江蘇省南京市2020-2021學年度第一學期期末調研試卷高二數學(理科

1、江蘇省南京市2020-2021學年度第一學期期末調研試卷高二 數學(理科)學校:姓名：班級：考號：一、填空題1. 已知命題P: 0 , ,寫出命題的否定：一.2. 在平面直角坐標系XOy中，拋物線y2=2x的準線方程為3. 已知/(x)=smx,則廣(O)的值為_.4. 已知復數？滿足(z-2)f=l+z (I為虛數單位)，則乙的實部為5. 在平面直角坐標系XOy中，P是橢圓C：y+r=l上一點.若點P到橢圓C的右焦點的距離為2,則它到橢圓C的右準線的距離為y-,6. 已知實數X , y滿足 0 ”是“方程x2-ny2 = 1表示橢圓”的_條 件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，

2、“既不充分也不必要”)S.在平面直角坐標系XOy中，雙曲線-r = 1的頂點到它的漸近線的距離為49. 在平面直角坐標系XOy中，點A(4,0),點3(0,2),平面內點P滿足PA pB = I5 則PO的最人值是一.10. 在平面直角坐標系XOy中，點人，代分別是橢圓+21=(rb0)的左、Cr b右焦點，過點&且與X軸垂直的直線與橢圓交于4，3兩點.若為銳角，則該 橢圓的離心率的取值范閑是11. 在平面直角坐標系Xoy中，圓Ci -.(x-a)2+(y-a-2)2=l與圓C2:x2 + -2x-3=0有公共點，則實數的取值范圍是.12. 如圖，在正四棱錐P-ABCD , PA = AB ,

3、點M為陽的中點，Bb = ABN .若MN丄AD,則實數兄二13. 在平面直角坐標系XOy中，圓M(-1)2+=1,點4(3,1), P為拋物線=2x 上任意一點(異于原點)，過點P作圓M的切線PB, B為切點,則PA+PB的最小值 是.14. 已知f(x) = -3a2x-6a2+4c(a0)只有一個零點，且這個零點為正數，則實數Q的取值范圍為二解答題15. 在平面直角坐標系XOy中，己知橢圓氏二+買=l(b0)經過點4(4,0), Cr Zr其離心率為迴.2(1) 求橢圓E的方程；(2) 已知P是橢圓E上一點，F1,代為橢圓疋的焦點，且ZF1PF2 =-,求點P到V 軸的距離.16. 如圖

4、，正四棱柱ABCD-AiBiClDi的底面邊長為JT ,側棱長為1,求：(1)直線AC與直線Aq所成角的余弦值;(2 )平面DIAC與平面ABBIAI所成二面角的正弦值.17.在平面直角坐標系XOy中，已知圓C經過拋物線y = *% 6與坐標軸的三個交 占八、(1) 求圓C的方程；(2) 經過點p(-2,5)的直線1與圓C相交于A, B兩點，若圓C在A, B兩點處的切線互相垂直，求直線1的方程18.如圖，從一個面積為15兀的半圓形鐵皮上截取兩個高度均為X的矩形，并將截得的 兩塊矩形鐵皮分別以AB, Ad為母線卷成兩個高均為X的圓柱(無底面，連接部分材 料損失忽略不計)記這兩個圓柱的體積之和為V

5、(1) 將U表示成X的函數關系式，并寫出X的取值范I韋1；(2) 求兩個圓柱體枳之和U的最大值.2 219.如圖，在平面直角坐標系XQy中，J 化分別為橢圓c：+ = 1的左、右焦-43點動直線/過點F.且與橢圓C相交于4, B兩點(直線/與X軸不重合)V(1) 若點4的坐標為(O, J亍)，求點B坐標；(2) 點M(4,0),設直線AM ,的斜率分別為，k2,求證：h + y(3) 求AAFIB面積最人時的直線/的方程.20.已知函數/(x) = rlnx+-, R.(1) 若a = 2,且直線y = x+加是曲線y = f(x)的一條切線，求實數加的值；(2) 若不等式wl對任意x(L+)

6、恒成立，求。的取值范圍；(3) 若函數i(x) = (x)-X有兩個極值點兀，XZ(Xl O , ex 0, evex,的否定是：3x0, ev0, /5.【點睛】本小題主要考查命題的否定.屬于基礎題.命題的否定即命題的對立面.“全稱量詞”與“存 在量詞”正好構成了意義相反的表述.如“對所有的都成立”與“至少有一個不成立”：“都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題” 的否定一定是“全稱命題”.本小題主要考查命題的否定.屬于基礎題.命題的否定即命題的對立面.“全稱量詞”與“存 在量詞”正好構成了意義相反的表述.如“對所有的都成立”與“至少有一個不成立”：“

