一元二次方程知識點(diǎn)總結(jié)和例題——復(fù)習(xí)

1、4ac0)因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,這種方法簡單易知識點(diǎn)總結(jié)：一元二次方程知識框架知識點(diǎn)、概念總結(jié)1. 一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1) 含有一個(gè)未知數(shù)；(2) 且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2 ；(3) 是整式方程。要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理。如果能整理為ax 2+bx+c=0(a豐0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程。(4 )將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足(a豐0)3. 一元二次

2、方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，？都能化成如下形式 ax2+bx+c=0 (0)。一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0 (a豐0)后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。4. 一元二次方程的解法(1) 直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。 直接開平方法適用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當(dāng)b 0時(shí)，x a b , x a . b，當(dāng) b 0，方程的根是x=-pVq；如果qv 0,方程無實(shí)根.(3) 公式法公式法是用求

3、根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。元二次方程ax2 bx c 0(a0)的求根公式:2b - b 4ac “ 2 x(b2a(4) 因式分解法 行，是解一兀二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判別式根的判別式：一元二次方程ax2 bx c 0(a0)中，b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根的判別式，通常用“”來表示，即b2 4ac6. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是花，化，那么bcx1 x2 , x1x2 _。也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方aa程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系

4、數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。7. 分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是:(1) 去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母(2) 解所得的整式方程(3) 驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去； 若不等于零，就是原方程的根。(參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級人教版)知識點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：ax2 bx c 0 a 0，其中ax2是二次項(xiàng)，a知識點(diǎn)1只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程

5、。例題：1、判別下列方程是不是一元1次方程，是的打“2” ,不是的打“X”，并說明理由.(1)2x 2 -x-3=0.-y 2 =0.4(3) t2=0. x 3-x 2 =1.(5) x2-2y-1=0.1冷x-3=0.(7) . x2 3x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)224(9)3x 2 +6=0.x(10)3x 2= -3.41、若關(guān)于x的方程a(x- 1)2=2x2- 2是一兀二次方程，則a的值是()(A) 2( B)-2(C) 0(D)不等于22、已知關(guān)于x的方程m 1 x22n 3 x p 0 ,當(dāng)時(shí)，方程為一叫二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)

6、。特別警示：(1) “ a 0”是一元二次方程的一般形式的一個(gè)重要組成部分；(2)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須先將方程化為一般形式。例題：1、指出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)2 2(2)5x 10x 2.2 0(3)2x15 0(4)x2 3x 0(5) (x 2)232、關(guān)于x的方程3x2-.2x60中a是； b是； c知識點(diǎn)三.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。 例題：21、已知方程3x 9x2、設(shè)a是一元二次方程 那么a b的值是(A) -4( B) -30的一個(gè)根是1

7、,則m的值是5x0的較大根,(C) 12b 是 x 3x( )(D)20較小根,次方程；當(dāng) 時(shí)，兩根中有一個(gè)為零 a。3、已知關(guān)于x的方程m 2 xm 2 x m 0:3、已知關(guān)于x的一元二次方程x2kx 2 0x 1的一個(gè)解與方程3的解x 1(1) m為何值時(shí)方程為一元一次方程;(2) m為何值時(shí)方程為一元二次方程。相同。(1) 求k的值;2(2)求方程x kx 2 0的另一個(gè)解。知識點(diǎn)四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四種解法：2 2(6) (x 3) 2x 5 3y2 6 y 22(1)直接開平方法：如果x2k k 0，則x ,k(2)配方法：要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后方程兩變同時(shí)

8、加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式，右邊是非負(fù)常數(shù)的形式，然 后用直接開平方法求解；(3)公式法：一元二次方程ax2bx c 0 a 0的求根公式是b .b2 4ac2ab2 4ac(4)因式分解法：如果x0 則 x 1 a,x2b 。知識點(diǎn)五 對于-（1）（2）（3）元二次方程根的判別式 兀二次方程當(dāng)b2當(dāng)b2當(dāng)b22ax4ac 0 時(shí),4ac 0 時(shí),4ac 0 時(shí),溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要， 率最高，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ń狻?例題：解方程：尤其是因式分解法，它使用的頻溫馨提示：若方程有實(shí)數(shù)根, 例題：bx c 0 a 0的根的判別式是 方程有兩個(gè)

9、不相等的實(shí)數(shù)根； 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 方程無實(shí)數(shù)根。2則有 b 4ac 0。b2 4ac :1、方程x2x 0的解是:A. x 1 x21 B. x 11,x23 C. x 1 2, x20D. x 12, X2程.5 1 x21. 5 x的較簡便的解21、已知方程x 3x k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則22、當(dāng)m滿足何條件時(shí)，方程mx 2 m 1 x 9m 1有兩個(gè)相等實(shí)根？有實(shí)根?k=0有兩個(gè)不相等實(shí)根?用3、解下列方程:。解為(1) x2 3 3 x 12(2) 2x x 30(3) X22x23、關(guān)于x的方程mx 2 m 2 x m 50無實(shí)根，試解關(guān)于 x的方程1(5)-322

