數(shù)學(xué)分析解題中的常見錯(cuò)誤分析本科畢業(yè)論文

1、學(xué) 號(hào)：200510010104河北理工大學(xué)本科畢業(yè)論文論文題目：數(shù)學(xué)分析解題中的常見錯(cuò)誤分析學(xué) 院：河北理工大學(xué)理學(xué)院系：信息與計(jì)算科學(xué)系專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)河北理工大學(xué)畢業(yè)論文摘 要在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中，接觸了大量的定義、定理、方法和思想。在做題的過程中由于對(duì)知識(shí)體系、理論體系及方法體系認(rèn)識(shí)不深刻，領(lǐng)悟不透徹、使用不恰當(dāng)?shù)戎T多原因，常常導(dǎo)致解題過程中出現(xiàn)形形色色的錯(cuò)誤，本文舉例說明并分析在數(shù)學(xué)分析解題中所出現(xiàn)的常見錯(cuò)誤類型，淺析錯(cuò)誤背后的成因，挖掘錯(cuò)誤的價(jià)值，從而錯(cuò)中探究，錯(cuò)中求知，繼而進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)分析本質(zhì)。讓讀者對(duì)這些常見的錯(cuò)誤類型有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在具體的解題過程中，有一個(gè)清楚的解

2、題思路。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析; 解題，錯(cuò)誤分析; abstract in the learning process of mathematical analysis.access to a large number of definitions. theorems, methods and ideas. title in the process of doing because of the knowledge system.the theoretical system and method of the system does not recognize the profound. do not

3、 thoroughly understand. inappropriate use of a number of reasons.problem-solving process often leads to all sorts of errors occur.in this paper. examples and analysis of mathematical analysis in solving problems arising in the common error types.analysis of the causes behind errors.mining the value

4、of error.wrong in exploring.wrong in the quest for knowledge.then further to reveal the nature of mathematical analysis.to allow readers to common errors of these types are further understanding of.in specific problem-solving process.there is a clear problem-solving ideas. keywords： mathematical ana

5、lysis. problem-solving. error analysis.目 錄一、前言1二、數(shù)學(xué)分析解題過程中常見的幾大類錯(cuò)誤1 1. 邏輯混亂型錯(cuò)誤1 2. 偷換概念型錯(cuò)誤6 3. 運(yùn)算模糊型錯(cuò)誤7 4. 以偏概全型錯(cuò)誤11 5. 疏漏型錯(cuò)誤13三、總結(jié)15參考文獻(xiàn)16一、 前言數(shù)學(xué)分析中的基本概念,基本理論很多，理解和熟練掌握這些基本概念是數(shù)學(xué)分析解題的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生來說，重要的不是分門別類地去死記硬背一大堆數(shù)學(xué)概念、定義和定理，而是要加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)，有時(shí)感到比較困難，在作業(yè)與練習(xí)時(shí)，常犯這樣那樣的錯(cuò)誤。本文舉例說明并分析在數(shù)學(xué)分析解題中出現(xiàn)常見錯(cuò)誤問

6、題，進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)分析本質(zhì)。啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。，繼而進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)分析本質(zhì)。讓讀者對(duì)這些常見的錯(cuò)誤類型有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在具體的解題過程中，有一個(gè)清楚的解題思路二、數(shù)學(xué)分析解題過程中常見的幾大類錯(cuò)誤1. 邏輯混亂型錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)分析解題過程中，我們發(fā)現(xiàn)即便對(duì)定義、定理、公式記得十分準(zhǔn)確，解題卻常常出現(xiàn)一些典型的邏輯混亂型錯(cuò)誤，有些本應(yīng)在中學(xué)掌握的邏輯知識(shí)，在數(shù)學(xué)分析解題中卻也難免屢屢發(fā)生錯(cuò)誤。1. 1常見的邏輯錯(cuò)誤(1) 循環(huán)論證違反的充足理由其邏輯公式是a就是b，b就是a，由此必然推導(dǎo)出a就是a的結(jié)論。所謂數(shù)學(xué)中的循環(huán)論證，就是用某些論據(jù)來證明一個(gè)論題，而那些論據(jù)

