(完整版)勾股定理知識點及典型例題

1、 八下第18 章 勾股定理勾股定理知識點導航一、勾股定理：1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為 a，b，斜邊長為c，那么abc. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方222勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a，b，c 有下面關系：a b c ，那么這個三角形是直角三222角形。2. 勾股數：滿足 abc 的三個正整數叫做勾股數（注意：若 a，b，c、為勾股數，那么 ka，kb，kc 同樣222也是勾股數組。）*附：常見勾股數：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判斷直角三角形：如

2、果三角形的三邊長 a、b、c 滿足 a +b =c ，那么這個三角形是直角三角形。（經典直角222三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一個角為 90的三角形是直角三角形。（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設為c）；（2）若cab，則abc 是以c 為直角的三角形；222若abc，則此三角形為鈍角三角形（其中 c為最大邊）；222若abc，則此三角形為銳角三角形（其中 c為最大邊）2224.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于 30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

3、（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于ba斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于 30。dcachbace5. 勾股定理的作用：gacfbbc（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。（2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關系。（3）用于證明線段平方關系的問題。abacbaacdbn（4）利用勾股定理，作出長為 的線段6、2、勾股定理的證明eac勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法cbb 7、錯誤的描述方法：“當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形勾股定理：（一）結合三角形：d-+ -(a b) (b c)=da b c01.已知 abc 的三邊 、 、 滿足22，則

4、abc 為三角形d2.在 abc 中，若bbd=（ + ）（ - ），則 abc 是90cca 2三角形，且d3.在 abc 中，ab=13，ac=15，高 ad=12，則 bc 的長為x -12 + x + y - 25z -10z + 25xy z互為相反數，試判斷以 、 、 為三邊的三角形的4、已知形狀。與2d5、.已知：在 abc 中，三條邊長分別為 、 、 ， =a b c a n 1 b n c n 1 n-+（ 1）2， =2 ， =2 90試說明： c=。da b c6.若 abc 的三邊 、 、 滿足條件a + + +=+2 b c 338 10a 24b 26c+d，試判斷

5、 abc 的形22狀。a - 6 + 2b - 8 + (c -10)2 = 0,a b c則以 、 、 為邊的三角形是7.已知（二）、實際應用：1. 梯子滑動問題：mm（1）一架長 2.5 的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底 0.7 （如圖），如果梯子的頂端沿m墻下滑 0.4 ，那么梯子底端將向左滑動米 a8bc6第1題圖第2題圖第3題圖（2）如圖，一個長為 10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8 米，如果梯子的頂端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑動距離 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如圖，梯子 ab 斜靠在墻面上，acbc，ac=bc，

6、當梯子的頂端 a 沿 ac 方向下滑 x 米時，梯足 b 沿 cb方向滑動 y 米，則 x 與 y 的大小關系是（a. x+y b. xy c. x y（4）小明想知道學校旗桿的高度，他發(fā)現旗桿上的繩子吹到地面上還多 1 m，當他把繩子的下端拉開 5 米后，發(fā)現繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為）d. 不能確定米2. 直角邊與斜邊和斜邊上的高的關系：直角三角形兩直角邊長為 a，b，斜邊上的高為 h，則下列式子總能成立的是（）1 1 1111ab = b2a + b = 2h+ =a b h+=b2 h2a.b.222c.d.a2變：如圖，在 rtabc 中，acb=90，cdab 于 d，

7、設 ab=c，ac=b，bc=a，cd=h。c111+=b2 h2求證：（1）a2（2）a + b c + h（3）以a + b，h，c + hadb為三邊的三角形是直角三角形11h ( + ) = 1，從左邊推到到右邊試一試：（1）只需證明2ab22( ) ( )a + b c + h22（2）（3）( )( )2a + h + h = c + h ，注意面積關系ab = ch22的應用 3. 爬行距離最短問題：1.如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為 10cm，得到c壁的 忽略不計）處有一只昆蟲甲，在盒子的內部有一只昆蟲乙（盒1（1）假設昆蟲甲在頂點c 處靜止不動，如圖 a，在盒子的內部我們

8、先取棱bb 的中點 e，再連結 ae、ec，111a e c1爬行，那么可以在最短的時間內捕捉到昆蟲甲，仔細體會其中的道理，昆蟲乙如果沿途徑并在圖 b 中畫一條路徑，使昆蟲乙從頂點 a 沿這條路爬行，同樣可以在最短的時間內捕捉到昆蟲甲。（2）如圖 b，假設昆蟲甲從點cc c以1 厘米/秒的速度在盒子的內部沿向下爬行，同時昆蟲乙從頂點 a11以 2 厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多少時間才能捕捉到昆蟲甲？c c1試一試：對于（2），當昆蟲甲從頂點沿棱向頂點 c 爬行的同時，昆蟲乙可以沿不同的路徑爬行，利用勾股定理建立時間方程，通過比較得出昆蟲乙捕捉到昆蟲甲的最短時間2.如圖，一塊

