn) m,作mnabi于n,作mraibi于r,連結(jié)rn,.平面 aibicidi,平面 aiabbi,，mr，平面 aiabbi, mrxabi abi rn,設(shè) air=x，則 rbi=i x- / ciaibi= z abiai=45 ,2mn mr2 rn2. x2 ；(i x)2mr=x,rn=nbi= (i x)3/i、2i、-(x-)-(0xi)233當(dāng)x=:時(shí)，mn有最小值上3即異面直線(xiàn)aici與abi距離為 333錦囊妙

6、記空間中的距離主要指以下七種：(1)兩點(diǎn)之間的距離.(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.(3)點(diǎn)到平面的距離.(4)兩條平行線(xiàn)間的距離.(5)兩條異面直線(xiàn)間的距離.(6)平面的平行直線(xiàn)與平面之間的距離.(7)兩個(gè)平行平面之間的距離 .七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，平行線(xiàn)面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線(xiàn)間的距離是難點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離：(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線(xiàn)，求垂線(xiàn)段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離

7、.(3)體積法.求異面直線(xiàn)的距離：(1)定義法，即求公垂線(xiàn)段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)化成求直線(xiàn)與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線(xiàn)的距離是分別在兩條異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離中最小的.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題面角1.()正方形abcd邊長(zhǎng)為2, e、f分別是ab和cd的中點(diǎn)，將正方形沿 ef (如圖)，m為矩形aefd內(nèi)一點(diǎn)，如果/ mbe=/mbc, mb和平面bcf所成角的正切值為1,，八一一，-,那么點(diǎn)m到直線(xiàn)ef的距離為()2222 .()三棱柱 abca1b1c1 中，aa1=1, ab=4, bc=3 , /abc=90，設(shè)平面 a1bc1 與平面abc的交線(xiàn)為l ,則a1c1與l的距

8、離為()a. ,10b. .11c.2.6d.2.4二、填空題3 .(* )如左下圖，空間四點(diǎn)a、b、c、d中，每?jī)牲c(diǎn)所連線(xiàn)段的長(zhǎng)都等于a,動(dòng)點(diǎn)p在線(xiàn)段ab上，動(dòng)點(diǎn)q在線(xiàn)段cd上，則p與q的最短距離為 .4 .()如右上圖，abcd與abef均是正方形，如果二面角e-ab-c的度數(shù)為30 ,那么 ef與平面 abcd的距離為 .三、解答題5 .(* )在長(zhǎng)方體 abcdaibicidi 中，ab=4, bc=3, cci=2,如圖:(1)求證：平面 aibci/平面 acdi;(2)求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離；求點(diǎn)bi到平面aibci的距離.6 .(* )已知正四棱柱 abcdaibici

9、di,點(diǎn)e在棱did上, 截面eac/dib且面eac與底面abcd所成的角為45 ,ab=a，求：截面eac的面積；(2)異面直線(xiàn)aibi與ac之間的距離；(3)三棱錐bi-eac的體積.7 .()如圖，已知三棱柱 aibici-abc的底面是邊長(zhǎng)為 2的 正三角形，側(cè)棱 aia與ab、ac均成45角，且 aiexbib于e, aif ，cci 于 f.求點(diǎn)a到平面bibcci的距離；(2)當(dāng)aai多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn) ai到平面abc與平面bibcci的距離相等.6 .()如圖，在梯形 abcd 中，ad/bc, z abc= ,ab= - ad = a,23,paw abcd 且 pa=a.2 l

10、/ adc =arccos , 5 5(i)求異面直線(xiàn) ad與pc間的距離；6(2)在線(xiàn)段ad上是否存在一點(diǎn)f,使點(diǎn)a到平面pcf的距離為參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)e為垂足解：(i)在矩形 abcd中，作 aexbd ,連結(jié)qe,qa，平面abcd,由三垂線(xiàn)定理得 qexbeqe的長(zhǎng)為q到bd的距離在矩形 abcd 中，ab=a,ad=b,ab, a2 b2，一， 一 1在 rtqae 中，qa=-pa=cqe= , c22. 2a b2-2a b2.2距離為2a bc2. 2 .a b(2)解法一：二平面 bqd經(jīng)過(guò)線(xiàn)段pa的中點(diǎn)，p到平面bqd的距離等于 a到平面bqd的距離在4aqe中，作 ahx

11、qe, h為垂足. bd，ae,bd，qe,.bd，平面 aqe . bdlah. ahl平面 bqe,即ah為a到平面 bqd的距離.ab在 rtaaqe 中，aq=c,ae=2.2a b. ah=abc,2 .2. 22. 2,(a b )c a bp到平面bd的距離為abc/ 22、22.2,(a b )c a b解法二：設(shè)點(diǎn) a到平面qbd的距離為h,由va-bqd=vq-abd,得-s；a bqd h= - saabd aq 33s abd aqabch=sbqd.(a2 b2)c2 a2b2殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：過(guò)點(diǎn) m作mm ef,則mm ，平面bcf. / mbe=z mb

12、c.bm為/ ebc為角平分線(xiàn),/ebm =45 ,bm = 72，從而 mn = 答案：a2.解析：交線(xiàn)l過(guò)b與ac平行，作cdl 于d,連cid,則cid為aici與l的距離, 而cd等于ac上的高，即cd = 12,rhc1cd中易求得cid= 13=2.6答案：c二、3.解析：以a、b、c、d為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取p、q2分別為ab、cd的中點(diǎn)，因?yàn)?aq=bq=a,，pqab,同理可得pqxcd,故線(xiàn)段pq的長(zhǎng)為p、q兩點(diǎn)間的最短距離，在rta apq中，pq=：aq2 ap2號(hào)a)2 (歹答案：a24.解析：顯然/ fad是二面角eab c的平面角，z fad

