分?jǐn)?shù)傅里葉變換

1、分?jǐn)?shù)傅里葉變換分?jǐn)?shù)傅里葉定義:分?jǐn)?shù)傅里葉變換 的物理意義即做傅里葉變換.次，其中不一定要為整數(shù)（比傅里葉變換更加廣泛）；通過分?jǐn)?shù)傅里葉變換 之后，圖像或信號(hào)便會(huì)同時(shí)擁有時(shí)域與頻域兩者的特征。1.1 （維基百科） 第一種定義：第二種定義:X申(it)=1 jcot(/2?r廠1沖i.J1.2從數(shù)學(xué)上分?jǐn)?shù)傅立葉變換定義了積分形式:A. C. Me bride和F. H Ken在1987不給出了 V Narnia s的分?jǐn)?shù)傅里葉變換 的枳井形式譏 具體地說，對(duì)信號(hào)空間用）中的任何信號(hào)/（/），它的分?jǐn)?shù) 傅里葉變換（時(shí)卩）可以寫成積分形式0/）2） = / *（卩；叮）由（2-5）| i(cota-2

2、v/csc(a 4- r cot ( al) | p 2/i(2-6)其積分核是r町）exp斤（p;以）=*公式中各記號(hào)的含義是a =(2-7)式中小整數(shù).p分?jǐn)?shù)傅里葉變換的級(jí)次可取任何實(shí)數(shù).Wigner分布函數(shù)相空間定義的分?jǐn)?shù)傅立葉變換A.W.Lohmann在1993年利用傅里葉變換相當(dāng)于在 Wigner分布函數(shù)相空間中角度為 n 12的旋轉(zhuǎn)這一性質(zhì)，說明分?jǐn)?shù)傅里葉變換在 Wigner分布函數(shù)空間中相當(dāng)于角度是 pn 12的 旋轉(zhuǎn)，這里，p是分?jǐn)?shù)傅里葉變換的級(jí)次?；颕此* AAVLohmaiin 義杲次是p的分?jǐn)?shù)傅里葉變換（產(chǎn)丁）（列為It中，矩陣眉/）疑時(shí) 頻相平面x-r l.ffi度為（

3、pn/2）的旋轉(zhuǎn)矩陣砒）=Zcosu JwinI-jh mnd4D（5）對(duì)懇也）進(jìn)行正立歸一代得到叫仏）可比采用了兩種不同正交映 射的方法，并根捌采用的正交化方法不同而分別命名OPA方法和GSA方 法.（6）再由暫甘）構(gòu)造U彳訕I(yè) |產(chǎn) J 叫T；VmQg（2-41）7）構(gòu)造少尸3-2A- A rnod? I(2-42)（8）最后由和U得到離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換矩陣尸戶=UD（,Ur（2-43）離散分?jǐn)?shù)傅立葉算子尸尸無論p為任恿實(shí)數(shù)，均滿足特征方程（2-27）.井 且滿足階數(shù)可加性尸尸戸=嚴(yán)。信號(hào)（左）的離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換兀仗）通過如I：公式計(jì)算：（2-44）與連績(jī)的分?jǐn)?shù)傅立葉變換相似，信號(hào)”約也

4、可通過我逆變換恢復(fù)： x（k=Kf，X（2-45）基于正交投影的離散化算法 對(duì)連續(xù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的特征函數(shù)進(jìn)行離散化近似和正交投影， 得到一組與 Hermite-Gaussian函數(shù)形狀相似的離散傅立葉變換矩陣的正交化離散Hermite特征向量。然后，仿照連續(xù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的核函數(shù)譜分解表達(dá)式，構(gòu)造了離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換矩陣。此算法適合用來計(jì)算連續(xù)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換。基于chirp分解的離散化算法，將分?jǐn)?shù)傅立葉變換分解為信號(hào)的卷積形式后，直接離散化，利用FFT來計(jì)算分?jǐn)?shù)傅立葉變換。圖像的分?jǐn)?shù)傅里葉變換對(duì)圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換分析的目的是確定圖像經(jīng)過分?jǐn)?shù)傅里葉變換后的特性表現(xiàn)， 主要包含分?jǐn)?shù)傅里葉變