7、的真實(shí)性又要根據(jù)這個(gè)論題來證明。簡(jiǎn)單地說，就是用某個(gè)命題的自身來證明這個(gè)命題，其具體就可以表現(xiàn)為： 1)論證過程中，間接隱蔽或直接明顯地以待證命題作為論據(jù)來論證 例1 設(shè)，且 。證明： 【錯(cuò)誤解法】 因，,則根據(jù)極限不等式性質(zhì)得 同理得：=，于此得 分析：本題根據(jù)極限不等式性質(zhì)，但極限不等式性質(zhì) 需在存在的條件下成立，本題要證 存在且等于，容易發(fā)生的錯(cuò)誤是用待證的“ 存在”作為論據(jù)證明“ 存在”。【正確解法】 已知 ，則 于此 有 即： 得證： 2)論證中，以待證命題的等價(jià)命題作為論據(jù)來論證。 例 2 若 在a，b上可積，則=在a，b上連續(xù)。 錯(cuò)誤與分析：本題要證明。令g( x)= ，容易發(fā)生

8、的錯(cuò)誤是：所證在的連續(xù)性由=0，即而來，換句話說，是由g(x)在的連續(xù)性而來，而于是(x)在連續(xù) g(x) 在連續(xù)，即(x)在連續(xù)性由在連續(xù)的等價(jià)命題“g(x )在的連續(xù)性”而來，這正是循環(huán)論證的第二類形式。產(chǎn)生循環(huán)論證的根源在于學(xué)生對(duì)論證的規(guī)則不清，缺乏形式邏輯知識(shí)所致。 “不許循環(huán)論證”是進(jìn)行正確論證所必須遵循的。前兩者是關(guān)于論據(jù)的，后一個(gè)是關(guān)于論斷方法的。論據(jù)是論證的基石，其真實(shí)性不應(yīng)依賴于論題來論證，否則該論據(jù)不真實(shí)關(guān)鍵在于解題中要注意滲透邏輯知識(shí)，強(qiáng)調(diào)論證的規(guī)則。只有掌握了必要的邏輯知識(shí)，才能避免出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤。(2)形式論證而內(nèi)涵不符 形式論證而內(nèi)涵不符的錯(cuò)誤根源在于他們對(duì)概念

9、的內(nèi)涵重視不夠。概念是形式邏輯思維的形式之一，是反映客觀對(duì)象一般的、本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)、依據(jù)。概念的內(nèi)涵是該概念所包括的一切對(duì)象的共同的本質(zhì)屬性的總和，更是我們必須掌握的。忽視了概念的內(nèi)涵，必然會(huì)導(dǎo)致論證中的某些錯(cuò)誤例3：設(shè)（）,; (),().若對(duì)每一 ,，則 在上一致收斂于。 錯(cuò)誤分析;本題容易發(fā)生以下錯(cuò)誤：由（x）,x;則對(duì)每一x，對(duì)0，當(dāng) ，有 .又因0,(),則，當(dāng)時(shí)，有取=,則當(dāng)時(shí)，對(duì)，有 于是， () ， 而這里=（,）因而 得出的=，=此時(shí) 與一致收斂概念中的不符，即因一致收斂概念內(nèi)涵=不清導(dǎo)致錯(cuò)誤。(3) 誤將變量作為常量去處理數(shù)學(xué)分析是以變量為研