10、4、已知關(guān)于x的一元二次方程 x 4 m 1 x 2m 10,求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。25、設(shè)Xi, X2是關(guān)于X的一元二次方程 xpx q 0的兩個(gè)根，Xi 1,X2 1是關(guān)于x的一元二次方程x2 qx p0的兩個(gè)根，則p,q的值分別等于多少?若一元二次方程ax2bx c 0 a知識點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系bcx-i x2, x-i x2aa溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一元二次方程必須有實(shí)數(shù)根。 例題：知識點(diǎn)七一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗(yàn)（6）寫出答案。在檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)從

11、方程本身和實(shí)際問題兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)。1、有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3,而此兩位數(shù)比這兩個(gè)數(shù)字之積的二倍多5，求這個(gè)兩位數(shù)。30的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是2 21、關(guān)于x的一元二次方程 x kx 4 k3 十（C）（ D）不存在422m 3 x m0的兩個(gè)不相等2 24、兩個(gè)不相 等的實(shí)數(shù) m,n滿足m 6m 4, n 6n 4，貝U mn的值為。且滿足x1 x2 x/2，則k的值為:3（A）1或一（B）1422、已知，是關(guān)于x的一元二次方程x1 1的實(shí)數(shù)根，且滿足1，則m的值是（A）3 或-1（ B）3（ C）1（ D） -3 或 12 23、方程x 3x 6 0與方程x 6x 3 0的所有根

12、的乘積是 2、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過 連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百 分率是多少？3、將一條長20m的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正 方形。（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17平方米，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12平方米嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度;若不能，請說明理由。一元二次方程綜合復(fù)習(xí)1下列方程中，關(guān)于 x的一元二次方程是2 1 1 2 2 2A. 3 x 12 x 1 B.2 0 C. ax bx c 0 D. x 2x x 1x x3、若

13、x1是一元二次方程2 axbx20的一個(gè)根，則a b。K4、實(shí)數(shù)b2 4ac是方程的根( )2a(A) ax2bx c 02(B) axbxc0(C) ax2bx c 0(D) ax2 bxc025、方程x25 0的解是：( )A. x 1x25 B. x 1 x225C. x 15x5D. x 125, x225是()(A) m 1( B) m 0( C) | m| 豐 1(D) m= 126、關(guān)于x的一兀二次方程 kx2x 10兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()(A ) k1(B) k1(C) k0(d ) k1且k 07、在下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是( )x12A) x 3x 10

14、B) 4x1 1C) x22x3 0 D)x 1 x 128、關(guān)于x的一元二次方程 2x 2x 3m 1 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 捲公2，且3 x2 -5x+6=0 (因式分解法)4. 2x2 7x 30 (公式法)2、方程(m2 1) x2 + mx 5 = 0是關(guān)于x的一元二次方程，則m滿足的條件12、 當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式x2 3x比代數(shù)式2x2 x 1的值大2 .13、 某商品原價(jià)每件25元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在商品每件16元, 則該玩具平均每次降價(jià)的百分率是 。14、有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 x個(gè)人，方程為 15、 參加一次聚會(huì)的

15、沒兩個(gè)人都握了一次手，所有人共握手36次，設(shè)有x人參加聚會(huì)，方程為16、解下列方程：217、設(shè)X1,X2是關(guān)于x的方程x0的兩個(gè)根，且滿足x-i x2x1X24，貝U m的取值范圍是()51551(A) m(B) m(C) m(D)m323329.若(x+y)(1x y) +6=0，貝U x+y 的值是()A. 2B . 3C. 2 或 3D.2或一310、若(m+1)m(m 2) 1x+2mx 仁0是關(guān)于 x的一兀二次方程，則m的值是11、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：x2 5x = (x )2.，求m的值。31. (x 2)2250直接開平方法 2. x2 4x 50 (配方法)18、求證：二

16、次三項(xiàng)式 x2+4x 5的值恒小于0并求出它的最大值。22、一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個(gè)正方形， 制成高是5 cm,容積是5 0 0 cm3的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。219、已知關(guān)于x的一元二次方程 x kx 10 o23、如圖，有一面積為150 m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻(墻長18 m),(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆的長為35 m，求雞場的長與寬各為多少米?(2)設(shè)的方程有兩根分別為X1,X2，且滿足 X1 X2X1 X2求k的值。20、已知 ，X的兀二次方程2 2x 2m 3 x m0的兩個(gè)不相是天于等的實(shí)數(shù)根，且滿足1 11,則m的值是( )(A ) 3 或-1(B)3(C) 1(D) -3 或 124、西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克，為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價(jià)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這 種小西瓜每降價(jià)0.1元/千克，每天可多售出 40千克，另外，每天的房租等固 定成本共24元，該經(jīng)營戶要想每天盈利2