7、都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題” 的否定一定是“全稱命題”.12. -2【分析】利用拋物線方程求出，即可得到結果.【詳解】解：拋物線F=2的焦點到其準線的距離為：P=I.拋物線的準線方程為：X=-.2故答案為=2【點睛】本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力.31【解析】 因為fx) = (SinX + COSX),所以/(O) = I.點睛：(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的 切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P 為切點.(2)利用導數的幾何意義解題，主要

8、是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉 化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間 的關系，進而和導數聯(lián)系起來求解.4. 3【分析】利用復數的除法運算法則得到z,結合實部定義得到答案.【詳解】解:由(ZI2i=l+i 得，Z= -_ + 2 =-+2= l + + 2 = 3- i,ii-1所以復數的實部為：3.故答案為3.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，實部的概念，考查計算能力，是基礎題.5. 婕3【分析】求出橢圓的離心率，利用橢圓的第二定義，求解即可.【詳解】橢圓C： +r=l,可得e=匹,42由橢圓的第二定義可得：它到橢圓C的右準線

9、的距離為d,_ 2 _4館T故答案為婕.3【點睛】本題考查橢圓的簡單性質的應用，橢圓的第二定義，考查轉化思想以及計算能力.6. 1【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案.【詳解】X 3解：由實數兒y滿足x3,作出可行域如圖，由C解得B(3，-1)x+y = 2x+y21 717化z=x+2y為y=-,由圖可知，當直線y=一x+-iB (3,1)時，2 222直線在y軸上的截距最小，7有最小值等于z=3+2x ( - 1) =1.【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題7. 必要不充分【分析

10、】(mQ由橢圓的性質有：“方程X2W2 =1表示橢圓”的充要條件為： I ,再判斷0”In 1與的關系m 1【詳解】f77O解：由橢圓的性質有：“方程rR = l表示橢圓”的充要條件為：0又“川0是“ I 的必要不充分條件，m 1所以，“加0”是“方程疋+加尸=1表示橢圓”的必要不充分條件，故答案為必要不充分【點睛】本題考查了橢圓的性質與充分、必要條件，屬簡單題.8. 邁5【分析】根據點到直線的距離公式進行求解即可.【詳解】解:雙曲線l-/=1的一個頂點為A (2, 0),4.雙曲線的一條漸近線為y=-,即 -2y=0, 則點到直線的距離公式d=EMg=跡，+45故答案為跡5【點睛】本題主要考

11、查雙曲線性質的應用，根據點到直線的距離公式是解決本題的關鍵，比較基礎.9. 35【分析】設P (x,刃，由用PB = I5,得點P的軌跡是以C (2, 1)為圓心，2石為半徑的圓， 得Po的最人值為0C+半徑.【詳解】解:設 P(X, y) 則用=(4 - X, -y),丙=(- , 2 -y)T PA PB = 15, x (x - 4) +y (y - 2) =15, 即( - 2) 2+ (y - 1) 2=20,點P的軌跡是以C (2, 1)為圓心，2J為半徑的圓，的最人值為：OC+半徑=35 .故答案為35 .【點睛】本題考查了向量的數量積的應用，考查了平面上一定點到圓上各點距離的最

12、值問題，考查了 推理能力與計算能力，屬于中檔題.10. (2-l,l)【分析】22由題設知 Fl ( -c, 0) , F2 (c, 0) , A ( - c, ) , B ( - c,),由人林B 是銳 aa角三角形，知tanZAF1F2b所以萬一 1,由此能求出橢圓的離心率0的取值范圍. J2c【詳解】解：點7 E分別是橢圓21 = 1 (QbAO)的左、右焦點，Cr Ir過戸且垂直于X軸的直線與橢圓交于A、B兩點，b2b2：.Fi (-c9 0) 9 F2 (c, 0) , A (c, ) , B (c, 一一),aaV AF15是銳角三角形， ZAFl F245o, AtanZAFi

13、F2l,/r-L1,2c整理，得b22ac,- c20,解得 0J-1,或 0-J-l,(舍)，0b橢圓的離心率e的取值范圍是(JI_1，D .故答案為(近1).【點睛】本題考查橢圓的離心率的取值范I判的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行 等價轉化.11. -2,1【分析】根據題意，分析兩個圓的圓心與半徑，由圓與圓的位置關系可得2-1WlGGl2+l,即IW Ca-I)斗5+2) -9,解可得d的取值范圍，即可得答案.【詳解】解：根據題意，圓 G： (x-) 2+ (y2) 2=1,其圓心Cl為(, +2),半徑為n = 1,圓 C)： x2+y2 - 2% - 3=0,即(X-

