用空間向量解立體幾何題型與方法

1、用空間向量解立體幾何題型與方法平行垂直問題基礎(chǔ)知識(shí)直線l的方向向量為 a =(ai, bi,ci).平面a,卩的法向量u =但3,b3,C3), v =(a4,b4, C4)(1)線面平行：I/a? a丄u? a u = 0? aia3+ bib3 + cic3= 0線面垂直：I丄 a?a /u?a = ku?ai = ka3,bi = kb3,ci = kc3面面平行：all 3?u /v?u = kv?a3= ka4,b3= kb4,C3= kc4面面垂直： a丄 3? u丄v? u v = 0? a3a4+ b3b4 + C3C4 = 0例i、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中

2、，PA丄底面ABCD , E, F分別是PC,PD 的中點(diǎn)，PA= AB = 1 , BC= 2.求證：EF/平面PAB;(2)求證：平面 PAD丄平面PDC.證明以A為原點(diǎn)，AB, AD , AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)1 1系如圖所示，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0) , D(0,2,0),P(0,0,1),所以E2 ,21uuur1uuuuuuuuuF 0, 1 , 2 ,EF =-2, 0, 0 ,PB = (1,0 , - 1),PD = (0,2 ,i),APuuuuuuruuu(0,0,1) , AD =：(0,2,0),DC = (

3、1,0,0),AB = (1,0,0).uuur i uuuuuur uuu因?yàn)?EF 一； AB，所以 EF / AB，即 EF/AB.又AB?平面PAB, EF?平面PAB,所以EF/平面PAB.uuu uuuruuur uuir因?yàn)?AP DC = (0,0,1) (1,0,0) = 0 , AD DC = (0,2,0) (1,0,0) = 0,uuuuuiruuuruuur所以AP丄DC , AD丄DC，即AP丄DC, AD丄DC.又APAAD = A , AP?平面PAD, AD?平面PAD，所以DC丄平面PAD因?yàn)镈C?平面PDC,所以平面PAD丄平面PDC.方法技巧1使用空間向

4、量方法證明線面平行時(shí)，既可以證明直線的方向向量和平面內(nèi)一條直線的 方向向量平行，然后根據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量 與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進(jìn)行判定， 也可以證明兩個(gè)平面的法向量垂直 例 2、在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ABC = 90 , BC= 2 , CCi = 4 ,點(diǎn) E在線段 BBi 上,且 EBi = 1 , D , F, G 分別為 CCi, C1B1, C1A1 的中點(diǎn).求證：(1)BiD丄平面ABD ;平面EGF /平面ABD.證明：(i)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、BBi所在的直線分別為

5、 x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0,0) , D(0,2,2) , Bi(0,0,4),uuuuuuuuuu所以 BA = (a,0,0) , BD = (0,2,2) , BiD = (0,2 , 2),設(shè) BA = a,則 A(a,O,O),uuun uuuBi D -BA = 0,uuuu uuuBiD -BD = 0 + 4 4 = 0，即 BiD 丄 BA,BiD 丄 BD.又 BA ABD = B,因此BiD丄平面ABD.auuur由(i)知，E(0,0,3) , G 2, i , 4 , F(0,i,4)，則 EG =uuurEF = (0,i,i),A

6、iJUDc y4uuuu uuuuuuu uuurBiD -EG = 0 + 2 2 = 0, BiD -EF=0 + 2 2 = 0,即BiD丄 EG,BiD丄 EF.又EGAEF= E,因此BiD丄平面EGF.結(jié)合(i)可知平面EGF /平面 ABD.(3)向量法求二面角：求出二面角a I卩的兩個(gè)半平面a與供勺法向量ni, n2,利用空間向量求空間角基礎(chǔ)知識(shí)(i)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a, b的方向向量分別為a, b，異面直線所成|a b|的角為 0,貝U cos 0= |cos a, b | =|a|b|(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n,直線的方向向量a,設(shè)線

