2000-2012全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類匯編（數(shù)列）

1、豆丁網(wǎng)/2000-2012全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類匯編（數(shù)列）1、（2000一試4）給定正數(shù)p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q是等比數(shù)列，p,b,c,q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2-2ax+c=0 （ ） (a)無實根 (b)有兩個相等實根 (c)有兩個同號相異實根 (d)有兩個異號實根【答案】a【解析】由題意知pq=a2，2b=p+c,2c=q+b，bc=pq=a2 .因為pq，故bc a2，方程的判別式= 4a2 -4bc0，因此，方程無實數(shù)根.2、（2003一試1）刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列這個數(shù)列的2003

2、項是（ ） (a) 2046 (b) 2047 (c) 2048 (d) 2049【解析】c【解析】452=2025，462=2116在1至2025之間有完全平方數(shù)45個，而2026至2115之間沒有完全平方數(shù)故1至2025中共有新數(shù)列中的202545=1980項還缺20031980=23項由2025+23=2048知選c3、 （2000一試9）等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比是_.【答案】【解析】=4、（2003一試12）設mn=(十進制)n位純小數(shù)0.|ai只取0或1(i=1，2，n1)，an=1，tn 是mn中元素的個數(shù)，sn是mn中所有元素的和，則= 【答案

3、】【解析】由于a1，a2，an1中的每一個都可以取0與1兩個數(shù)，tn=2n1在每一位(從第一位到第n1位)小數(shù)上，數(shù)字0與1各出現(xiàn)2n2次第n位則1出現(xiàn)2n1次 sn=2n20.111+2n210n =5、（2004一試11）已知數(shù)列a0，a1，a2，an，滿足關系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，則的值是 【答案】(2n+2n3)【解析】=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn1，bn=2n即=，=(2n+2n3)6、(2005一試7) 將關于的多項式表為關于的多項式其中則 .【答案】【解析】由題設知，和式中的各項構成首項為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得：令得取

4、有7、（2007一試10）已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于 ?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，故由已知條件知道：1+q+q2為，其中m為正整數(shù)。令，則。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以，即5m13且是某個有理數(shù)的平方，由此可知。8、（2008一試10）設數(shù)列的前項和滿足：，則通項= 【答案】【解析】，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以9、（2010一試4）已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對每一個正整數(shù)都有，則 .【答案】【解析】設的公差為的公比為，則 （1） ， （2）（1）代入（2）

5、得，求得.從而有 對一切正整數(shù)都成立，即 對一切正整數(shù)都成立.從而 ，求得 ，.10、（2009一試7）一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是 （可以用指數(shù)表示）【答案】【解析】易知：()該數(shù)表共有100行；()每一行構成一個等差數(shù)列，且公差依次為，()為所求 設第行的第一個數(shù)為，則=故11、（2000一試13）設sn=1+2+3+n,nn，求f(n)=的最大值.【解析】由已知，對任何nn, 有f (n)= = 又因n+34+34=50,故對任何nn, 有f (n)= 由于f(8)

6、=,故f(n)的最大值為12、（2000二試2）設數(shù)列a n和b n 滿足，且證明a n（n=0，1，2，）是完全平方數(shù)【解析】證法一：由假設得a1=4, b1=4且當n1時（2an+1-1）+=(14an+12bn-7)+(8an+7bn-4)=(2an-1)+(7+4)依次類推可得（2an-1）+= (7+(2a1 -1+)=(7+4同理（2an-1+ ）-=(7+4從而 an=(7+4+(7+4+ .由于 74=（2 ，所以 an =(2+(2-)由二項式展開得 c n =(2+(2-)= ,顯然cn為整數(shù)，于是an為完全平方數(shù).證法二：由已知得an+1=7an+6bn-3=7an+6(

7、8an-1+7bn-1-4)-3=7an+48an-1+42bn-1-27 ,由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 ,從而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27=14an-an-1-6 .也就是 an+1=14an-an-1-6 .設(an+1-kan+t)=p(an-kan-1+t) 則有解得或分別代入，根據(jù)數(shù)列 an+1-kan+t 是以a1-ka0+t為首項、p為公比的等比數(shù)列，整理得 -，整理得由二項式展開得 c n =(2+(2-)= ,顯然cn為整數(shù)，于是an為完全平方數(shù).13、（2001一試13）設an為

8、等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且，（a1an+14，nn*； 證明有n0n*，使得對nn0，都有+0) 0bn且bn遞減，n2bn=n(n)= =單調(diào)增 0n且tn單調(diào)減由截距式方程知，+=1，(12n2bn=n2bn2) an=()2+()=tn2+tn=(tn+)2(+)2=4且由于tn單調(diào)減，知an單調(diào)減，即anan+14成立亦可由=bn+2=，得 an=bn+2+， 由bn遞減知an遞減，且an0+2+=4 即證(1)20041=k2()2()2)(1)(+)+(+)+只要n足夠大，就有(1)2004成立18、（2005一試13）數(shù)列滿足：證明：（1）對任意為正整數(shù)；(2)對任意為完全平方