10、究對(duì)象的，學(xué)生們往往以常量數(shù)學(xué)靜止的觀點(diǎn)看問題。變量是運(yùn)動(dòng)、變化在數(shù)學(xué)中的反映，誤將變量視為常量的根源在于：一方面，我們首先認(rèn)識(shí)的是常量，對(duì)變量的認(rèn)識(shí)要相對(duì)晚得多、困難得多 另一方面學(xué)習(xí)過程上小學(xué)、中學(xué)人多接受的是常量數(shù)學(xué)用靜止觀點(diǎn)看問題幾乎成了其思維的 隕性”。因此對(duì)以變量為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分析跨越了一個(gè)相當(dāng)大的階梯出現(xiàn)類似錯(cuò)誤在所難免多一些辯證法，總之在數(shù)學(xué)分析解題中少一些形而上學(xué)，多一分明確常量與變量的界限辨證關(guān)系。 例4 研究 函數(shù) f(y)= 的 連續(xù)性 ，其中 f(x) 是 0,1 上連續(xù)的 正函數(shù) 。錯(cuò)誤分析:本題容易發(fā)生的錯(cuò)誤是：利用積分第一中值定理得到f(y)=f() =f()

11、 arctg 從而 得f(y)在y=0時(shí)不連續(xù)。錯(cuò)誤在于將含量積分與定積分混淆了。表現(xiàn)在f(y)= 是含y 為參量的積分，因而f(y)=f() 中 ，因而，即此處將隨y而變的均視為常量，是將含參量積分混同定積分而忽略了參量y所導(dǎo)致的。(4) 論證規(guī)則中論據(jù)的非真實(shí)性論證規(guī)則中的“論據(jù)必須是真實(shí)的”、“論據(jù)對(duì)于論題應(yīng)當(dāng)具有充足的理由”、 為虛偽的論據(jù)，對(duì)論證也就不具備充足的理由，這樣論證，怎么不會(huì)錯(cuò)呢。例5： 證明 設(shè)有界閉區(qū)域r是由兩條光滑曲線 與 ， 且以及直線 x= a與 x= b所圍成。若函數(shù)f(x，y )在r可積，且定積分 則累次積分 也存在 ，且證明 將r包含在閉矩形內(nèi)p，(如圖）有

12、 在閉矩形p上定義新函數(shù)根據(jù)定理1(若函數(shù)f(x，y )在有界閉區(qū)域r有界，間斷點(diǎn)只分布在有限條光滑曲線上，則函數(shù)在f(x，y)在r上可積),在p可積。根據(jù)定理1,有 由新函數(shù)的定義，有 有 于是 至此得 ： 此定理關(guān)于 的可積性的證明是由定理1 得出的，然而這一定理只是充分條件而非充要條件。盡管 確實(shí)是p上的可積函數(shù)，但它的可積性卻不能由定理1得出。因?yàn)椋绻啥ɡ?出證明中定義的 在p上可積，則需有f(x，y )在r有界且其間斷點(diǎn)只分布在有限條光滑曲線上。但是我們僅知道f(x，y )在r可積，并不能由此得出f(x，y )在r有界且其間斷點(diǎn)只分布在有限條光滑曲線上的結(jié)論。這說明在“此題”的

13、證明中把“定理1“當(dāng)作充要條件使用。從而導(dǎo)致證明中的邏輯錯(cuò)誤2.偷換概念型錯(cuò)誤 在做題過程中，往往受一些思維定式的影響而產(chǎn)生錯(cuò)誤的判斷，比如在學(xué)習(xí)積分時(shí)，有些概念上的理解出現(xiàn)偏差。例如對(duì)函數(shù)原函數(shù)存在性與可積性關(guān)系想當(dāng)然的認(rèn)為函數(shù)有原函數(shù)就一定可積?？煞e的函數(shù)就一定存在原函數(shù)，這種偷換概念形式的錯(cuò)誤還能經(jīng)常遇到。例6： 設(shè)其原函數(shù)為 但 在0，1上為無界函數(shù)，因此在0,1上并不可積。例7： 設(shè)則為僅在x=處間斷的有界函數(shù)，從而在0,1上可積，但上不存在原函數(shù)，若不然，設(shè)在0,1=。由導(dǎo)函數(shù)介值定理，對(duì)實(shí)數(shù)0（因?yàn)?100)內(nèi)可導(dǎo)，故 與是兩個(gè)根本不同的概念。 在一般情況下，與，是不相等的。例如

