(完整版)拋物線——簡單幾何性質(zhì)

1、 拋物線的簡單幾何性質(zhì)一、要點(diǎn)精講拋物線的的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程( )p 0( )p 0( )p 0( )p 0圖形x r0y 0， ypppppf20 222000性質(zhì)e =1離心率通徑ab = 2p過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦 ab ，二、課前熱身1拋物線 y 2(a)2.5= 10x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）(b)5 (c)7.5(d) 10，且q 點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn) f 的距離為 10，則 f 到準(zhǔn)線 的距( )( )q 6, y上一點(diǎn)為= 2 px p 02拋物線 y 2離為l0(a)4(b)8(c) 12(d)16= 2 px( p 0)x - y =1的一個焦點(diǎn)，則 p=3.（15 陜西）

2、若拋物線 y2的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線22k4、(2016 新課標(biāo)) 設(shè) f 為拋物線 c：y2=4x 的焦點(diǎn)，曲線 y= （k0）與 c 交于點(diǎn) p，pfx 軸，則 k=x1232（a）（b）1（c）（d）2 = x65通過直線 y與圓 x的交點(diǎn)，22且對稱軸是坐標(biāo)軸的拋物線方程是.6已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸的正半軸上，通徑為線段ab，且s= 4（o 為坐標(biāo)原點(diǎn)），daob求拋物線方程三、典例精析類型一：求拋物線的方程1、求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以 x 軸為對稱軸，且通徑的長為 8 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程2. 如圖，過拋物線 y 2px(p0)的焦點(diǎn) f 的直線交拋物線于

3、點(diǎn) a，b，交其準(zhǔn)線 l 于點(diǎn) c，若|bc|2|bf|，2)222211111|bf|bb |，|bc|2|bf|，|bc|2|bb |，11bcb 30，afx60.連接 a f，則 aa f 為等邊三角形，過f 作 ff aa 于 f ，則 f 為 aa11111111121232的中點(diǎn)，設(shè) l 交 x 軸于 k，則|kf|a f | |aa | |af|，即 p ，拋物線方程為 y 3x，故選 c.2111+ y - 9x = 03、已知圓 x2，與頂點(diǎn)在原點(diǎn) o，焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線交于 a,b 兩點(diǎn)， oab 的垂心恰2+ y = 4 相交的公共弦長等于2 3，求這個4、已知拋

4、物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x 軸，且與圓x22拋物線的方程 5、直線l 和l 相交于 m，l l ，點(diǎn) n l ，以a,b 為端點(diǎn)的曲線段 c 上任一點(diǎn)到l 的距離與到點(diǎn) n 的121212= 17= 3，且 bn = 6，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求曲線段c距離相等，若 amn 為銳角三角形 am， an的方程6、已知拋物線 c 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn) f 在 x 軸正半軸上，設(shè) a,b 是拋物線 c 上兩個動點(diǎn)（ab 不垂直于+ bf = 8x 軸），且 af，線段 ab 的垂直平分線恒經(jīng)過點(diǎn) q(6,0)求此拋物線的方程類型二：拋物線的幾何性質(zhì)7如圖，設(shè)拋物線 y 4x 的焦點(diǎn)為 f，不經(jīng)過焦點(diǎn)的

5、直線上有三個不同的點(diǎn) a，b，c，其中 a，b 在拋2|bf|1|af|12a.b.22c.2解析 由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為 x1.如圖所示，|bf|1.ss| | | |bc bb過 a 作 aay 軸于點(diǎn) a ，過 b 作 bb y 軸于點(diǎn) b ，則2dbcfdacf|ac| |aa |2222af| |128設(shè) m(x ，y )為拋物線 c：x 8y 上一點(diǎn)，f 為拋物線 c 的焦點(diǎn)，以 f 為圓心、|fm|為半徑的圓和拋物200線 c 的準(zhǔn)線相交，則 y 的取值范圍是()0a(0,2)解析 設(shè)圓的半徑為 r，因?yàn)?f(0,2)是圓心，拋物線 c 的準(zhǔn)線方程為 y2，由圓與準(zhǔn)線相交知

6、44，所以 y 2.故選 c.20000 9. 過拋物線 y 4x 的焦點(diǎn) f 的直線交該拋物線于 a，b 兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)若|af|3，則 aob 的面2積為()223 22a.b. 2c.d2 2解析 焦點(diǎn) f(1,0)，設(shè) a，b 分別在第一、四象限，則點(diǎn)a 到準(zhǔn)線 l：x1 的距離為 3，得 a 的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為 2 2，ab 的方程為 y2 2(x1)，與拋物線方程聯(lián)立可得 2x25x20，所以 b 的橫坐標(biāo)為12123 2.2，縱坐標(biāo)為 2，s 1(2 2 2) aobx22y2- =110平面直角坐標(biāo)系xoy 中，雙曲線c ：(a0，b0)的漸近線與拋物線 c ：x 2

