概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)2

1、第一章隨機事件與概率 1將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A,B,C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩 次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件A,B,C中的樣本 點。 解解門-正正、正反、反正、反反 A= 正正、正反B=- 正正1, C = :正正、正反、反正? 2.設P(A)=3，P(B)詔，試就以下三種情況分別求P(BA): 32 (1)AB ，(2) A B，(3)P(AB) 8 解： (1) P(BA)二 P(B _ AB)二 P(B)_P(AB)二P(B) = 0.5 (2) P(BA)二 P(B - AB)二 P(B)-P(AB)二P(B) - P(A)= 0.5-1

2、/3= 1/6 (3) P(BA)二 P(B - AB)二 P(B)-P(AB)=0.5-0.125 二0.375 3. 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三 次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概 率是多少？ 解：記H表撥號不超過三次而能接通 Ai表第i次撥號能接通。 注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼 H = A + Aa +入A2A3三種情況互斥 P(H)二P(A) P(A)P(A2|A!)p(Ajp(A2 |A)P(A3 |入入2) 10 10 910 9 810 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵?/p>

3、B已發(fā)生的條件下, 求H再發(fā)生的概率 P(H | B) =PAi | B AiA | B AA2A31 B) = P(A | B) P(Ai |B)P(A2 | BAi) P(Ai |B)P(A2 | BAi)P(A3 IBA1A2) 4. 進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率均為錯誤！未找到引用源。， 試求以下事件的概率： (1) 直到第r次才成功； (2) 在n次中取得r(L n)次成功； 解：(1) P=(1 p)rp (2) P=C：pr(1-p)n 5. 設事件A，B的概率都大于零，說明以下四種敘述分別屬于那一種：(a) 必然對，(b)必然錯，(c)可能對也可能錯，并說明理由。 (

4、1) 若A，B互不相容，則它們相互獨立。 (2) 若A與B相互獨立，則它們互不相容。 (3) P(A) =P(B)=0.6，則 A 與 B 互不相容。 (4) P(A)二 P(B) = 0.6，則 A與 B相互獨立。 解:(1)b,互斥事件，一定不是獨立事件 (2) c,獨立事件不一定是互斥事件， (3) b,P(A + B) = P(A)+P(B)-P(AB)若 A與 B互不相容，則 P(AB) = 0 而 P(A B)二 P(A) P(B) -P(AB) =1.21 (4) a,若 A與 B 相互獨立,則 P(AB)二 P(A)P(B) 這時 P(A B)二 P(A) P(B) -P(AB

5、) =1.2 -0.36 =0.84 6. 有甲、乙兩個盒子，甲盒中放有3個白球，2個紅球；乙盒中放有4個 白球，4個紅球，現(xiàn)從甲盒中隨機地取一個球放到乙盒中，再從乙盒中取出一球， 試求： (1) 從乙盒中取出的球是白球的概率； (2) 若已知從乙盒中取出的球是白球，則從甲盒中取出的球是白球的概率。 解：記，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋” 再記B表“再從乙袋中取得白球”。 TB=Ai B+A2B 且 Ai, A 互斥 34+124 P (B)=P (Ai)P(B| Ai)+ P (A2)P (B| A2)= 3+24+4+13+24+4+1 (2) 7. 思考題：討論對立、互斥(

6、互不相容)和獨立性之間的關系。 解:獨立事件不是對立事件，也不一定是互斥事件；對立事件是互斥事件，不 能是獨立事件；互斥事件一般不是對立事件，一定不是獨立事件. 第二章隨機變量及其概率分布 1. 設X的概率分布列為： X 0 1 2 3 P 0.1 0.1 0.1 0.7 F(x)為其分布的函數(shù)，則F (2) =? 解:F(2) =PX ；則常數(shù)c等于？ b，x曰 解:由于:dx : dx=c=1,故 C =1 -x1 x 3. 一辦公室內(nèi)有5臺計算機，調(diào)查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率 為0.6，計算機是否被使用相互獨立，問在同一時刻 (1) 恰有2臺計算機被使用的概率是多少？ (2)

7、 至少有3臺計算機被使用的概率是多少？ (3) 至多有3臺計算機被使用的概率是多少？ (4) 至少有1臺計算機被使用的概率是多少？ 解：(1) PX =2 =C；0.620.43 = 0.2304 (2) pX _3 =1 PX =4 -PX =5 =1 C40.640.4 0.65 二 0.66304 (3) PX 空 3 =PX =1 PX =2 PX =3 =C；0.6 0.44 C；0.620.43 C；0.630.42 =0.0768+0.2304+0.1728=0.48 (4) PX _1 =1-PX =0 =0.4 0.98976 4. 設隨機變量K在區(qū)間(0, 5)上服從均勻分