5、換對(duì)圖像能量分布和頻率分布影響兩方面的內(nèi)容。其中能量分布表現(xiàn)分?jǐn)?shù)傅里葉變換圖像的能量聚積性與分?jǐn)?shù)變換階數(shù)的關(guān)系，能量聚集性強(qiáng)烈地依賴于其接近于傅里葉變換的程度；頻率分布表現(xiàn)在分?jǐn)?shù)傅里葉變換的相位函數(shù)包含了圖像的紋理頻率信 息，變換階數(shù)不同，相位函數(shù)所含的圖像邊緣高頻信息也不相同。圖像經(jīng)過某種二維離散變換之后的能量分布體現(xiàn)了圖像的變換特征。圖像分?jǐn)?shù)傅里葉變換域的能量分布特點(diǎn)是：能量向中心區(qū)域聚集性。(1) 當(dāng)分?jǐn)?shù)階次p由小變大時(shí)，由相位函數(shù)恢復(fù)的圖像呈現(xiàn)出圖像邊緣輪廓變得越來越清晰，這類似于原始圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的高通濾波器。當(dāng)p較小時(shí)對(duì)應(yīng)于截止頻率較低的高通濾波器，低頻成份浮現(xiàn)出來，圖像邊

6、緣模糊；當(dāng)p較大時(shí)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較高的高通濾波器，大部分低頻成份被濾掉，圖像邊緣比較清晰，F(xiàn)RFT逐漸向FT退化。(2) 當(dāng)變換階數(shù)p由小變大時(shí)，僅由幅度函數(shù)恢復(fù)的圖像越來越接近原圖像的背景，這類似于原圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的低通濾波器。p較小時(shí)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較高的低通濾波器，高頻分量殘留較多，能清晰看到原圖像的輪廓；p較大時(shí)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較低的低通濾波器，大部分高頻分量被濾出只顯現(xiàn)原圖像背景。(3) 當(dāng)變換階數(shù)p為其它值時(shí)，由FRFT相位函數(shù)和幅度函數(shù)所恢復(fù)的圖像既包含了原 圖像的背景信息又包含了原圖像的紋理頻率信息。由此可以推論這類似于原圖像經(jīng)歷了FRFT的時(shí)頻濾波，也即將時(shí)頻平面旋

7、轉(zhuǎn)某一角度后再進(jìn)行濾波。假如頻域?yàn)V波器截止頻率 和帶寬固定，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不同(階數(shù)不同)時(shí)，時(shí)間軸和頻率軸上的投影不同，所以頻域?yàn)V波器輸出的頻率成分也不同。 這表現(xiàn)在恢復(fù)的圖像上即為相位函數(shù)和幅度函數(shù)包含的頻率成 份隨階數(shù)而變化。當(dāng)變換階數(shù)較小時(shí)，由圖像的FRFT的幅度函數(shù)和相位函數(shù)恢復(fù)的圖像都顯示出很強(qiáng)的 圖像信息，體現(xiàn)出了較強(qiáng)的空域特性；當(dāng)變換階數(shù)逐漸增大時(shí)，圖像的 FRFT的幅度函數(shù)恢 復(fù)的圖像所包含的原圖像的空域特征逐漸減弱直至消失，相位函數(shù)恢復(fù)的圖像包含原圖像的邊緣紋理特征逐漸增強(qiáng)。當(dāng)FRFT的變換階數(shù)增大到一定程度時(shí)，其幅度和相位特征越來越接近FT域即頻域特征。這些結(jié)論有力地體現(xiàn)了

8、FRFT域的空-頻雙域特征。采用分?jǐn)?shù)傅立葉變換的圖像邊緣提取方法對(duì)圖像作連續(xù)小級(jí)數(shù)的分?jǐn)?shù)傅立葉變換，相當(dāng)于對(duì)圖像作連續(xù)的微小變換，當(dāng)分?jǐn)?shù)級(jí)次很小時(shí)，肉眼幾乎看不出與原圖的區(qū)別， 當(dāng)級(jí)次略有增加，圖像邊緣與原圖有了明顯的區(qū)別， 當(dāng)繼續(xù)緩慢增加分?jǐn)?shù)級(jí)次時(shí)，圖像與原圖明顯不同。 通過分析可以看出， 圖像中對(duì)比度低的區(qū)域隨級(jí)次變化緩慢，對(duì)比度高的區(qū)域(即圖像邊緣)隨級(jí)數(shù)變化快。由此，取不同級(jí)數(shù)的 分?jǐn)?shù)傅立葉變換后的圖像減去原圖像，即可得到圖像的邊緣。 不同的分?jǐn)?shù)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)不同的形變，選取不同級(jí)數(shù)變換后的圖像相減，即可提取不同尺度的邊緣。圖像分?jǐn)?shù)階Fourier變換的幅度和相位信息假設(shè) F(k,h )是二

