295.聽俞正強老師講“植樹問題”

1、295.聽俞正強老師講“植樹問題”O(jiān)郵發(fā)代號：4-312O訂閱2017年雜志請點擊文末“閱讀 原文”，進入中國郵政官微訂閱， 也可前往當?shù)剜]局或登錄郵 局官網(wǎng)訂閱（ ）2015 年 1 月，在“俞正強 特級教師工作室”團隊活動中，我們對“植樹問題”進行了研究 與探討。從傳統(tǒng)的教學，到我們的理解演繹，最后經(jīng)由師傅 論道，使我們在這次活動中受益頗深。愿在此書寫心得，與 眾人分享。（此處略去“且讀他人思路”“且看我們演繹”兩部分） 且聽師傅論道 一籌莫展之際，師傅俞正強拿起粉筆，展開了他的教學。1. 出示問題： 20 米路，每 5 米一段，一共分了幾段？ （在 黑

2、板上畫了一條直線）生:5段，20- 5=4,4仁5。師：有沒有不同的做法？生： 4 段，20+ 5=4。師：為什么要用除法來做？為什么不用20 5 ,不用20-5、20X 5?生：題目說每5米一段。師：這是在干 什么？生： 平均分。 師：（面向第一位學生） 5 段是怎么來的？ 生：奧數(shù)老師教的。 （這位學生在課外的奧數(shù)班學過“植樹問 題”，將這類問題統(tǒng)統(tǒng)模糊成了植樹問題。教師再次問他 5 段是怎么來的，以此來幫助糾錯）2. 出示問題： 20 米路，每 5 米種一棵樹，一共種幾棵？教師采訪一名學生：你不會做？生：有點不會。師：那就是 有點會做，你說一說。生：老師教過了，這是植樹問題。 20 米分

3、成4段，頭尾都種樹，要加上 1棵。生：20+ 5=4，邊 上要種加上1。生：4個間隔要種5棵。板書：4個間隔20 + 5=4 5 棵樹 4 1=53. 引導比較，進行梳理。師：這兩道題像嗎？ 像在哪里？ 哪里不像？生：都是 20 米路。生：都有一個一模一樣的算式：20+ 5=4。師：為什么都要用除法做呢？生： 因為是平均分。 師：不一樣的是什么？ 生：問題有一個算式，問題有兩個算式。師：既然兩題 都是平均分成4段，為什么第題要再加 1 ?生：因為頭尾 兩端都要種。師：如果頭尾都要種， 那不是要加 2 嗎？為什 么只加 1 呢?學生答不上來。師：同學們，平均分是一段一 段分的，但是種樹的時候是種

4、在哪里的?生：種在段與段的 點上。師：“點”和“段”有什么不一樣啊?種是種在“點”上的， 咱們平均分是分出“段”來的。那么，一段有幾個點啊?生： 兩個。師：兩段有幾個點啊?生：三個。師：三段呢?四段 呢?請問，點和段之間有什么關(guān)系?點多還是段多?生：點 多。師：怎么個多法?生：一段線兩個點，兩段線三個點， 三段線四個點師：那么，點比段多幾？生：點比段多1。 師：在平均分的除法里面，點比線多 1，而植樹是正好植在 什么地方？生：點上。 （聽到這里，我們似乎有些明白了。師傅認為，這個問題應(yīng)先讓學生理解20 + 5求的是段，再抓住點與段的區(qū)別，從而理解點與段的關(guān)系。 ）4. 清晰對植樹問題的認識 師

5、：除了園林工人把樹種在點上，還有什么人把什么放在點 上？生：工人把路燈放在點上。教師結(jié)合學生的回答畫了一 幅草圖， 并解釋這里把樹變成了路燈。 生：紅綠燈， 插旗子， 樓房上的窗戶師：繼續(xù)說。說著說著，學生忽然悟出了 道理。有個學生站起來說：老師，只要是平均分的，都是放 在點上！引導學生回頭看問題和問題：問題是什么問題？（平 均分）問題是什么問題？（植樹問題）植樹問題用什么知 識來解決？（平均分）小結(jié)：植樹問題是平均分的應(yīng)用。5. 在具體情境中領(lǐng)會平均分在植樹問題中的應(yīng)用情境1:問題中，園林工人領(lǐng)了 5棵樹，到那里一看，發(fā) 現(xiàn)路的盡頭有座房子。 怎么辦？生： 拆房子。（眾生笑） 生： 一頭不種