8、布，求方程4 x2+ 4Kx + K + 2 = 0有實根的概率。 解:由厶=16k2 -4 4 (k 2) =16k2 -16k -32 _0 可得:k 1,k _ 2 所以 PK -2- 5 5. 假設打一次電話所用時間(單位：分)X服從:=0.2的指數(shù)分布，如某人正 好在你前面走進電話亭，試求你等待：(1)超過10分鐘的概率；(2)10分鐘到 20分鐘的概率。 解:X f (x) =0.2e2x,x 0 10n 2 x_2_2 PX 10 =1 PX 乞 10 =1 - o 0.2e dx = 1 -1 e 二e 20 P10X 乞200.2e2xdxe， 6. 隨 機變量 XN (3,

9、4),(1) 求 P(2X 5) ,P(- 4X2),P(X3); (2)確定 c,使得 P(Xc) = P(X2=1PX 蘭 2 =16（）+（） = 1（一0.5）+（一2.5） 2 2 =1 一（1 一門（0.5）1 （2.5） =1 -0.99380.6915 = 0.6977 3 _3 PX 3 =1-PX _3 =1）=1-0.5=0.5 2 PX c =1 PX 空 c =1G（C 3） =PX ：c-：（E 3） 2 2 所以 G（c 3） =0.5 故 c = 3 2 7. 設隨機變量X與Y相互獨立，且X, Y的分布律分別為 X 0 1 P 1 3 4 4 Y 1 2 P 2

10、 3 5 5 試求：（1）二維隨機變量（X Y）的分布律；（2）隨機變量Z二XY的分布律. 1 2 0 0.1 0.15 1 0.3 0.45 Z 0 1 2 P 0.25 0.3 0.45 8.思考題:舉出幾個隨機變量的例子 第三章多維隨機變量及其概率分布 1. 設盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球，從中隨機地取3個，用X表 示取到的紅球個數(shù)，用 Y表示取到的白球個數(shù)，寫出（X, Y） 的聯(lián)合分布律及 邊緣分布律。 0 1 2 0 0 0 0.1 1 0 0.4 0.2 2 0.1 0.2 0 2.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為: 試根據(jù)下列條件分別求a和b的值； (1) P(X

11、-1) -0.6 ； (2) P(X =1 |Y =2) =0.5 ； (3) 設F(x)是丫的分布函數(shù)，F(xiàn)(1.5) =0.5。 解：(1) PX =1 =0.1 b 0.2 =0.6, b 二 0.3 Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 (2) PX =0 PX =1 =1, PX =0 =1 -PX =1 =0.4 = 0.3 a, a =0.1 3. (X、Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：f(x,y)= k(x+ y) 0vxc1, 0cyc1 0 其他 求(1) 常數(shù) k；(2)P(X1/2,Y1/2) ； (3) P(X+Y1) ； (4) P(X1/2)。

12、解:(1) : 1 1 t , I i f (x, y)dxdy I i k(x y)dxdy = k = 1,故 k = 1 0 0 PX 1 1 11 1 J202 02(x y)dxdy=8 PX Y : 1二 11 -x 0 0(X y)dxdy PX = f 0(x+y)dxdy=； 2 8 4. (X、 Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：f(x, y) = J kxy OcxdOcycx 0 其他 求(1) 解：(1) 常數(shù) k ；( 2)P(X+Y1)； (3) P(X1/2)。 :1 X Uf (x, y)dxdy = 0 L kxydxdy =令=1,故 k = 2 1 1 1 (2)

13、PX Y : 1 = ： .y 2xydxdy = pX J 1 2 02 O 2xydxdy = 64 5.設(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求X與丫的邊緣密度函數(shù)。 f (x, y)二 22 一二：:：x ；： ：;- := : y : 二 二(1 x )(1 y ) h-be1 解:fx(x)f(x, y)dy=. 吵qQ匕如 be11 二 2(1 x2)(1 y2) d 二(1 x2) f/y) = . J(x,y)dx 二 be11 2 22dx 2 n (1 x )(1 y ) 二(1 y ) 6. 設(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求X與Y的邊緣密度函數(shù)。 f (x, y

14、)二 -x e 0 ： y ： x 0 其他 bex fx(x)二 J(x,y)dy 二 oedy 二 xe二(0 ： x ：-) bobo fX(x)=【f(x,y)dx=J edx =e (0 v y v 址) y 7. (X, Y)的聯(lián)合分布律如下, 試根據(jù)下列條件分別求a和b的值; (1) P(Y : =1) -1/3 ； P(X 1| Y =2) =0.5 ； (3) 已知 X與Y相互獨立。 Y X 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 a b 1/9 解：(1) PY =1 =a 工，a = 636 (2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18 8.

15、(X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù) C,并討論X與Y是否相互獨立? f (x, y)= f 2 cxy 5(18x4) 0 一1乞x空1 3 汀 5y_5y2 fY(y) L How many loved your mome nts of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your cha nging face; And bending dow n beside the

16、glow ing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars. The furthest dista nee in the world Is not betwee n life and death But whe n I sta nd in front of you Yet you dont know that I love you. The furthest dista nee in the world Is not whe n I sta nd in front of you Yet you cant see my love But whe n un doubtedly knowing the love from both Yet cannot be together. The furthest dista nee in the world Is not being apart while being in love B