13、=30 于g,則g必在 ad上，由ef /平面abcd .，過(guò)f作fg，平面abcdafg為ef與平面abcd的距離，即fg=-2答案：a2三、5.(i)證明：由于 bci/adi,貝u bci/平面 acdi 同理，aib/平面acdi,則平面 aibci/平面acdi(2)解：設(shè)兩平行平面 aibci與acdi間的距離為d,則d等于di到平面aibci的距離.易求 aici=5, aib=2 %5 , bci= y1,則 cosaibci=，貝u sinaibci=，貝u s aiblci = v 6i ,i. i ii2,6i由于vdi abci vb acidi ,則1s abci d

14、=w4八口戶(hù)。) bbi,代入求得d = 一:，即兩平 33 26 1r行平面間的距離為12烏.6i(3)解：由于線(xiàn)段bidi被平面aibci所平分，則bi、di到平面aibci的距離相等，則由(2)知點(diǎn)bi到平面aibci的距離等于6.解：(i)連結(jié)db交ac于o,底面abcd是正方形 doxac,又 edw abcd eoxac,即/ eod=45i2._6i.6i連結(jié)eo,2又 do = -a(2)aia，底面 abcd,do, 2=a,&eac= acos452 aiaxac,又 aiaxaibi1 aia是異面直線(xiàn) aibi與ac間的公垂線(xiàn)又 eo/bdi,。為 bd 中點(diǎn)，dib=

15、2eo=2a-did=2 a,小曲與ac距離為v2 a連結(jié)bid交dib于p,交eo于q,推證出 bid! eac一一 八一3，biq是三棱錐 bieac的圖，得 biq=2a、,i 2 2 32 3vbi eac 3 -a -a-a7 .解：(i) / bbixaie, ccixaif, bb1/cc1，bbi,平面 aief即面 aief，面 bbicic在 rtmiebi 中, /aibie=45 , aibi=a2口, 22 aie= a,同理 aif=a,又 ef=a, . . aie= a222-2同理 aif= a,又 ef=a2 . eaif為等腰直角三角形，/ eaif=90

16、過(guò)ai作ainef,則 n為ef中點(diǎn)，且 ain,平面bccibi即ain為點(diǎn)ai到平面bccibi的距離ain= a22a又,aai/面bccib, a到平面bccibi的距離為 一2，a=2, 所求距離為2(2)設(shè)bc、bici的中點(diǎn)分別為 d、di,連結(jié)ad、ddi和aidi,則dd i必過(guò)點(diǎn)n,易證 add iai為平行四邊形.bicidid,biciainbici,平面 addiai bc，平面 add 1al得平面abc,平面add iai,過(guò)ai作aiml平面abc,交ad于m ,若 aim=ain,又 / aiam = /aidin, z amai = z aindi=90 .

17、 amaia aindi,，aai=aidi= j3,即當(dāng) aai=73 時(shí)滿(mǎn)足條件.8 .解：(i) / bc / ad,bc 面 pbc,，ad/面 pbc從而ad與pc間的距離就是直線(xiàn) ad與平面pbc間的距離.過(guò) a 作 aepb,又 ae bc.ael平面 pbc, ae為所求.在等腰直角三角形 pab中，pa=ab=a.22-ae= a2 _(2)作 cm /ab,由已知 cosadc=gj5tanadc=,即 cm= - dm 22abcm 為正方形，ac= v,2 a,pc= j3 a6過(guò) a 作 ah，pc,在 rtafac 中，得 ah= 3下面在ad上找一點(diǎn)f,使pccf

18、取md中點(diǎn)f, acm、 fcm均為等腰直角三角形 ./acm+/fcm =45 +45 =90fc，ac,即fc，pc.在ad上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)f.學(xué)法指導(dǎo)立體幾何中的策略思想及方法立體幾何中的策略思想及方法近年來(lái)，高考對(duì)立體幾何的考查仍然注重于空間觀點(diǎn)的建立和空間想象能力的培養(yǎng).題目起點(diǎn)低，步步升高，給不同層次的學(xué)生有發(fā)揮能力的余地.大題綜合性強(qiáng)，有幾何組合體中深層次考查空間的線(xiàn)面關(guān)系 . 因此，高考復(fù)習(xí)應(yīng)在抓好基本概念、定理、表述語(yǔ)言的基礎(chǔ)上， 以總結(jié)空間線(xiàn)面關(guān)系在幾何體中的確定方法入手， 突出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，并積極探尋解答各類(lèi)立體幾何問(wèn)題的有效的策略思想及方法.一、領(lǐng)悟解題的基本策略思想高考改革穩(wěn)中有變.運(yùn)用基本數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化，類(lèi)比，函數(shù)觀點(diǎn)仍是考查中心，選擇好典型例題， 在基本數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下， 歸納一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學(xué)生歡迎的，學(xué)生通過(guò)熟練運(yùn)用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，解決一般基本數(shù)學(xué)問(wèn)題就會(huì)自然流暢 .二、探尋立體幾何圖形中的基面立體幾何圖形必須借助面的襯托