(完整版)一元二次方程全章講義

1、 一元二次方程知識要點1.一元二次方程1）方程的等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2（二次）的方程，叫做一元二次方程。ax + bx + c = 02）一元二次方程的一般形式：（a0）2ax2 為二次項，a 為二次項系數(shù)；bx 為一次項，b 為一次項系數(shù)；c 為常數(shù)項。2.一元二次方程的根。1）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。x + bx +5 = 0的一個根，則常數(shù) b 是多少？例 1.如果 2 是方程23.解一元二次方程1）直接開平方法（x + n） = px = p - n x = - p -

2、 n，（1）若一元二次方程易寫為2形式，當(dāng) p0 時 ，則12例 2.解下列方程（5+ x）= 36（x + 6）-9 = 022（x + n） = p x = x = -n形式，當(dāng) p=0 時，（2）若一元二次方程可寫為212（x + n） = p形式，當(dāng) p0 時，因為實數(shù)的平方不會是負(fù)數(shù)，（3）若一元二次方程可寫為2所以 x 取任何實數(shù)時，等式都不成立，即原方程無實數(shù)根。2）配方法（1）通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法。（a + b）= a + 2ab + b（a - b）= a - 2ab + b完全平方公式：222222a + 2ab + b =（a + b）a

3、- 2ab + b =（a - b）配成完全平方公式： 222222例 3.填空x +10x + _ = (x + _)x -12x + _ = (x _ 6)2222x + 5x + _ = (x + _)2x + 20x + _ = （2 x + _）2222 一元二次方程例 4.解方程x + 6x + 4 = 02x - 20x - 22 = 022移項x + 6x = -426（ ）2兩邊同時加2x + 6x + 3 = -4 + 3222左邊寫成完全平方形式（x + 3） = 52配方法解一元二次方程的一般步驟：（一移、二化、三配、四開）降次x + 3 = 51、移項：將常數(shù)項移到右

4、邊，含有未知數(shù)的項移到左邊x + 3 = 5 x + 3 = - 5，解一次方程x = -3+ 5 x = -3- 52、二次項系數(shù)化為 1：左右兩邊同時除以二次項，12例 5.用配方法解下列方程x -8x +1= 02x +1= 3x223）公式法ax + bx + c = 01）任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式：2（a0）- b b2 - 4acd = b - 4ac 0x =則當(dāng)2時，有求根公式。2a2）推導(dǎo)過程 一元二次方程ax + bx + c = 02用配方法解：bcax + x = -2解：移項、二次項系數(shù)化為 1 得abbcbx + x +（ ）= - +（ ）222配方

5、得a2aa 2abb - 4ac2（x + ）=2即2a4a22為根的bb - 4ac2x += 則2a2a判別式- b + b - 4ac- b - b - 4ac22d = b - 4ac0x =x =2時，、；當(dāng)2ab2a12d = b - 4ac = 0x = x = -2時，時，；當(dāng)當(dāng)2a12d = b - 4ac0b2 - 4ac無意義，方程無實數(shù)根。23）用公式法解一元二次方程的一般步驟:1.把方程化為一般形式，確定 a、b、c 的值；2.求出=b - 4ac2的值；- b + b - 4ac- b - b - 4ac22x =1x =3.當(dāng)0 時，有兩個不相等的實數(shù)根，即2a，

6、2a；2bx = x = -4.當(dāng)=0 時，有兩個相等的實數(shù)根，即5.當(dāng)0 時，無實數(shù)根。；2a12例 6.如果關(guān)于 x 的一元二次方程kx2 - 2k +1 x +1= 0有兩個不相等的實數(shù)根，那么 k 的取值范圍為_.例 7.用公式法解下列方程。x + 4x -9 = 2x -112x +1= 3x22 一元二次方程4）因式分解法解一元二次方程（1）先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0 的形式，再使這兩個一次式分別等于 0，從而求得方程的兩個根。（2）用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：移項：將方程的右邊化為 0；化積：將方程的左邊因式分解，化為兩個一次式的乘積；轉(zhuǎn)化：令每個一次

7、式分別為0，得到兩個一元一次方程；求解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解。（3）因式分解法解一元二次方程的常用方法：提取公因式法：ab+ac=a（b+c）；完全平2方式法：a2 2ab + b2 = （a b） ；平方差公式法：a2 b2 =(a + b)（a b）。例 8.用因式分解法解下列方程。2x -12x +18 = 02（x -1）+ x -1= 02（x -1）+1- x = 0（2x +1）=（x + 2）2224.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（方程ax2 + bx + c = 0（a0）- b + b - 4ac- b - b - 4ac22x =1x =根據(jù)公

8、式法：2a2a2，bx + x = -1）兩根之和：2）兩根之積：a12cax x =12例 9.已知三角形一條邊的長為3，它的另兩條邊的邊長是關(guān)于x 的一元二次方程x -5x + 6 = 02的兩個根，則三角形的周長為_. 一元二次方程中考真題1、一元二次方程x（x - 2）= 2 - x的根是（ ）a.-1b.2c.1 和 2d.-1 和 25- ax + a = 02、若 x=-2 是關(guān)于 x 的一元二次方程x2的一個根，則 a 的值為（ ）d.1 或-422a.1 或 4 b.-1 或-4c.-1 或 43、等腰三角形一條邊的長為 3，它的另兩條邊的邊長是關(guān)于 x 的一元二次方程x -12x + k = 0 的兩個根，則 k 的值為（ ）2a.27b.36c.27 或 36d.18xx、x1x + 3x -3 = 0+x x4、設(shè) x是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（ ）221221a.5b.-5c.1d.-1- 2x -1= 05、用配方法解方程x2時，配方后所得方程為（ ）（x +1）= 0（x -1）= 0b.a.22（x +1）= 2（x -1）= 2d.c.22kx +（1- k）x -1= 06、已知關(guān)于 x 的方程，下列說法正確的是（ ）2a.當(dāng) k=0 時，方程無解b.當(dāng) k=1 時，方程只有一個實數(shù)解c.當(dāng) k=-1 時，方程有兩個相等的