14、 1)2+r=4,其圓心 C? (1, 0),半徑 r2=2,若兩圓有公共點，則 2-1CiC22+1,即 (- D 2+ (+2) 29,變形可得：tf+2M0 且 a2+a - 20,解可得:-2b即的取值范圍為-2, 1；故答案為-2, 11.【點睛】判斷圓與圓的位置關系的常見方法(1) 幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關系.(2) 切線法：根據公切線條數確定.12. 4【分析】連結AC,交BD于O,以O為原點，OA為X軸，OB為y軸，OP為Z軸，建立空間直角坐 標系，利用向量法能求出實數I【詳解】解：連結AC,交BD于0,以O為原點，QA為X軸，OB為y軸，OP為Z軸，建立空間直 角

15、坐標系，設 PA=AB=2,則 A (2 O, O) , D (0, 一邁,0) , P (0, 0, ) , M (返)2BD=(0, -22 . 0),設N(O, b, 0),則顧=(0, b_Q 0),-b = BN, 2 = 2(b-), .b=Q2,兄.NO S 2邁,) =(衛(wèi),屈-2,衛(wèi)),麗= A2A2(-2,-2 0),22-4：MN丄AD ： MN AD= I-=0,A解得實數=4.故答案為4【點睛】本題考查實數值的求法,考查空河向量、正四棱錐的結構牲等基礎知識,考查運算求解能力， 是中檔題.133【分析】設P(X,刃，可得y2=2x,求得圓M的圓心和半徑，求得切線長PB,

16、化簡可得IPBl為P到y(tǒng)軸的距離，結合拋物線的定義和三點共線取得最值的性質，即可得到所求最小值【詳解】解：設 P (x, y),可得 y2=2x,圓 M： (X-I) 2+y2 =1 的圓心 M (1, 0),半徑為 1,PBl = PM I2 -1 = (-l)2 + r-l = yx2 + y2 -2x =閃，即PBl為P到),軸的距離，拋物線的焦點F(；, 0),準線方程為A = -L2 2可得 I PA+PB=PA 田 PKl -丄=PA+PF - -,2 27過A作準線的垂線，垂足為K,可得A, P, K共線時, PAMPK取得最小值AK=-,乙 即有I列+1PBl的最小值為3.故答

17、案為3.【點睛】本題考查拋物線的定義和方程的運用，考查直線和圓相切的切線長求法，考查轉化思想和三 點共線取得最值，考查運算能力，屬于中檔題.14. (1,2).【分析】對函數y = ()求導，并求出極值點，列表分析函數y = f()的單調性與極值情況，由 題意得出/W極人值=/(一。)，由此可解出實數的取值范圍.【詳解】. / (x) = X3 -3a2x-6d2 4 , :. ff(x) = 3x2 -3a2 =3(x-)(x+).令(X) = O,得X = F或x=,當X變化時，廣(旳、/(x)的變化情況如下表：(-oo,-)-a(FG)a仏+8)廣(x)+00+/(x)/極大值極小值/由

18、于函數y = f()只有一個零點，且該零點為正數，所以，/(x)極人值=/*(一) = 2-6c廠+4。0,化簡得-3 + 20, 解得IVdV2,因此，實數的取值范圍是(1,2),故答案為(1,2).【點睛】本題考查三次函數的零點問題，解題時要利用導數分析函數單調性與極值，結合題意轉化為 極值的符號等價處理，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15. (1) + = 1 (2)空1643【分析】(1) 橢圓E經過點A(4,0),可得=4.橢圓E的離心率e=L = l可得c=23 .即a 2可得橢圓E的方程；fxz + =12(2) 由 ZFiPF2= ,所以甸 Pri = 0,可得 -

19、2+=12,由 x2 v2 ,得 P到y(tǒng)2 + = 11164軸的距離.【詳解】(I) 因為橢圓Ei4 + = 1經過點4(4,0), Cr /?所以竺=1,解得a = 4.Cr又橢圓E的離心率e = -=,所以c = 23 . a 2所以 b2 = a2-c2 = 4.因此橢圓E的方程為+ = 1 164(2) 方法一：由橢圓E的方程話+普=1,知坊(一2必0),鬥(2,0).設P(x,y)因為ZFlPF2=-9 所以；PF2=O,所以-+r=12.乙IV ) J16+T1, 得 F=M.-2=123所以IXl =乎，即P到y(tǒng)軸的距離為乎.2 2方法二 由橢圓E的方程+ = 1 ,知c =