7、面所成的角為|n -|0,貝U sin0= |cos n , a | =|n |a|n i n2|若二面角a l -卩所成的角B為銳角，則cos 0= |cosn i, n2| =ln 1II n2l|ni n2|若二面角a l 3所成的角0為鈍角，則cos 0= |cosni, n2|=|n111 n21例 1、如圖，在直三棱柱 AiBiCi-ABC 中，AB丄AC, AB = AC = 2 , AiA = 4 ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).(1)求異面直線AiB與CiD所成角的余弦值;求平面ADCi與平面ABAi所成二面角的正弦值.(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，貝U

8、A(0,0,0),uuuuB(2,0,0),C(0,2,0) , D(1,1,0),Ai(0 , 0,4) , Ci(0,2,4)，所以u(píng)uurAiB = (2,0 ,(1 , 1 ,因?yàn)閡uun uuuucos A1B , C1Duuun uuurA1B C1D tutuuuuu|3*10AiB | CiD |20 x 1810183/i0所以異面直線 AiB與CiD所成角的余弦值為 一10uuuruuuu設(shè)平面 ADCi的法向量為 ni = (x, y, z)，因?yàn)锳D = (1,1,0) , AC1uuuruuuuni -AD = 0 , n i AC1 = 0，即卩 x + y = 0

9、 且 y + 2z= 0，取 z= 1，得 x = 2, y= 2，所以,ABAi的一個(gè)法向量為 n2 = (0,1,0).設(shè)ni= (2 , 2,1)是平面 ADCi的一個(gè)法向量.取平面平面ADCi與平面ABAi所成二面角的大小為 0.n 1 n2由 |cos0| =|n 1| n2|0=丁因此，平面 ADCi與平面ABAi所成二面角的正弦值為例 2、如圖，三棱柱 ABC-AiBiCi 中，CA= CB, AB = AAi,ZBAAi = 60(1) 證明：AB丄AiC;(2) 若平面 ABC丄平面 AA1B1B, AB = CB,求直線 AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值.解(1)證明

10、：取 AB的中點(diǎn)O,連接OC, OAi, AiB.因?yàn)镃A = CB,所以0C丄AB.由于AB = AAi,ZBAAi = 60。，故ZAAiB為等邊三角形，所以 OAi丄AB.因?yàn)镺C nOAi = O,所以AB丄平面OAiC.又AiC?平面OAiC，故AB丄AiC.(2)由(i)知OC丄AB, OAi丄AB.又平面ABC丄平面AAiBiB，交線為 AB,所以O(shè)C丄平面AAiBiB，故OA , OAi, OC兩兩相互垂直.uuuuuu以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的正方向，|OA|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O-xyz.由題設(shè)知 A(i,O,O) , Ai(O,：3 , 0),

11、 C(0,0 ,：；3) , B( i,0,0).uuir則 BC = (i,0 ,uuur uuuruuuiBBi = AAi = ( i, 3, 0), AiC = (0 ,設(shè)n = (x , y , z)是平面BBiCiC的法向量,uuurn BC = 0 , 則 uuunn BBi = 0.可取 n = ( .；3 , i , i).uuur故 cos n , AiCuuurn ACuuuu =|n| AiC |,i05 所以AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值為5方法技巧(1) 運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)；結(jié)合公

12、式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.(2) 求空間角應(yīng)注意：兩條異面直線所成的角a不一定是直線的方向向量的夾角卩,即COS a= |COS卩|.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所 求.例 3、如圖，在四棱錐 S-ABCD 中，AB丄 AD , AB /CD, CD = 3AB = 3,平面SAD丄平面ABCD , E是線段AD上一點(diǎn)，AE= ED = - 3 , SE丄AD.證明：平面 SBE丄平面SEC;(2)若SE= 1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值.解：證明：平面 SAD丄平面 ABCD，平面 SAD門平面 ABCD = AD , SE?平面SA

