微積分的基本運(yùn)算

1、第4章微積分的基本運(yùn)算本章學(xué)習(xí)的主要目的：1 .復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積 分、二重積分、級(jí)數(shù)、方程近似求解、常微分方程求解的相 關(guān)知識(shí).2 .通過(guò)作圖和計(jì)算加深對(duì)數(shù)學(xué)概念：極限、導(dǎo)數(shù)、積分的 理解.3.學(xué)會(huì)用MatLab軟件進(jìn)行有關(guān)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、不定積 分、級(jí)數(shù)、常微分方程求解的符號(hào)運(yùn)算；4 .了解數(shù)值積分理論，學(xué)會(huì)用MatLab軟件進(jìn)行數(shù)值積分 用級(jí)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算.1有關(guān)函數(shù)極限計(jì)算的MatLab命令(1)limit(F,x,a)執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量x趨于a的極限(2) limit(F,a)執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量findsym(F)趨于a的極限(3) li

2、mit(F)執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量findsym(F)趨于0的極限limit(F,x,a, le執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量x趨于a的左極限(5)limit(F,x,a, ri執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量x趨于a的右極限注:使用命令limit前,要用syms做相應(yīng)符號(hào)變量說(shuō)明.例7求下列極限x2_2cosx -ex：廠(chǎng)在MatLab的命令窗口輸入syms xlimit(cos(x)-exp(-xA2/2)/xA4,x,0)運(yùn)行結(jié)果為ans =-1/12理論上用洛必達(dá)法則或泰勒公式計(jì)算該極限x2x2x2x2方法12cosx e 2 limx.0x4=limx.0-sinx e 2 (x)4x3=

3、limx0-cosx e 2 -e 2 x212x2x2x2巧2 2-cosx 1 e 2 1 -e 2 x limx_012x22x( )2 212x21e12x2x212方法22cos x e=limx_024.xx41o(x24!)-(1 -()-24x4 o(x )1 4x12o(x4)112(2) xm(1 )3x%自變量趨于無(wú)窮大，帶參數(shù)t在MatLab的命令窗口輸入syms x tlimit(1+2*t/x)A(3*x),x, inf運(yùn)行結(jié)果為ans =exp(6*t)理論上用重要極限計(jì)算嘰(df)2t)6t= e6t1 xinj -%求右極限在MatLab的命令窗口輸入syms

4、 x limit(1/x,x,0, right )運(yùn)行結(jié)果為ans = inf2有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的 MatLab命令(1) diff(F,x)表示表達(dá)式F對(duì)符號(hào)變量x求一階導(dǎo)數(shù)，允許表達(dá)式F含有其他符號(hào)變量，若x缺省，則表示對(duì)由命令 syms定義的變量求 一階導(dǎo)數(shù)。(2) diff(F,x,n)表示表達(dá)式F對(duì)符號(hào)變量x求n階導(dǎo)數(shù)。例10求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)已知 y =xarcsin 川話(huà)4 -x2，求 y, y ；在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列syms x y=x*asi n( x/2)+sqrt(4-xA2)diff(y,x)%執(zhí)行結(jié)果 ans = asin(1/2*x)與理論推

5、導(dǎo)y= arcs完全吻合。diff(y,x,3)%執(zhí)行結(jié)果 ans = 1/(4-xA2)A(3/2)*x與理論推導(dǎo)(3=_2L_完全吻合。 (4 x2/一 一 2 .2(2)已知 z=x2s in 2y,求二冷-ex &2 acysyms x y z z=xA2*si n(2*y);diff( z,x)diff( z,x,2)diff(diff( z,x),y)在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列%執(zhí)行結(jié)果 ans =2*x*sin(2*y)% 執(zhí)行結(jié)果 ans =2*sin(2*y)% 執(zhí)行結(jié)果 ans =4*x*cos(2*y)j口 a 慮(3) 已知u=(x-y)z z=x2 +

6、y2,求斗蘭 (復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) ex dy coy偏導(dǎo)數(shù))在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:syms x y z uz=xA2+yA2;u=(x-y)A z;diff(u,x)% 執(zhí) 行 結(jié) 果 =ex(x-y)A(xA2+yA2)*(2*x*log(x-y)+(xA2+yA2)/(x-y)衛(wèi)=(x-yF(x八2+y八2)*(2*y*log(x-y)-(xA2+yA2)/(x-y)八2+:y(x-y)A(xA2+yA2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(xA2+yA2)/(x-y)A2)diff(diff(u,x),y)-2% 執(zhí)行結(jié)果u二cxdy(x-y)A(xA2+yA