20、2J 設P(x,y)164因為ZFiPF2 = y , O為坊竹的中點，所以 OP = C = 2書,從而 x2+y2=12.J16+T1, 得 F=M.，X3- + =12所以IXl=半，即P到y(tǒng)軸的距離為羋.方法三：由橢圓E的方程+ = 1,知c = 2J, F=43 FF,=43設P(XOT) 164因為 ZF1PF2 =-,所以 PF; + PF = 48 .由橢圓的定義可知，Pfi + PF2 = 2a = S,所以 2戶林 PF2 =(PFI + PFJ 一(P 斤 + P2) = 16,所以三角形的面積S = PF1PF2 = 4 .又 S = FIF2y = 23 y,所以 2

21、3y=4,所以卜| =半.代入+ 2_ = 1 得，X2=.1643所以k=,即P到)軸的距離為匕.丨丨33【點睛】本題考查橢圓的幾何性質，關鍵是利用橢圓的定義和向量數量積.屬于中檔題.16. (1)至(2)迺152【分析】(1) 以麗，DC DDi為正交基底建立空間直角坐標系D - XyZt利用向量法能求出直線AlC與直線ADl所成角的余弦值：(2) 求出平面DIAC的一個法向量和平面ABB1A1的一個法向量，利用向量法能求出平面DIAC與平面ABBIAI所成二面角的正弦值.【詳解】(1)如圖，正四棱柱ABCD-AlBlClDi的底面邊長為,側棱長為1,故以DAyDCyDDl為正交基底建立空

22、間直角坐標系D-X) 則D(0,0,0), A(2,), A1(2,0j), c(o,o),$(OOl).因為 AC = (O,2,)-(2,0,1) =(-2,2-1), 碼= (0,0,l)-(,0,0) =(-2,0,l), 所以 AlC ADl = (-2) (-2)+ (-1) 1 = 1,IACI = 2 + 2 + l = 5,阿=J2 + O + 1 = T,從而 cosC, ADI = ACMO -ACR1_ 1553 7(C兀又異面直線所成的角的范【韋I是0,亍所以直線AC與直線Az)I所成角的余弦值為15(2) AC = (-2,2,), A = (-2,0j),設平面D

23、IAC的一個法向量為H =(X,”Z),iC = O,n ADI = 0、從而-yf2x + y2y = 0,-Vx+z = O,取x = l,可得y = h z = 2 .即n = (l,L).在正四棱柱ABCD-AQCQL中，ZM丄平面ABBIAl,又 DA = (2,0,0) = 2 (1,0,0),所以斤= (IoO)為平面AlAl的一個法向量因為 CoSmL = f= hz7_ TC所以Wl 9 W2 =/ 1 _ 1 一112I-且OS因此平面DM與平面AB昭所成二面角的正弦值為半【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、 線面、而而間

24、的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.17. (l)x2y2-x+5y-6 = 0 (2)% = -2和4% + 3y- 7 = 0.【分析】(1)方法一、求得拋物線與坐標軸的三個交點，設出圓的一般式方程，代入三點坐標，解 方程組可得D，E，F,即可得到所求圓方程；方法二、由拋物線方程與圓的一般式方程，可令y=0,可得D F9再由拋物線與y軸的交點，可得&即可得到所求圓方程;(2)求圓C的圓心和半徑，圓C在A, B兩點處的切線互相垂直，可得ZACB= P求得C到直線/的距離，討論直線/的斜率是否存在，由點到直線的距離公式，計算可得所求直線 方程.【詳解】(1)方法一：拋物&y =x

25、2-X-6與坐標軸的三個交點坐標為(-2,0), (3,0), (0,-6). 設圓C的方程為x2+y2 + Dx + Ey + F = 0,(D = -If 解得 E=SfF = 6,4-2D + F = Of 則 9 +3D+F = 0,36 6E + F = 0,所以圓C的方程為%2y2-% + 5y-6 = 0方法二：設圓C的方程2+y2 + Dx + Ey + F = 0. 令y = 0,得2 + Dx + F = 0 因為圓C經過拋物線y = %2-%-6與軸的交點， 所以2 + Dx +F = 0與方程/ -x-6 = 0同解，所以D = 1, F = 6.因此圓C: / +y2

26、+ Ey _ 6 = 0因為拋物線y = %2-%-6與y軸的交點坐標為(0,-6),又所以點(0,-6)也在圓C上，所以36-6E-6 = 0,解得E = 5.所以圓C的方程為%2+y2-% + 5y-6 = 0.(2)由(1)可得，圓：C: (x-1)2+(3, + )2 = .故圓心C(P-半徑曠=青 因為圓C在4, B兩點處的切線互相垂直，所以ACB = P所以C到直線啲距離d =青X號=?當直線Z的斜率不存在時，Lx =-2 ,符合題意： 當直線Z的斜率存在時，設Z：y-5 = /c(%+2),即c%-y+(2c + 5) = 0, 所以+5 _ st解得k=4kl23A所以直線 Z