13、D,SEX AD ,.SE 丄平面 ABCD. vBE?平面 ABCD ,.SE 丄 BE. vAB 丄 AD , AB /CD,CD = 3AB = 3 , AE= ED = ” 3 ,.ZAEB= 30 ,zCED = 60 . /./BEC= 90 ,即 BE丄 CE 又 SEnCE= E,.BE丄平面 SEC./BE?平面 SBE,平面SBE平面SEC.由知，直線ES, EB, EC兩兩垂直.如圖，以 E為原點(diǎn)，EB為x軸，EC為y軸,ES為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則 E(0,0,0) , C(0,2 .3 , 0) , S(0,0,1) , B(2,0,0)，所以u(píng)uu:一 u

14、ur一 uur-CE = (0，- 23 ,0) , CB= (2 , - 2 3 ,0) , CS= (0 , - 23 ,1).設(shè)平面SBC的法向量為n = (x , y , z),uuun CB = 0 , 則 uurn CS = 0.令 y = 1,得 x=3 , z= 23 ,則平面SBC的一個(gè)法向量為n = C 3, 1,2”. 3).uuu n CE 1 設(shè)直線CE與平面SBC所成角的大小為e ,則sin 0= |曠| =|n |CE |41 故直線CE與平面SBC所成角的正弦值為-.4例4、如圖是多面體 ABC-A1B1C1和它的三視圖.(1)線段CC1上是否存在一點(diǎn) E,使B

15、E丄平面AiCCi ?若不存在，請(qǐng)說明理由，若存 在，請(qǐng)找出并證明;求平面CiAiC與平面AiCA夾角的余弦值.解：(i)由題意知 AAi, AB , AC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則uuurA(0,0,0) , Ai(0,0,2) , B( 2,0,0) , C(0，- 2,0) , Ci( i , - i,2)，則 CCi = ( i,i,2),uuuuruuuuuuurAiCi = (i , i,0) , AiC = (0 , 2， 2) 設(shè) E(x, y, z)，則 CE = (x, y + 2, z),uuuruuu uuuuECi = ( i x, i y,2 z).

16、設(shè) CE = XECi (入0),x = Z； Zx,則 y + 2 = Z ?y,uuu BE =2 + Zi + Z，則 E7Tz，uuu uuuirBE AiCi = 0, 由 uuu uuuaBE AC = 0,2 Z 2 Z 莒=0，解得Z= 2,z= 2 Z /z.uuu uuur所以線段CCi上存在一點(diǎn)E, CE = 2 ECi，使BE丄平面AiCCi.uuuiTm AiCi = 0,設(shè)平面 CiAi C的法向量為 m = (x , y , z),則由 uuun得m AiC = 0,-X - y= 0,-2y-2z= 0 ,取x = 1，貝U y= 1, z = 1.故 m =

17、(1 , - 1,1)，而平面 AiCA的一個(gè)法向量為 n =(1,0,0),貝U cos m ,3，故平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值為利用空間向量解決探索性問題例1、如圖1，正ABC的邊長(zhǎng)為4 , CD是AB邊上的高，E, F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將 ABC沿CD翻折成直二面角 A-DC-B(如圖2).試判斷直線 AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由;求二面角E-DF-C的余弦值;(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P, 使 AP DE?如果存在，求出BP的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.解在ABC中，由E, F分別是AC, BC中點(diǎn)，得EF/AB.又AB?平面DEF, EF平面 D

18、EF,.AB / 平面 DEF.(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線 DB , DC , DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2),B(2,0,0) ,C(0 ,2 3 , 0) , E(0 ,3, 1),F(1，一 3 ,uuir一uuur-uuu0), DF = (1 ,_ 3 , 0),DE = (0, 3 ,1) , DA = (0,0,2).屮出平面CDF的法向量為 DA = (0,0,2).設(shè)平面EDF的法向量為n = (x , y , z),取 n = (3,LUJLTDF n = 0, 則 uuurDE n =0,uuucos DA , nuuu DA n

