空間解析幾何及向量代數(shù)測試題及答案

1、空間解析幾何及向量代數(shù)測試題及答案軍教院 第八章空間解析幾何測試題一、填空題(共 7 題，2分/空，共 20 分)1. 四點(diǎn) O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,1), C (0,0,1) 組成的四面體的體積是6_. 2.已知向量 a =(1,1,1), b =(1,2, 3) , c =(0,0,1),則(a ? b ) ? c=_(-2,-1,0).1?x =y 3. 點(diǎn)(1, 0, 1) 到直線?的距離是3x -z =0? 4. 點(diǎn)(1, 0, 2) 到平面 3x +y +2z =1 的距離是. ? x 2+y 2-z =05. 曲線 C:? 對 xoy 坐標(biāo)面的射

2、影柱面是 _x 2-x +y 2-1=0,? z =x +1對 yoz 坐標(biāo)面的射影柱面是 _(z -1) 2+y 2-z =0, 對 xoz 坐標(biāo)面的射影柱面是 z -x -1=0.? x 2=2y6. 曲線C:?繞x軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是 _x 4=4(y 2+z 2) ，曲線? z =0C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是 _x 2+z 2=2y .x 2y 2z 27. 橢球面+=1的體積是40 n.9425二、計(jì)算題(共 4題, 第1 題10分, 第2題15分, 第 3題20分, 第4題10分, 共55 分)1. 過點(diǎn) P (a , b , c )作 3 個坐標(biāo)平面的射影點(diǎn) , 求

3、過這 3 個射影點(diǎn)的平面方程 .這里a , b , c是3個非零實(shí)數(shù) .解: 設(shè)點(diǎn) P (a , b , c )在平面 z =0 上的射影點(diǎn)為 M 1(a , b ,0) ，在平面 x =0上的射影點(diǎn)為 M 2(0,a , b )，在平面 y =0 上的射影點(diǎn)為 M 3(a ,0, c )，則 M 1M 2=(-a ,0, c ) ，M 1M 3=(0,-b , c )x -a于是 M 1，M 1M 2，M 1M 3 所確定的平面方程是 -ay -b 0-bz c =0 c即 bc (x -a ) +ac (y -b ) +abz =0 .? x +y =0 ? x -y =02. 已知空間兩

4、條直線 l 1: ? , l 2: ? .z +1=0z -1=0 ? ?(1) 證明 l 1 和 l 2 是異面直線 ;(2) 求 l 1 和 l 2 間的距離 ;(3) 求公垂線方程 . 證明： (1) l 1 的標(biāo)準(zhǔn)方程是v 1=1, -1,0 l 2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x y z -2= ，l 2 經(jīng)過點(diǎn) M 2(0,0,2) ，方向向量 v 2=1,1,0 ，于 110x y z +1= ，l 1 經(jīng)過點(diǎn) M 1(0,0,-1) ，方向向量 1-10是003(M 1M 2, v 1, v 2) =1-10=6工0,所以I 1和I 2是異面直線。110(2) 由于 v 1 ? v 2=(0,0

5、,2) ，v 1 ? v 2=2l 1 和 l 2 間的距離 d =(M 1M 2, v 1, v 2)v 1 ? v 26=3 2? x y z +1 ? 1-10=0 ? 2? 00(3) 公垂線方程是 ? ，即? x y z -2 ? 110=0?2 ? 00? x +y =0 。?x -y =0 ? x 2=2y3. 求曲線 ? 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面方面 z =1 ? x 2=2y的緯解：設(shè) M 1(x 1, y 1, z 1) 是母線 ? 上任意一點(diǎn) , 則過 M 1(x 1, y 1, z 1) 圓方程是? z =1x 2+y 2+z 2=x 12+y 12+z 121) ?x

6、 -x 1=0 ? x 12=2y 1又? ，( 2)z =1 ? 1由( 1)( 2)消去 x 1, y 1, z 1得到 x 2-2y 2-2z 2+2=0.x 2y 2z 24. 已知單葉雙曲面 +-=1, P (2, 0, 0)為腰橢圓上的點(diǎn) ,4925(1) 求經(jīng)過點(diǎn) P 兩條直母線方程及其夾角 ;(2)求這兩條直母線所在的平面n的方程及平面n與腰橢圓所在平面的夾角y ? x zw (+) =u (1+) ? ? 253解： (1) 設(shè)單葉雙曲面兩直母線方程是 ? 與x z y ? u (-) =w (1-) ? 3? 25y ? x zt (+) =v (1-) ? ? 253?

7、v (x -z ) =t (1+y ) ? 3? 25把點(diǎn) P (2, 0, 0) 分別代入上面兩方程組，求得 w =u , t =v 代入直母線方程， y ? x z ? x z+=1+=1- ? ? ? 25? 253得到過點(diǎn) P (2, 0, 0) 的兩條直母線 ? 與? x -z =1-y ? x -z =1+ ? ? 3? 25? 25y，即 y 315x -10y +6z -30=03與?15x +10y -6z -30=0 ? 15x +10y +6z -30=0? 15x -10y -6z -30=0兩直母線的方向向量可分別取 v 1=(0,3,5) 和 v 2=(0,3,-5

8、) ，設(shè)兩直母線的夾角是 0，則有 COS 0 =v 1 ?v 2-88,0 = n -arccos .=17v 1v 217x -2y z(2)兩直母線所在平面n的方程是0035=0 ，即 x =2 3-5顯然平面n與腰橢圓所在的平面的夾角是0.四、證明題 ( 共 2 題, 第一題10分, 第二題 15分, 共 25分)24t t 2t 31. 求證 : 曲線 r (t ) =(, , )在一個球面上 , 這里的1+t +t 21+t +t 21+t +t 211證明 : 設(shè) r (t ) =(x , y , z )，則有 x 2+y 2+z 2=y ，即 x 2+(y -) 2+z 2=t

9、 t 2t 311(0,0)所以曲線r (t ) =( 在球心為 , 半徑為的球 , , )221+t +t 21+t +t 21+t +t 2面上。2. 證明 :(1) 雙曲拋物面的同族的所有直母線都平行于同一平面 :(2) 雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面 .證明: (1) 雙曲拋物面的 u 族直母線中任一條直母線都平行于平面 x y+=0, a bx yv 族直母線中任一條直母線都平行于平面 -=0,a b因而結(jié)論成立 .5 分(2) 不妨取 u 族直母線來證明，任取 u 族直母線中兩條直母線? x y ? x y+=2u 1 ? a b ? a +b =2u 2和 l 2 ：? l 1 ： ?x y x y ? u 1(-) =z ? u 2(-) =z ? a b ? a b 其中 u 1 工 u 2.由于的第一個方 程表示的平面平行于的第一個方程表示的平面 , 即 l 1 和 l 2 在兩個平行平面上 , 因而 l 1和I 2不會相交.u u 11112u 又由于直線 l 1 的方向向量為 v 1=(, , 0)? (1, -1, -1) =(-