7、py(p0)交于212ab2點(diǎn) o，a，b.若 oab 的垂心為 c 的焦點(diǎn)，則 c 的離心率為_21 p b0,解析 由題意，雙曲線的漸近線方程為 y x，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 f .不妨設(shè)點(diǎn) a 在第一象限，a22pb2pb p b2xy xx04b2a2a22pb22 pba2a由，解得或，故 a，.所以 k .由已知 f 為2pb4ab 2pbaa2af2 0y2pyyx2aa24b2a24ab b b - 1，即- 1，整理 oab 的垂心，所以直線 af 與另一條漸近線垂直，故 k af a a 549432c 3a 2得 b ，所以 c a b ，故 ca，即 e.2a2222a2

8、11已知拋物線 c：y 4x 的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，過拋物線 c 上的點(diǎn) a 作準(zhǔn)線 l 的垂線，垂足為 m，若2 amf 與 aof(其中 o 為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為 31，則點(diǎn) a 的坐標(biāo)為a(2,2 2) b(2，2 2) c(2， 2) d(2，2 2)()1af am sin mafss2y204= 3，| | |3，設(shè) , y ，af amadamfdaof12()0of af sin p - mafy2y244013，解得 y02 2. 02，點(diǎn) a 的坐標(biāo)是(2，2 2) 類型二：與拋物線有關(guān)的最值問題12. 已知點(diǎn) m(3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y 2x 的焦

9、點(diǎn)為 f，點(diǎn) q 是該拋物線上的一動點(diǎn)，則2|mq|qf|的最小值是()7b3c.解:拋物線準(zhǔn)線方程為 x13已 知 p 為拋物線 y 4x 上一個動點(diǎn)，q 為圓 x (y4) 1 上一個動點(diǎn)，那么點(diǎn) p 到點(diǎn) q 的距離與點(diǎn)222(y4) 1 的圓心為 c(0,4)，半徑為 1，拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0)根據(jù)拋物線的定2義，點(diǎn) p 到點(diǎn) q 的距離與點(diǎn) p 到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn) p 到點(diǎn) q 的距離與點(diǎn) p 到拋物線焦點(diǎn)的距離之和，因此|pq|pf|pc|pf|1|cf|1 171.( )= xpq22上，則）2(b)215已知圓 c：x y 6x8y210，拋物線 y 8x 的準(zhǔn)線為

10、 l，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn) p 到直線 l 的距222(y4) 4，圓心 c 坐標(biāo)為(3，4)由拋物線定義知，當(dāng) m|pc|2322222求出切點(diǎn)，此時點(diǎn) p 到直線 y=x+3 的距離最短，聯(lián)立方程4x22222= x2 上的動弦，且 ab = a( 為常數(shù)且a1)，求 弦 ab 的中點(diǎn) m 離 x 軸的最近距離a 7218、已知點(diǎn) p 為拋物線 y2 = 2x 上的動點(diǎn)，點(diǎn) p 在 y 軸上的射影是，點(diǎn) a 的坐標(biāo)是 a,4，則mpa + pm 的最小值是（）(b) 4219. 已知拋物線方程為 y 4x，直線 l 的方程為 xy40，在拋物線上有一動點(diǎn) p 到 y 軸的距離為 d ，21到

11、直線 l 的距離為 d ，則 d d 的最小值為()2125 225 225 225 22a.2b.1c.2d.1解析 因?yàn)閽佄锞€的方程為 y24x，所以焦點(diǎn)為 f(1,0)，準(zhǔn)線方程為 x1，因?yàn)辄c(diǎn) p 到 y 軸的距離為 d1，所以到準(zhǔn)線的距離為 d1，又 d 1|pf|，所以 d d d 1d 1|pf|d 1，焦點(diǎn) f 到直線 l1112122|104|5 5 25 225 22的距離 d ，而|pf|d2d，所以 d1，選 d.d |pf|d 1222122: 4x - 3y + 6 = 0l : x = -12y = 4x上一動點(diǎn) 到直線l 和直線l 的距離之p20.已知直線l和直

12、線，拋物線211237a.2b.3c.d.5| 31- 0 + 6 |3 + 4= 2解：如下圖，由題意可知d222 = 2 (p 0)px21、（2016 四川） 設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，p 是以 f 為焦點(diǎn)的拋物線 ypf 上的點(diǎn)，且 pm =2 mf ,則直線 om 的斜率的最大值為上任意一點(diǎn)，m 是線段3232（a）（b）（c）（d）132()uuuruuuurfm = fp，uuurp1( )2pt2 , 2pt , m x , y 0），則 fp = 2 2 - , 2.法一：設(shè) p（不妨設(shè)tptpt由已知得23 p 2pp 2ppx - =t - ,x =t + ,22 2 3632