19、uuu-,.21(3)存在.設(shè)st,I DA |n|所以二面角E- DF- C的余弦值為217uuuP(S, t,0)，有 AP = (s,uuur uuurt，- 2)，則 AP DE =t =uuu又 BP = (s- 2 , t, 0),uuuuuu uuuPC =( s,2,：3 t,0) , BP / PC,.(s 2)(23 t)=-i3s+ t = 2 .3.34 uuu 1 uuu s = , BP =- BC ,33BP 1在線段BC上存在點(diǎn)P,使AP丄DE.此時(shí)，乙=3方法技巧1 空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)

20、算進(jìn)行判斷2 解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法 例 2、如圖所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，/ACB= 90 ,AA1= BC= 2AC = 2.(1) 若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面 B1CD丄平面B1C1D ;(2) 在AA1上是否存在一點(diǎn) D，使得二面角 B1-CD-C1的大小為60 ?解：(1)證明：如圖所示，以點(diǎn) C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系貝yC(0,0,0)，A(1,0,0)，B1 (0,

21、2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，uuuruuuuruuu即 C1B1 = (0,2,0)，DC1 = ( 1,0,1)，CD = (1,0,1).uuuur uuuuuuiruuu由 C1B1 CD = (0,2,0) (1,0,1) = 0 + 0 + 0 = 0，得 C1B1 丄 CD，即 C1B1 丄CD.uuuu uuuuuuu uuu由 DC1 CD = ( 1,0,1) (1,0,1) = 1 + 0 + 1 = 0，得 DC1 丄 CD，即 DC1 丄CD.又 DC1 AC1 B1 = C1，tCD 丄平面 B1C1D.又 CD?平面 B1CD，平面 B1CD丄平

22、面 B1C1D.(2)存在.當(dāng) AD = AAi時(shí)，二面角 Bi-CD-Ci的大小為60。理由如下:2uuuuuir設(shè) AD = a,貝U D 點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0, a), CD = (1,0, a), CB1 = (0,2,2),設(shè)平面BiCD的法向量為 m = (x, y, z),uuurm CB1 = 02y + 2z = 0 ,則uuu?令 z= 1，得 m = (a,1 , - 1)m CD = 0x + az= 0,uuuuur|m CB |11又/ CB = (0,2,0)為平面 GCD 的一個(gè)法向量，則 cos 60 =-,|m|CB| 十2 + 2 2解得a = 2(負(fù)值舍去)

23、，故AD = ” 2 =-AA1.在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意.空間直角坐標(biāo)系建立的創(chuàng)新問題空間向量在處理空間問題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問題“運(yùn)算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐標(biāo)系，因而建立空間直角坐標(biāo)系問題成為近幾年試題新的命題點(diǎn).一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例1、如圖，四棱錐 P-ABCD中，PA丄底面ABCD , BC= CD = 2, AC= 4 ,nZACB = ZACD = -, F 為 PC 的中點(diǎn)，AF丄 PB.3(1) 求PA的長(zhǎng)；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值.(1)學(xué)審題一一審條件之審視圖形建系PA丄面

24、ABCD*由條件知AC丄BD DB, AC分別為x, y軸一寫出A, B, C, D坐標(biāo) PF= CFAF 丄 PB uuiruuu設(shè)P坐標(biāo)一可得F坐標(biāo)一 AFPB = 0得P坐標(biāo)并求PA長(zhǎng).uuuuuruuu(2)學(xué)審題由(1)AD,af ,AB 的坐標(biāo)向量ni, n 2分別為平面FAD、平面FAB的法向量uuuruuirni -AD = 0 且 ni AF = 0求得 ni n2 求得夾角余弦.解 如圖，連接BD交AC于O,因?yàn)锽C= CD，即 BCD為等腰三角形，又 AC uuu uuu uuu平分/BCD，故AC丄BD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB , OC , AP的方向分別為x軸，y軸，z