9、維圖像 f(x, y)的二維 Fourier 變換 F (k,h )= FT2D f (x, y )( 8)我們可以把F k,h分解成幅度部分和相位部分，即(9)F (k,h )=F (k,h j_|P(k,h ) = A(k,h )P(k,h )其中A k,h二F k,h為幅度函數(shù)，P k,h二F k,hjAk,h為相位函數(shù),結(jié)論：1. 當(dāng)變換階數(shù)P由小變大時(shí)，僅由相位函數(shù)恢復(fù)的圖像， 顯現(xiàn)原圖像的邊緣越來越清晰，這類似于原圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的高通濾波器。p較小時(shí)(0.01)對(duì)應(yīng)于截止頻率較低的高通濾波器，低頻成份浮現(xiàn)出來，使提取的邊緣模糊，如圖4(b)所示；p較大時(shí)(0.8)，對(duì)應(yīng)于截

10、止頻率較高的高通濾波器，大部分低頻成份被濾出，提取的邊緣較清晰，如圖5(d)所示，此時(shí)FRFT基本退化為FT。2. 同理,當(dāng)變換階數(shù)P由小變大時(shí)，僅由幅度函數(shù)恢復(fù)的圖像越來越接近原圖像的背景，這類似于原圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的低通濾波器。p較小時(shí)(0.01)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較高的低通濾波器，高頻分量殘留較多，還能清晰看到原圖像的輪廓，如圖4(a)所示；p較大時(shí)(0.8)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較低的低通濾波器，大部分高頻分量被濾出，此時(shí)僅顯現(xiàn)原圖像的背景，如圖6(c)所示。3. 當(dāng)變換階數(shù)P為其它任意值時(shí)，由FEFT相位函數(shù)和幅度函數(shù)所恢復(fù)的圖像既包含了原圖像的背景又包含了原圖像的紋理，如圖4(b)、

11、圖4( c)、圖5( a)、圖5( b)所示。針對(duì)這種情況，我們可以推論這類似于原圖像經(jīng)歷了FRFT的時(shí)頻濾波，也即將時(shí)頻平面旋轉(zhuǎn)某一角度后再進(jìn)行濾波。假如頻域?yàn)V波器截止頻率和帶寬固定，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不同(階數(shù)不同)時(shí)，時(shí)間軸和頻率軸上的投影不同，所以頻域?yàn)V波器輸出的頻率成分也不同。表現(xiàn)在恢復(fù)的圖像上即為相位函數(shù)和幅度函數(shù)包含的頻率成份隨階數(shù)而變。分?jǐn)?shù)傅里葉變換(采用 chirp信號(hào)的方法)a從0.1-1過程中，相應(yīng)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換。 從圖中可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)區(qū)域信息的相互轉(zhuǎn)換。相應(yīng)的幅值信息(a從0.1-1)相應(yīng)的相位信息（即：f/fl，其中f為相應(yīng)分?jǐn)?shù)傅里葉變化后，輸出的信號(hào) ）相應(yīng)的幅值信息進(jìn)行逆變換根據(jù)相位信息進(jìn)行相應(yīng)的逆變換，可以發(fā)現(xiàn)圖像的邊緣信息，消除了圖像的背景信息?？偨Y(jié)通過分?jǐn)?shù)傅里葉變換和其逆變換可以找到一些圖像的主體邊緣信息， 但是有些圖像邊緣 的采集并不是很好， 對(duì)于背景信息的剔除不是很好。 對(duì)于區(qū)域的選擇不是很準(zhǔn)確， 它主要是 根據(jù)灰度的變換率，而不是根據(jù)像素去識(shí)別邊界。傅里葉變換主要是進(jìn)行像素變化率的識(shí)別， 即高頻和低頻的識(shí)別和分類。 因此容易受到 其他