9、數(shù)?！窘馕觥孔C明：（1）由題設得且嚴格單調(diào)遞增.將條件式變形得兩邊平方整理得-得由式及可知，對任意為正整數(shù).（2）將兩邊配方，得由0（mod3）為正整數(shù)式成立.是完全平方數(shù).19、（2006二試2）已知無窮數(shù)列an滿足a0=x，a1=y，n=1、2、。（1）對于怎樣的實數(shù)x與y，總存在正整數(shù)n0，使當n0n時an恒為常數(shù)？（2）求數(shù)列an的通項公式?！窘馕觥浚?）我們有，n=1、2、。（2.1）所以，如果對某個正整數(shù)n，有an+1=an，則必有(an)2=1，且an+an10。如果該n=1，我們得|y|=1且xy。（2.2）如果該n1，我們有，n2，（2.3）和，n2。（2.4）將式（2.3）

10、和（2.4）兩端相乘，得，n2。（2.5）由（2.5）遞推，必有（2.2）或|x|=1且yx。（2.6）反之，如果條件（2.2）或（2.6）滿足，則當n2時，必有an=常數(shù)，且常數(shù)是1或1。（2）由（2.3）和（2.4），我們得到，n2。（2.7）記，則當n2時，由此遞推，我們得到，n2，（2.8）這里fn=fn1+fn2，n2，f0=f1=1。（2.9）由（2.9）解得。（2.10）上式中的n還可以向負向延伸，例如f1=0，f2=1。這樣一來，式（2.8）對所有的n0都成立。由（2.8）解得，n0。（2.11）式（2.11）中的f1、f2由（2.10）確定。20、（2007一試13）設，求證

11、：當正整數(shù)n2時，an+1an?！窘馕觥孔C明：由于，因此，于是，對任意的正整數(shù)n2，有，即an+1an。21、（2008二試3）設，證明：當且僅當時，存在數(shù)列滿足以下條件：（1），；（2）存在；（3）， 【解析】必要性：假設存在滿足（1），（2），（3）注意到（3）中式子可化為， 其中將上式從第1項加到第項，并注意到得 由（）可設，將上式取極限得 ，因此 充分性：假設定義多項式函數(shù)如下：，則在0,1上是遞增函數(shù)，且，因此方程在0,1內(nèi)有唯一的根，且，即 下取數(shù)列為，則明顯地滿足題設條件（），且因，故，因此，即的極限存在，滿足（2） 最后驗證滿足（3），因，即，從而綜上，存在數(shù)列滿足（1）.22

12、、（2009一試10）已知，是實數(shù)，方程有兩個實根，數(shù)列滿足，()求數(shù)列的通項公式（用，表示）；()若，求的前項和【解析】方法一：()由韋達定理知，又，所以，整理得令，則所以是公比為的等比數(shù)列數(shù)列的首項為：所以，即所以當時，變?yōu)檎淼?，所以，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項為所以于是數(shù)列的通項公式為；當時， 整理得，所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項為所以于是數(shù)列的通項公式為()若，則，此時由第()步的結果得，數(shù)列的通項公式為，所以，的前項和為以上兩式相減，整理得所以方法二：()由韋達定理知，又，所以，特征方程的兩個根為，當時，通項由，得， 解得故 當時，通項由，得 ， 解得，故()同方法一2

13、3、（2010二試3）給定整數(shù)，設正實數(shù)滿足，記求證： 【解析】由知，對，有 注意到當時，有，于是對，有， 故 24、（2011一試10）已知數(shù)列滿足：r且，n（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，試比較與的大小【解析】（1）由原式變形得 ，則 記，則， 又 ，從而有，故 ，于是有 （2），顯然在時恒有，故 25、（2012一試10）已知數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，且對于任意的正整數(shù)，都有（）當時，求所有滿足條件的三項組成的數(shù)列;（）是否存在滿足條件的無窮數(shù)列，使得若存在，求出這樣的無窮數(shù)列的一個通項公式；若不存在，說明理由【解析】(1)當時, ,由得.當時,由得或當時,若得或;若得;綜上,滿足條件的三項數(shù)列有三個:1,2,3或1,2,-2或1,-,1(2)令則從而兩式相減,結合得當時,由(1)知;當時,即所以或又所以26、（2012二試4）設，是正整數(shù)證明：對滿足的任意實數(shù)，數(shù)列中有無窮多項屬于這里，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)【解析】證