13、pt32t112， k=， ，12pt2t +1212om2t +y =,y=,232t32y2y2p y+ , ，后面同法一( ) , ，則 m k=，故選 c.法二：py22p6p 3 3om max考點(diǎn)四：定點(diǎn)問題22. 設(shè)拋物線過定點(diǎn) a(2,0)，且以直線 x-2 為準(zhǔn)線(1) 求拋物線頂點(diǎn)的軌跡 c 的方程； nb = 0(2) 已知點(diǎn) b(0, -5)，軌跡 c 上是否存在滿足mb的 m, n 兩點(diǎn)？證明你的結(jié)論分析： 先判斷直線與橢圓相交時的斜率的取值范圍23、如圖，a、b 是拋物線 y 2px(p0)上的兩點(diǎn)，且 oaob(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))2（1）求 a、b 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積

14、和縱坐標(biāo)之積；（2）求證：直線 ab 過定點(diǎn)ya（3）求弦 ab 中點(diǎn) p 的軌跡方程；解：設(shè) a(x ，y )，b(x ，y )，中點(diǎn) p(x ，y )112200oxyy，k(1)k 1 2. 因?yàn)?oaob，所以 k k 1，所以 x x y y 0.xx1 21 2boaoboa ob12y2 y22p 2p因?yàn)?yy，所以 x2px ，y 2px ，所以 1 2y 0.因?yàn)?y 0，y 0，所以 y y 4px 4p .222211221 2121 21 2y y2p21(2)證明：因?yàn)?y y (y y )(y y )2p(x x )，又 x x ，所以.222121212112x

15、 x y y21122p2py2所以直線 ab 的方程為 yy1(xx )(x 1 )，2p1y yy y12122py2py y2p4p22p2所以 yy1x1x 1 2x(x2p)所以直線 ab 過定點(diǎn)(2p,0)y yy yy yy y y yy y y y12121212121212x + xy + y=y =（3）設(shè) p(x，y)，則 x，。由 y 2px ，y 2px ，2 21212221122 ( )得()2( )2( )( )= 2 2p x ，即 yy y+1- 2y y = 2p x x+2- 2 -4p=px p2- 2以 y2221 212uuuv uuuv uuuv

16、 uuuvpa ba = pb ab.24、已知 a( 1，0),b(-1，0),p知是平面上一動點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn) 的軌跡 的方程；pcm (m，2)ml 、l cd、el 、l1k 、k1（2）已知點(diǎn)在曲線c 上，過點(diǎn)作直線與 交于兩點(diǎn)，且的斜率滿1222= 2足 k k，求證：直線過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)。de1 2uuuvuuuvuuuvuuuv(1)解：設(shè)p(x，y),則 pa = (1- x，- y),pb = (-1- x，- y)，ab = (-2，0)，ba = (2，0).uuuv uuuv uuuv uuuv因?yàn)?pa ba = pb a b，所以 (1- x) + y 2

17、= 2(x +1), 即y = 4x.222y2(2)證明：由(1)知m (1，2),設(shè)d( ，y )，e( ，y ),124412y - 2 y - 2所以k k = 2，整理得 (y + 2)(y + 2) = 8. 121 2y2y2121-12-144y - y44k18k1y y + = . y y = 4 - .k=k由知12222y + yyy1121 2de-1214 44y2所以直線de的方程為y - y =(x - ),整理得 4x -（y + y ）y + y y = 0，1y + y41121 2124k8k亦即4x - y + 4 - = 0, 即( +1) - (

18、+ 2) = 0.de所以直線 過定點(diǎn)(-1,- 2).xk y四、能力提升1. 拋物線 y= 25x2的通徑長是（）2512(d)(a) 25(b)(c)225252拋物線 y2 = 2 px 與直線 ax+y-4=0 的一個交點(diǎn)是(1,2)，則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離是（） 3 325 527 510172(a)(b)(c)(d)3邊長為 1 的等邊三角形 aob，o 為原點(diǎn)，abx 軸，以 o 為頂點(diǎn)，且過 ab 的拋物線方程是（）33=xy = -x(a)(c)y2(b)(d)26633y2= xy2= x634已知點(diǎn) a(0,-3),b(2,3)，點(diǎn) p 在 x =y 上，當(dāng)pab的面積最小時，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（）23 9,(b) 2 42 4,(c) (d) (2,4)3 95. 一個動圓的圓心在拋物線 y = 8x 上，且動圓恒與直線 x+2=0 相切，則此動圓必經(jīng)過的定點(diǎn)是（）2(a) (0,2)(b) (0,-2)(c) (4,0)(d) (2,0)由題意可知直線 x+2=0 是拋物線 y = 8x 的準(zhǔn)線，而動圈圓心又在拋物線 y = 8x 上，根據(jù)拋物線定義可知22動圓圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，從而動圓必過拋