高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量章末測評 北師大版必修4

1、第二章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.以下說法中不正確的是()A.零向量與任一非零向量平行B.零向量與單位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共線向量解析:只有C是錯誤的,平行向量有方向相同與相反兩種情況.答案:C2.已知向量a=(4,x),b=(-4,4),若ab,則x的值為()A.0B.4C.-4D.4解析:依題意,得44=(-4)x,所以x=-4.答案:C3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于()A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b解析:設(shè)c=xa+yb,因此,解得因此,

2、c=a-b.答案:B4.若a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的射影為()A.B.C.D.解析:設(shè)a,b的夾角為,則a在b方向上的射影為|a|cos =.答案:A5.設(shè)x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,則|a+b|=()A.B.C.2D.10解析:由ac得ac=2x-4=0,所以x=2,由bc得1(-4)=2y,所以y=-2,于是a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),從而|a+b|=.答案:B6.在ABC中,已知D是AB邊上一點,若=2+,則=()A.B.C.-D.-解析:=2,=2=2(),即得,由已知條件+可得=.答

3、案:A7.已知平面上不共線的四點O,A,B,C.若向量+2=3,則的值為()A.B.C.D.解析:+2=3=2-2=2,所以的值為.答案:A8.在ABC中,ACB=90,且CA=CB=3,點M滿足=2,則=()A.2B.3C.4D.6解析:如圖,=)=,|2=0+32=3.答案:B9.(2015重慶高考)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),則a與b的夾角為()A.B.C.D.解析:由(a-b)(3a+2b)知(a-b)(3a+2b)=0,即3|a|2-ab-2|b|2=0.設(shè)a與b的夾角為,所以3|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0,即3|b|2cos -2

4、|b|2=0,整理,得cos =,故=.答案:A10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),點C在第二象限內(nèi),AOC=,且|=2,若=+,則,的值是()A.,1B.1,C.-1,D.-,1解析:根據(jù)平面向量的基本定理并結(jié)合圖形求出分量即可.答案:D11.若點O為平面內(nèi)任意一點,且(-2)()=0,則ABC是()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形解析:由(-2)()=0得()()=0,=0,即|=|.AB=AC,ABC是等腰三角形.由題意不能判定ABC為直角三角形.答案:C12.導(dǎo)學(xué)號0307012

5、1在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,兩定點A,B滿足|=|=2,則點集P|=+,|+|1,R所表示的區(qū)域的面積是()A.2B.2C.4D.4解析:以為鄰邊作一個平行四邊形,將其放置在如圖平面直角坐標(biāo)系中,使A,B兩點關(guān)于x軸對稱,由已知|=|=2,可得出AOB=60,點A(,1),點B(,-1),點D(2,0).現(xiàn)設(shè)P(x,y),則由=+得(x,y)=(,1)+(,-1),即由于|+|1,R,可得畫出動點P(x,y)滿足的區(qū)域為如圖陰影部分,故所求區(qū)域的面積為22=4.答案:D二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-2

6、b共線,則等于.解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).由ma+nb與a-2b共線知,n-2m=12m+8n.=-.答案:-14.已知向量a,b夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=.解析:由|2a-b|=可得,4|a|2-4ab+|b|2=10,所以4-41|b|cos 45+|b|2=10,即|b|2-2|b|-6=0,解得|b|=3.答案:315.(2016陜西寶雞高三模擬)函數(shù)y=tan的部分圖像如下圖所示,則()=.解析:依題意知A(2,0),B(3,1),=(3,1),=(2,0),

7、=(1,1),()=4.答案:416.如圖,在ABC中,O為中線AM上的一個動點,若AM=2,則()的最小值是.解析:如題中圖,設(shè)=a,則|a|=2.因為O為中線AM上的動點,所以=t=ta(0t1),故=(1-t)a.因為M是BC的中點,所以=2=-2ta.所以()=(1-t)a(-2ta)=-2t(1-t)|a|2=8t2-8t=8-2.所以,當(dāng)t=0,1時,最小值為-2.答案:-2三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(10分)如圖,在平行四邊形OADB中,設(shè)=a,=b,.試用a,b表示.解:由題意知,在平行四邊形OADB中,)=(a-b)=a-b,則=b+a-b=a+b.)=(a

8、+b),則(a+b)-a-b=a-b.18.(12分)已知非零向量a,b滿足|a|=1,且(a-b)(a+b)=.(1)求|b|;(2)當(dāng)ab=時,求向量a與b的夾角的值.解:(1)因為(a-b)(a+b)=,即a2-b2=.所以|b|2=|a|2-=1-,故|b|=.(2)因為cos =,又0180,故=45.19.(12分)已知向量a,b不共線.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求證:A,B,D三點共線.(2)求實數(shù)k,使ka+b與2a+kb共線.解:(1)因為=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=5a+5b=5,因此共線.又點B為的公共點,所以A,B,D三點共線.(

9、2)因為ka+b與2a+kb共線,則存在實數(shù)使ka+b=(2a+kb),所以所以k=.20.(12分)以某市人民廣場的中心為原點建立平面直角坐標(biāo)系,x軸指向東,y軸指向北.一個單位長度表示實際路程100米,一人步行從廣場入口處A(2,0)出發(fā),始終沿一個方向勻速前進,6分鐘時路過少年宮C,10分鐘后到達科技館B(-3,5).(1)求此人的位移(說明此人行走的距離和方向)及此人行走的速度(用坐標(biāo)表示).(2)求少年宮C點相對于廣場中心所在的位置.解:(1)依題意知=(-3,5)-(2,0)=(-5,5).|=5,xAB=135.所以此人沿北偏西45方向走了500米.因為t=小時,所走的實際距離s

10、=|100=500(米),所以|v|=3 000(米/時)=30(百米/時),所以|v|cos 135=-30,|v|sin 135=30,所以v=(-30,30).(2)因為,=(2,0)+(-5,5)=(-1,3),所以|=,又tanCOy=,所以COy=1826,即少年宮C位于距離廣場中心100米,且在北偏西1826處.21.(12分)已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,|ka+b|=|a-kb|(k0,kR).(1)求ab關(guān)于k的解析式f(k);(2)若ab,求實數(shù)k的值;(3)求向量a與b夾角的最大值.解:(1)由已知|ka+b|=|a-kb|,有|ka+b|2=(|a-kb|)2,k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2.又因為|a|=|b|=1,得8kab=2k2+2,所以ab=,即f(k)=(k0).(2)因為ab,k0,所以ab=0,則a與b同向.因為|a|=|b|=1,所以ab=1,即=1,整理得k2-4k+1=0,所以k=2,所以當(dāng)k=2時,ab.(3)設(shè)a,b的夾角為,則cos =ab=.當(dāng),即k=1時,cos 取最小值,又0,所以=,即向量a與