線性代數(shù)：1-2 行列式的性質(zhì)

1、第一章第一章 行列式行列式 中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院 一、行列式的性質(zhì) 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. T DD 記記 nn a a a 22 11 n n a aa 2 112 21 21 nn aa a D 2 121 n n a aa nn aa a 21 12 T D nn a a a 22 11 證明證明 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記 ij aDdet , 21 22221 11211 nnnn n n T bbb bbb bbb D , 2 , 1,njiab jiij 即即按定義按定義 .11 2121 2121

2、 nppp t nppp t T nn aaabbbD 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺紻可表示為可表示為 .1 21 21 nppp t n aaaD 故故 . T DD 證畢證畢 說(shuō)明說(shuō)明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行因此行 列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). . 行行第第 行行第第 s i aaa aaa aaa aaa D aaa aaa aaa aaa D nnnn inii sn

3、ss n nnnn snss inii n 21 21 21 11211 1 21 21 21 11211 兩兩行行得得到到的的；交交換換是是由由行行列列式式j(luò)iDD, 1 nsi nsi npipspp pppp aaaaD 1 1 1 )( 1 1 nsi nsi npspipp pppp aaaa 1 1 1 )( 1 nsi nis npspipp pppp aaaa 1 1 1 )( 1 D 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則 此行列式為零此行列式為零. . 證明證明 互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D ,DD 行列式的某一行

4、（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. . kk nnnn inii n aaa kakaka aaa 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到行列式符號(hào)的外面因子可以提到行列式符號(hào)的外面 若行列式的某一行（列）所有元素全為若行列式的某一行（列）所有元素全為 零，則行列式等于零零，則行列式等于零 推論推論3行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩行（列）元素成

5、比例， 則此行列式為零則此行列式為零 證明證明 nnnn inii inii n aaa kakaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k 21 21 21 11211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩 數(shù)之和數(shù)之和. . nnnininn nii nii aaaaa aaaaa aaaaa D )( )( )( 21 2222221 1111211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和： nnnin ni ni nnnin ni ni aa

6、a aaa aaa aaa aaa aaa D 1 2221 1111 1 2221 1111 例如例如 性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行 列式不變列式不變 njnjnin jji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 njnjnjnin jjji njji ji aakaaa aakaaa aakaaa krr )( )( )( 1 222221 111111 k 例如例如 例例 5240 4323 2321 4232 計(jì)計(jì)算算行行列

7、列式式 二、應(yīng)用舉例 解解 5240 4323 4232 2321 D 2 )3( 5240 2680 8810 2321 8 4 373000 625800 8810 2321 29 143 000 625800 8810 2321 286 計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式 化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ji krr 例例2 2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 3214 2143 1432 4321 解解 32110 21410 14310 43210 D 3211 2141 1431 4321 10 1110 2

8、220 3110 4321 10 4000 8400 3110 4321 10 160 例例3 3 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式n abbb babb bbab bbba D 解解 abbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 D 將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abb bab bba bbb bna 1 1 1 1 ) 1( ba ba ba bbb bna 1 ) 1( 0 0 .)() 1( 1 n babna 例例4 4 證明證明 0 321 321 321 321 222 2 222 2 222 2 222 2 dddd cccc bb

9、bb aaaa 964412 964412 964412 964412 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa 左邊左邊 6212 6212 6212 6212 2 2 2 2 dd cc bb aa 證明：證明： 0右右邊邊 例例5 5 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 . efcfbf decdbd aeacab 解：解： ecb ecb ecb adf efcfbf decdbd aeacab 111 111 111 abcdef 020 200 111 abcdef abcdef4 例例6 6 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式n n a a a a 1111 11111 11111 11

10、111 3 2 1 .2 , 1, 0niai 其中其中 n aa aa aa a D 000 000 000 11111 1 31 21 1 n aa aa aa a aa 000 000 000 1110 1 1 1 31 21 2 11 箭頭型行列式 n n ii aa aa aa a aa 000 000 000 0000 1 1 1 31 21 2 11 n i n i aaa a aa 2 3211 ) 1 1( .) 1 1( 1 21 n i n i aaa a 下三角型 (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同 等的地位等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也 同樣成立同樣成立). 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用 性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質(zhì)把行列