25、n軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，貝U OC = CDcos = 1.而AC = 4，得AO = AC3B(3, 0,0) , C(0,i,0) , D(- 3 ,OC = 3.又 OD = CDs in 才=3，故 A(0， 3,0), 0,0).ZuuiT又AF2z uuu=0, 2, 2 , PB =uuur,3, - z), AF丄 PB,故 AFuuuPB = 0,z26 J = 0，z =因PA丄底面ABCD，可設(shè)P(0，- 3, z).由F為PC邊中點(diǎn)，知F 0，- 1,uuu廠所以 |PA |= 2 3uuur廠由(i)知 AD = (- 3 ,uuur3,0) ,

26、AB,3,0),.設(shè)平面FADuuurAF = (0,2 ,的法向量為n1 =(X1,y1, Z1),平面FAB的法向量為 n2 = (x2, y2, Z2),2).uuurm AD = 0,uuurn i AF = 0,i + 3yi = 0 , 得2yi + 3zi = 0 ,因此可取ni = (3 , - 3 ,-uuun2 -AB = 0 ,uuurn2 -AF = 0，得3X2 + 3y2= 0,2y2+3Z2 = 0 ,故可取 n2= (3，. 3, 2).從而法向量ni,n2的夾角的余弦值為 cos ni, n2ni n2i|ni| n2|8故二面角B-AF-D的正弦值為方法技巧

27、1建立空間直角坐標(biāo)系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系本題利用 AC丄BD ,若圖中存在交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，則以該點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系在沒有明顯的垂直關(guān)系時(shí)，要通過其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的位置建 立空間直角坐標(biāo)系，注意建立的空間直角坐標(biāo)系是右手系，正確確定坐標(biāo)軸的名稱例2、如圖，在空間幾何體中，平面 ACD丄平面 ABC , AB = BC = CA = DA = DC = BE，且點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)的射影落在/ ABC的平分線I)=2.BE與平面ABC所成的角為60 上.求證：DE /平面ABC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.解：證明：(1)易知

28、ABC,MCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取AC的中點(diǎn)0,連接BO, DO，貝U BO丄AC, DO丄AC. ：平面ACD丄平面 ABC,DO丄平面ABC.作EF丄平面ABC，貝U EF/DO.根據(jù)題意，點(diǎn) F落在BO上,ZEBF= 60 ,易求得EF= DO = 3，四邊形DEFO是平行四邊形，DE /OF.DE?平面 ABC, OF?平面 ABC,DE /平面 ABC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，可求得平面 ABC的一個(gè)法向量為n1 = (0,0,1).可得 C( 1,0,0) , B(0,3 , 0),，則uuuuuurCB = (1 ,3 , 0), BE(0, - 1 ,3

29、)uuu設(shè)平面BCE的法向量為n2 = (x, y, z)，則可得n2 CB = 0,uuun2 BE = 0,即(x, y, z) (1 , - 3, 0) = 0, (x, y, z) (0， 1 , - 3)ni ni故 cos n i, n 2|n 1| n2|13荷.又由圖知，所求二面角的平面角是銳角,V13故二面角e-bc-a的余弦值為右可取 n2= (- 3, - 3專題訓(xùn)練1.如圖所示，在多面體 ABCD AiBiCiDi中，上、下兩個(gè)底面 A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1丄底面 ABCD , AB /A1B1, AB = 2A1B1 = 2DD1 =

30、2a.(1) 求異面直線 AB1與DD1所成角的余弦值；(2) 已知F是AD的中點(diǎn)，求證：FB1丄平面BCC1B1.直角坐標(biāo)系，則A(2a,0,0),B(2a,2a,0) , C(0,2 a,0) , D1(0,0 ,a), F(a,O,O) , B1(a, a ,a), C1(0 , a, a).uuuuuuuuuuuu(1) AB1 = ( a, a, a), DD1 = (0,0, a),：cos AB1 ,uuuuDD1uuuu uuuuAB1 DD1=uuuD uuur =I AB1 | DD1 |解：以D為原點(diǎn)，DA, DC , DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的