7、2)*(2*y*log(x-y)-(xA2+yA2)/(x-y)*(2*x*log(x-y)+(xA2+yA2)/(x-y)+(x-y)A(xA2+yA2)*(-2*x/(x-y)+2*y/(x-y)+(xA2+yA2)/(x-y )八2)3極值問(wèn)題MatLab軟件提供了求一元和多元函數(shù)極值問(wèn)題的命令:fmin(f,x1,x2) 求函數(shù)f(x)在x1xN時(shí)有22圖232在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列clf subplot(1,2,1)hold on grid onfplot(x.*x,1,3)觀(guān)察函數(shù)圖 24,當(dāng)x 2時(shí)，八x2的極限是subplot(1,2,2)hold ongri

8、d onfplot(x.*x,1.9,2.1)fplot(4.001, 1.9,2.1)fplot(3.999, 1.9,2.1)axis(1.9997,2.0005,3.9989,4.0011)% 調(diào)整顯示圖形的范圍是該實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)觀(guān)察圖 25,當(dāng)；=0.001 時(shí),、:取 ,使當(dāng) 0 ：x 一2 :：:時(shí),y -4 0.001 ?圖24圖253在MatLab的命令窗口輸入:syms xlimit(2.八x-log(2.八x)-1)./(1-cos(x),x,0)運(yùn)行結(jié)果為ans =理論上用洛必達(dá)法則計(jì)算該極限2x -ln2x -1 limxq 1 -cosx4在MatLab的命令窗口輸入如下

9、命令序列（1） syms x y=sqrt(x+2)*(3-x)A4/(x+1)A5diff(y,x)%求一階導(dǎo)數(shù)運(yùn)行結(jié)果y =x=1;eval(y) %求導(dǎo)數(shù)在x = 1處的值運(yùn)行結(jié)果yx二=(2) syms xy=exp(x)*cos(x)diff(y,x,4) %求 y(4)運(yùn)行結(jié)果y=r廠(chǎng)2_ 2(3)已知 z =1 n(x y2)* xy，求 z/ Z，- z cx ex ccy在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列syms x y zz=log(x+yA2)*xAydiff( z,x)運(yùn)行結(jié)果三=xdiff( z,x,2)運(yùn)行結(jié)果一=exdiff(diff(z,x),y)運(yùn)行結(jié)果

10、亠=exey5(1)作函數(shù)f(x)的曲線(xiàn)，求f(x)的零點(diǎn)在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列syms xy=xA2*si n(xA2-x-2);d1=diff(y,x)% 求一階導(dǎo)數(shù)d2=diff(d1,x)% 求二階導(dǎo)數(shù)subplot(1,3,1)hold ongrid onezplot(y,-2 2)%作函數(shù) f(x)的曲線(xiàn)title(f(x)下面用作圖觀(guān)察法求函數(shù)f (x)的各零點(diǎn)：%見(jiàn)圖32觀(guān)察圖26，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上有4個(gè)零點(diǎn)，分別為-1，0，2，還有一個(gè)零點(diǎn)位于區(qū)間-2,1上，下F面通過(guò)不斷縮小零點(diǎn)的取值范圍，在區(qū)間-2,1上求函數(shù)f (x)的零點(diǎn)，輸入命令序

11、列：axis( -2,-1.5,-0.1,0.1)%見(jiàn)圖27axis( -1.9,-1.8,- 0.01,0.01)%見(jiàn)圖28axis( -1.85,-1.8,-0.001,0.001)%見(jiàn)圖29axis( -1.84,-1.82, -0.001,0.001)%見(jiàn)圖30axis( -1.825,-1.82, -0.001,0.001)%見(jiàn)圖31axis( -1.823,-1.821, -0.001,0.001)axis( -1.822,-1.8215, -0.001,0.001)%見(jiàn)圖33axis(-1.8218,-1.8216,-0.0001,0.0001) %見(jiàn)圖 34圖26圖27圖28用

12、作圖法得零點(diǎn)的近似值為:圖31x 10x 10x 10圖29圖30-3x 101-3-4圖32圖33圖34方法2在區(qū)間-2,-2上用求根公式求零點(diǎn)，在命令窗口輸入如下命令:f1=char(y);fzero(f1,-2)運(yùn)行結(jié)果得近似零點(diǎn)為 fzero(f1,-1)運(yùn)行結(jié)果fzero(f1,0)運(yùn)行結(jié)果fzero(f1,2)運(yùn)行結(jié)果比較作圖法和求根公式法，結(jié)論(2)作函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的曲線(xiàn)，求駐點(diǎn)。 在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列subplot(1,3,2)hold ongrid onezplot(d1,-2,2)title ( 一階導(dǎo)數(shù) f (x)觀(guān)察圖36，可知一階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間-2,2有