14、11， 函數(shù)：當(dāng) x0時(shí)， 而 因此兩者不等但在一定的條件下，成立= 若函數(shù) 在a，a+ ( o)上連續(xù)，在(a，a+ )內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則函數(shù) 在a點(diǎn)右可導(dǎo)且=證明 在(a，a+ )內(nèi)任取一點(diǎn) x，函數(shù) 在a，x 上滿足拉格朗日中值定理，則至少存在一點(diǎn) (a，x )，使得 即：當(dāng) 時(shí)，有 = 故=5.疏漏型錯(cuò)誤 1.在求不定積分時(shí) 有人是如下這樣做的：由分部積分公式可得 = 于是推得0=1 若再用一次分部積分公式又可推得0=2，如此下去，可推得0等于任何自然數(shù)。這個(gè)結(jié)果顯然是不對(duì)的，錯(cuò)誤的關(guān)鍵是在利用分部積分公式 兩端的不定積分都各自包含著一個(gè)任意常數(shù). 不定積分表示一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)全體，是一

15、個(gè)集合，所以不能簡(jiǎn)單地和數(shù)一樣從等式兩邊消去。故由 可求得 這說明 與都是的原函數(shù)，cl、c2不是相互獨(dú)立的常數(shù)，這樣就不可能出現(xiàn)0=1=2=n等一系列荒謬的結(jié)論。同理可知，不定積分性質(zhì)中的等式 要求k是不等于0的常數(shù)，否則若k=0，則由上式可得出c=0(為任意常數(shù))的錯(cuò)誤結(jié)論。2.冪級(jí)數(shù)收斂半徑的計(jì)算 在求形如 的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí)，都是利用公式r= 或r=。但是對(duì)于缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，例如 等就不能利用上面的公式去求冪級(jí)數(shù)收斂半徑，否則將會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如對(duì) 若用公式r= 則有r= 收斂區(qū)間為(一2，2)但這結(jié)果顯然不對(duì)。因?yàn)樘?hào)(一2，2)， 但將 x=代入冪級(jí)數(shù) 得 是發(fā)散的。 所以 對(duì)于一般冪

16、級(jí)數(shù) ，(其中 為冪函數(shù))，可采用以下方法求收斂半徑。利用達(dá)朗貝爾(dalembert )判別法的極限形式,由解不等式求得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。三 總結(jié)： 數(shù)學(xué)分析的解題過程，就是對(duì)知識(shí)體系、理論體系及方法體系進(jìn)行熟悉的過程，錯(cuò)誤的解題方法，錯(cuò)誤的解題思路也正好說明我們對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)不深刻，領(lǐng)悟不透徹和使用不恰當(dāng)。敏銳地發(fā)現(xiàn)隱匿在錯(cuò)誤背后的成因，挖掘錯(cuò)誤的價(jià)值，這無疑也體現(xiàn)了十分現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)價(jià)值。學(xué)生對(duì)自己的思維過程作出修正，那么“錯(cuò)誤”也將變成一種寶貴的經(jīng)驗(yàn)。 經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的努力 在徐秀娟老師耐心細(xì)致的輔導(dǎo)幫助之下，論文終于完成。再此對(duì)徐老師表以深深的感謝!參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析m北京：高等教育出版社，19912 徐利治數(shù)學(xué)方法論選講m武漢：華中工學(xué)院出版社，19883 劉廣云數(shù)學(xué)分析方法論一題j數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1997，6(2)：85894 張奠宇數(shù)學(xué)方法論m上海：上海教育出版社，19965 任樟輝數(shù)學(xué)思維論m南寧：廣西教育出版社6 r.courant and f.john,introduction to calculus and analysis, vol、（有中譯本：r.柯朗，f.約翰，微積分和數(shù)學(xué)分析引論，第一、二卷（共五分冊(cè)）科學(xué)出版社，1979-