6、。師：這個點不種了，那樹怎么辦？生： -1。 情境2 :一個小朋友領(lǐng)了 5棵樹，種好了還我2棵，這是為 什么？生：兩頭都有房子，不種！小結(jié)：怎么植樹要看具體 情況。追根溯源，用于非“?！?討論時間，師傅先問了我們一個問題：植樹問題的源是什么？ 正是對這個問題的討論，以及師傅的解說，結(jié)合傳統(tǒng)教學、我們的演繹、師傅的課堂，使我們對植樹問題有了更深刻的 認識。1. “模型”是植樹問題的源嗎 在傳統(tǒng)教學中，一般把“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種” 三種類型的區(qū)分及相應(yīng)的計算方法看成是一種“模型”。為了 達成知識目標，教師往往帶領(lǐng)學生一一總結(jié)公式（甚至要求 熟背），然后變化問題情境訓練解題技能，讓

7、學生牢固掌握 并直接運用。因而，絕大多數(shù)學生解決植樹問題時，首先想 到用除法：路的總長一間距=棵數(shù)；其次看題中是否有“兩端 種與不種”的明確提示語，以此決定是否加 1 或減 1。然而， 多數(shù)問題是隱藏提示語的，學生只能憑自我感覺決定是否加 1 或減 1。如此就造成學生對三種計算方法的機械應(yīng)用，在 解題錯誤百出的同時也束縛了學生的思維。 由此可見， “模型” 并非解決“植樹問題”的關(guān)鍵因素。2. 什么才是植樹問題的源 “植樹問題”是研究“樹的棵數(shù)”與“兩樹之間間隔數(shù)”之間數(shù)量 關(guān)系的問題，其實質(zhì)是研究點與段的問題。如何讓學生建立“點段”關(guān)系呢？我們的教學 ,是把“植樹”這件事，根據(jù)“樹”與“間隔

8、”所呈現(xiàn)出來 的內(nèi)在規(guī)律，在簡化后得到一個抽象結(jié)構(gòu)點與段的一一 對應(yīng)關(guān)系；用直觀圖理解“一一間隔排列”規(guī)律，學會用“一一 對應(yīng)”的方法來分析兩個量之間的數(shù)量關(guān)系； 研究具體的實際 問題，得出燈籠與彩帶是“一一間隔排列”的，并能運用規(guī)律 分析它們之間的數(shù)量關(guān)系；再溝通不同情境間的內(nèi)在聯(lián)系， 抽象出這類問題的共同本質(zhì)特征“一一間隔排列”，并進一步 鞏固“一一對應(yīng)”的分析方法；最后運用總結(jié)出的思想、方法 解決簡單的實際問題。 而師傅的教學，是直接從除法的意義入手，結(jié)合學生已有的 知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗， 從除法問題引申出植樹問題。 通過“ 20 米，每 5 米分一段， 共分幾段”和“ 米20路，每 5

9、米栽一棵樹， 共栽幾棵樹”這兩題的比較分析， 一來幫助學生理解這兩道題 都是平均分，二來讓學生明白兩者的區(qū)別在于平均分是一段 一段地分，而植樹是種在段與段之間的點上。進而，讓學生 認識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹 問題”其實只是點和段的問題。接下來，結(jié)合“植樹問題”的生 活原型重點教學“兩端都種”的情形，并且著重溝通數(shù)學與生 活原型之間的聯(lián)系，從而讓學生在深刻建構(gòu)“兩端都種”的基 礎(chǔ)上，順勢帶出另外兩種“植樹問題”模型，學以致用。 從某種角度說，從找規(guī)律入手，讓學生體會規(guī)律的有用，很 多課都可以達成。而對點和段的感悟，豐富了對平均分的認 識，離開了這節(jié)課，其他課很難實現(xiàn)

10、，具有唯一性。3. 追根溯源，用于非“?！?也就是說，師傅認為：植樹問題的源是“平均分”與對平均分 的應(yīng)用。平均分有兩種，一種是完全平均分，如8* 2; 種是不完全平均分，如9* 2。不完全平均分解決生活中的余數(shù)問題，完 全平均分帶來段和點的問題。行程問題、工程問題、總價問 題等都是研究段的;而植樹問題、鋸木頭問題都是研究平均 分中點的問題?！爸矘鋯栴}”來自哪里？來自平均分，體現(xiàn)學 以致用的價值。應(yīng)該說，“植樹問題”不是橫空出世的，正如 下圖所示，是一點一點生長出來的?！爸矘鋯栴}”的源，具體到上述兩個問題，就是：20 米路，每 5 米一段，一共有幾段？（學） 20 米路，每 5 米種一棵樹，種幾棵？（用） 學與用不一樣，學在“段”上，而用在“點”上，即求幾段是在學 習平均分，而用在“植樹問題”中，則是對平均分這一知識的 生活應(yīng)用。用師傅的話說，這叫“學以致用”。第二次“學以致 用”是在三次情境設(shè)置中，即研究點比段多 1（學），延伸至 一頭種一頭不種，以及兩頭都不種（用） 。正如師