13、4個(gè)零點(diǎn)，近似值為-1.5,-0.8,0,1.5,下面用求根公式計(jì)算較精確的零點(diǎn)值， 輸入命令：f2=char(d1);x=fzero(f2,-1.5)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x1 =,f(x1)x=fzero(f2,-0.8)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x2 =,f(x2)x=fzero(f2,0)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x3 =,f(x3)x=fzero(f2,1.5)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x4 =,f(x4)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為為。根據(jù)函數(shù) 圖形，可判別函數(shù)的極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)為f(x)二階導(dǎo)數(shù)f（X）圖36圖

14、35圖37（3 ）作函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的曲線(xiàn)，求拐點(diǎn)。在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列subplot（1,3,3）hold ongrid onezplot(d2,-2,2)title (二階導(dǎo)數(shù) f (x)觀(guān)察圖37,可知二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間-2,2有4個(gè)零點(diǎn)，近似值為-1.9,-1.3,0.5,1.2,下面用求根公式計(jì)算較精確的零點(diǎn) 值，輸入命令：f3=char(d2); x=fzero(f3,-1.9) eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為 x5 = , f(x5)=x=fzero(f3,-1.3)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為 x6 = , f(x6)=x=fzero(f3,0.5)eva

15、l(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為 x7 = , f(x7)= x=fzero(f3,1.2)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x8 =,f(x8)=根據(jù)函數(shù)凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得函數(shù)f(x)的凹區(qū)間為，凸 區(qū) 間 為。根據(jù)函數(shù)圖形 37， 可判別函數(shù)的拐點(diǎn) 為。6使用MatLab軟件求下列積分:(1)xcosx-3-sin xxxe(ex 1)少n(3)e2xcosxdx在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:(1) syms x;y=x*cos(x)*(si n(x)A(-3);in t(y)運(yùn)行結(jié)果：ans = (2) syms x;y=x*exp(x)*(exp(x) + 1)八(-

16、2);in t(y)運(yùn)行結(jié)果：ans = (3) syms x;y= exp(2*x)*cos(x);in t(y,0,pi/2)運(yùn)行結(jié)果：ans = q uad(exp(-x八2), 0,1)運(yùn)行結(jié)果：ans = 2 y2 =1及坐標(biāo)軸所圍成的在彳 2 27 JJd丄二-2如,其中D是由圓周 D 1 . x y第一象限內(nèi)的閉區(qū)域具體步驟如下:(1)劃定積分區(qū)域:ezplot(xA2+yA2-1,0,1,0,1)結(jié)果如圖38,D為積分區(qū)域(2)化二重積分Hd（x2 +y2）do為累次積分1(x2y2)dy圖38在MatLab的命令窗口輸入如下命令syms x y zz=xA2+yA2;dx1=

17、i nt(z,y,0,sqrt(1-xA2);jf=in t(dx1,0,1);結(jié)果為:jf =8用MatLab創(chuàng)建函數(shù)pii.m文件實(shí)現(xiàn)方法i對(duì)二進(jìn)行近似,n代表展開(kāi)階數(shù)，1,6,fun cti on zhi=pi1( n)syms x s tt=ata n(x);s=taylor(t, n);x=1;zhi=4*eval(s);fun cti on zhi=pi2( n)syms x tt=1/(2*x -1)八2;zhi=symsum(t,1, n);fun cti on zhi=pi3( n)syms x tt=(-1)A(x-1)/xA2;zhi=sqrt(12*symsum(t,x

18、,1, n);fun cti on zhi=pi4 (n)syms x tt=(-1)A(x-1)/(2*x-1)A3;zhi=(32*symsum(t,x,1, n)F(1/3);fun cti on zhi=pi5( n)syms x tt=si n(2*x -1)/(2*x -1)八3;zhi1=8*symsum(t,x,1, n); zhi=(1+sqrt(1+4*zhi1)/2;fun cti on zhi=pi6( n)syms x tt=( -1)八(x -1)/(2*x -1)*5八(2*x -1);zhi1=symsum(t,x,1, n);t=( -1)八(x -1)/(2*x -1