9、磚寬 an=5 ，長 nd=10 ，cd 上的點 f 距地面的高 fd=8 ，地面上 a 處的一只螞蟻到 b 處吃食，要爬行的最短路線是cmdm dm dm、3 、23.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 20，a 和 b 是這個臺階兩相對的端點，a 點有一只昆蟲想到 b 點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到 b 點的最短路程是米？分4. 如圖，一只螞蟻沿邊長為 a 的正方體表面從點 a 爬到點 b，則它走過的路程最短為（( )）+ 2 a3a3a15aa.b.c.d. qmabpn5、如圖，壁虎在一座底面半徑為 2 米，高為 4 米的油罐的下底邊沿 a 處，它發(fā)現在自己的正上

10、方油罐上邊緣的 b 處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取 3）6、如圖為一棱長為 3cm 的正方體，把所有面都分為 9 個小正方形，其邊長都是 1cm，假設一只螞蟻每秒爬行 2cm，則它從下地面 a 點沿表面爬行至右側面的 b 點，最少要花幾秒鐘？7 葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常饒著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路線，總是沿著短路線盤旋前進的。難道植物也懂得數學嗎？如果閱讀以

11、上信息，你能設計一種方法解決下列問題嗎？如果樹的周長為 3 cm，繞一圈升高 4cm，則它爬行路程是多少厘米？如果樹的周長為 8 cm，繞一圈爬行 10cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 10 圈到達樹頂，則樹干高多少厘米？ 8、如圖，a、b 是筆直公路 l 同側的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是 300m 和 500m，兩村莊之間的距離為 d(已知 d =400000m )，現要在ba22l公路上建一汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少？4、實際問題1. 小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹離地面的高度是

12、 米。32. 如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是 4平距離是 米。米，則這兩株樹之間的垂直距離是_米，水3. 如圖，一根 12 米高的電線桿兩側各用 15 米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是。4. 如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取 b、c 兩點，在江對岸取一點 a，使 ac 垂直江岸，測得 bc50 米，b60，則江面的寬度為。5、如圖，公路 mn 和公路 pq 在 p 點處交匯，點 a 處有一所中學，ap=160 米，點 a 到公路 mn 的距離為 80 米，假使拖拉機行駛時，周圍 100 米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路 mn 上沿 pn 方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明

13、理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是 18 千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？ 5、求邊長：001.如圖所示，在四邊形abcd 中，bad=90 ，dbc=90 ，ad=3，ab=4，bc=12，求cd。6、方向問題：1. 有一次，小明坐著輪船由 a 點出發(fā)沿正東方向 an 航行，在 a 點望湖中小島 m，測得man30，當他到 b 點時，測得mbn45，ab100 米，你能算出 am 的長嗎？mabn2.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行 15 千米 此時輪船離開出發(fā)點多少 km? 若輪船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此過程中

14、輪船共耗油多少升? 7、折疊問題：1.如圖，矩形紙片 abcd 的長 ad=9 ，寬 ab=3 ，將其折疊，使點 d 與點 b 重合，那么折疊后 de 的長是多少？（1）試說明：af=fc；（2）如果 ab=3，bc=4，求 af 的長3.如圖，在長方形 abcd 中，dc=5，在 dc 邊上存在一點 e，沿直線 ae 把abc 折疊，使點 d 恰好在 bc 邊上，設此點為 f，若abf 的面積為 30，求折疊的aed 的面積adebfc4.如圖所示，有一個直角三角形紙片，兩直角邊 ac=6 ，bc=8 ，現將直角邊 ac 沿直線 ad 折疊，使它落在斜邊 ab 上，且與 ae 重合，你能求出 cd 的長嗎？ a 重合，折痕為 de，則 cd 等于（2542237453a.b.c.d.8、利用勾股定理測量長度如圖，水池中離岸邊 d 點 1.5 米的 c 處，直立長著一根蘆葦，出水部分 bc 的長是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 b 恰好落到 d 點，并求水池的深度 ac.1、如圖，p 是等邊三角形 abc 內一點，pa=2,pb=2 3 ,pc=4,求abc 的邊長。 2、如圖 1-3-11，有一塊塑料矩形模板 abcd