31、空間.3uuurFB1uuurbC=0.FB1 丄 BB1, FB1 丄 BC.所以異面直線 AB1與DD1所成角的余弦值為3uumuuuuuur(2)證明：T BB1 = ( a， a, a), BC = ( 2a,0,0) , FB1 = (0 , a, a),uuur uuunFB 1 BB1 = 0,ABC丄平面.BB1 ABC = B,.FB1 丄平面 BCC1B1.2 .如圖，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面AA1C1C,AB = 3 , BC= 5.(1)求證：AA1丄平面 ABC;求二面角 A1-BC1-B1的余弦值;BD證明：在線段 BC

32、1上存在點(diǎn)D，使得AD丄A1B，并求的值.解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?AA1C1C為正方形，所以 AA1丄AC.因?yàn)槠矫鍭BC丄平面AAiCiC,且AAi垂直于這兩個(gè)平面的交線 AC,所以AAi丄平面ABC.由(1)知 AA1 丄 AC , AA1 丄AB.由題知 AB = 3 , BC= 5 , AC= 4 ,所以 AB丄 AC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，貝U B(0,3,0)，Ai(0,0,4)，Bi(0,3,4),Ci(4,0,4),uuuuA1B = (0,3 , 4),uuuirA1C1 = (4,0,0).設(shè)平面AiBCi的法向量為n = (x, y, z),u

33、uurAB = 0,uuurA C1 = 0.3y 4z = 0 , 即4x= 0.令 z= 3，貝U x= 0, y = 4，所以 n = (0,4,3).n m 16 同理可得，平面B1BC1的一個(gè)法向量為m = (34,0).所以cos=而|2516由題知二面角A1-BC1-B1為銳角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為石證明：設(shè)D(x, y, z)是直線BCi上一點(diǎn)，且uuur uuuu BD = XBC1 .所以(x, y 3, z) = Z(4 , - 3,4) 解得y= 3 3 入，z = 4 入uuur所以AD = (4uuu入3 3人4入).由ADuuurAB = 0,即

34、925入=0,解得入=石9 因?yàn)?2； * 0,1，所以在線段BCi上存在點(diǎn)D，使得AD丄AiB.BD此時(shí)，9=x=.BC1253 .如圖(1)，四邊形ABCD 中，E 是 BC的中點(diǎn)，DB = 2 , DC = 1 , BC = 5 , AB =AD = .2.將圖(1)沿直線1(1) 求證：AE丄平面BDC;(2) 求直線AC與平面ABD所成角的余弦值.解：(1)證明：取 BD 的中點(diǎn) F,連接 EF, AF,則 AF= 1 , EF= ?，/AFE= 60 由余弦定理知AE=24.104AE2+ EF2= AF2,.AE丄 EF.AB = AD , F 為 BD 中點(diǎn).二 BD丄 AF.

35、又 BD = 2 , DC = 1 , BC= 5, aBD2 +DC2=BC2,即BD丄CD.又E為BC中點(diǎn)，EF/CD,BD 丄 EF.又 EFAAF= F,BD 丄平面 AEF.又 BD 丄AE ,vBD AEF= F,.AE丄平面BDC.以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則uuuDB = (2,0,0)uuu DA =uuur AC =.32設(shè)平面ABD的法向量為n = (x,z),uuurDB = 0 uuuDA = 02x= 0,一 3Tz=0，則 y =- 3，又Tn = (0，- 3 ,3).uuur uuur n -ACcos n , AC = uuur =-|n| A

36、C |故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為5.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面 PAD丄底面 ABCD，側(cè)棱 PA= PD = - 2 , PA丄4如圖所示，在矩形 ABCD中，AB = 3 .5 , AD = 6, BD是對(duì)角線，過點(diǎn) A作AE丄BD，垂足為 0,交CD于E,以AE為折痕將厶ADE向上折起，使點(diǎn) D到點(diǎn)P的位置，且PB= - 41.求證：P0丄平面ABCE;求二面角E-AP-B的余弦值.解：（1）證明：由已知得 AB = 3 5 , AD = 6 ,.BD= 9. 在矩形 ABCD中，；AE丄BD,DO ADRtAOD sRt ABAD ,.=, DO = 4 , BO = 5.cAD BD在