27、：y-5 = -K%+2),即 4% + 3y-7 = 0.綜上，所求直線Z的方程為 =2和4% + 3y 7 = 0方法三：當直線Z的斜率存在時，設直線Z的方程為y-5 = k(x + 2), AcXlIyIy F(%2,y2),將直線Z的方程代入圓C的方程得：X2 + (kx + 2上 + 5)2 % 5(cx + 2上 + 5) 6 = 0,即(1 + k2)x2 + (4k2 + 15/c - l)x + (4k2 + 30k + 44) = 04k2+15k-l4k2+30k+44%】+七=_ -，%聲2 =屮2因為圓C在點兒B兩點處的切線互相垂直，所以G4丄CB, 所以SJ CB

28、= 0. BP(XI - )(%2 -+ Oi + )(372 +=0,所以(1 扌)Cv2 一 扌)+ (XI 2k +y)(fX2 + 2上 + )= 0,I!卩(1 + c2)x1%2 + (2c2 + /c (% + %2)+ 4以 + 3 Ok += 0,即4以 + 30k +44 + (2k2 + 存-(4fe211) + 4k2 + 30fc + =0,(1 + k2)(16fc2 + 120/c + 201) - (4fc2 + ISk -l)2 = 0,即 150k + 200 = 0,解得k=所以直線人 y 5 = ?(% +2),即4% + 3y - 7 = 0.當直線Z

29、的斜率不存在時，Z： % =-2,符合題意：綜上，所求直線啲方程為x = _2和4x + 3y-7 = 0.【點睛】30 aI本題考查圓的方程的求法，注意運用待定系數法和方程思想，考查直線和圓的位置關系，注 意運用分類討論思想方法和點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題18. (1) V = (x) = -(60x-5x3) XE 0【分析】(1) 設半圓形鐵皮的半徑為幾自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為寫 出丫關于X的函數關系，并寫出X的取值范I韋1；(2) 利用導數判斷V (%)的單調性，得出V (X)的最人值【詳解】(1)設半圓形鐵皮的半徑為廠，自下而上兩個矩形卷成的圓柱的

30、底面半徑分別為人，乙因為半圓形鐵皮的面積為15龍，所以；龍尸=15龍，即尸=30.2因為2rl = 2r- 所以=l30- ,同理2力=2Jrz -(2jv),，即 ri = 30-4x2 .,所以X的取值范圍是0,所以卷成的兩個圓柱的體積之和V = /() = (t + Tng= -(60x-5x3).因為0 2x0;當x 2,時，z(x)0,所以/(%) = 9x+l在l,+s)上單調遞增, XX所以當尸+1 = 1，即r=o時,9(尸+ 1)+Jr取最小值io. 7 / + 1即當r = O時，AB的面積取最人值，此時直線/的方程為X = I.方法二：AFIB 的面積 5 = y1-y2

31、 = y1-y2乙Gt9,)2 一 E =4屁山亠打V 3+4 2丿因為3尸+44,所以OV-,3 廣+443F4 = 即T時WF的面積取最大值.因此，AAFIB的面積取最人值時，直線/的方程為x = l.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用換元法及導數求函 數的最值，考查計算能力，屬難題.20. (1) m = Q (2) l,+o) (3) (2,e + -e【分析】(1) 代入d的值，根據切線方程得到關于XO的方程，求出切點坐標，解出加即可：(2) 問題轉化為+- 10,記g (x) =alnx+-l,通過討論。的范圍，求出函數XX的單調區(qū)間，從而確定

32、d的范圍即可；(3) 法一：求出力(X2)- Ii (x)的解析式，記7 (x) =2 (x+ )加1+丄一Xn .心1,XX根據函數的單調性求出a的范I韋I即可； 法二：由力(X) =/ (x) - x=alnx+丄一x, x0,以及力(X)有兩個極值點小X2 (xl),從而 h(%：)- h (M) 等價于 h (r) = U 總+ - ) z+-r-, r,記加() = (+-)加+丄一,根據函數的單調性求tteXX出d的范闈即可.【詳解】191(1)當 a = 2 時，f( = 2nx + - , f,(x) =XX X1 ) 設直線y = Xrn與曲線y = (x)相切于點0,21hv0 + -,AO即兀2Xq + 1 = 0,解得x0 = l,即切點為(14),因為切點在y = x+?上，所以1=1+加