常微分方程的常數(shù)變易法及其應(yīng)用

1、常微分方程的常數(shù)變易法及其應(yīng)用摘 要本文歸納整理了常微分方程常數(shù)變易法的幾個(gè)應(yīng)用.關(guān)鍵詞常數(shù)變易法; 微分方程; 齊次; 系數(shù)constant variating method and application in ordinary differential equationabstract this paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationkeywords constant variating method ; differen

2、tial equation ; homogeneouscoefficient一、關(guān)于常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是微分方程中解線性微分方程的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的變換為函數(shù),它是拉格朗日(lagrangr joseph louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的僅是他的結(jié)論。二、常數(shù)變易法的幾個(gè)應(yīng)用1.常數(shù)變易法在一階線性非齊次微分方程中的應(yīng)用一階線性非齊次微分方程 （1） 它所對(duì)應(yīng)的齊次方程為 （2）是變量分離方程，它的通解為 （3）下面討論一階線性非齊次微分方程（1）的解法。方程（2）與方程（1）既有聯(lián)系又有區(qū)別設(shè)想它們的解也有一定的聯(lián)系，（3）中的恒為常數(shù)

3、，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，不再是常數(shù)，將是的待定函數(shù)，為此令 （4）兩邊積分得到 將（4）（5）代入（1），得到 （5）即 兩邊積分得 （6）這里是任意的常數(shù)，將代入得到 這就是方程 的通解例1 求方程的通解，這里的為常數(shù).解 將方程改寫為 （7）先求對(duì)應(yīng)齊次方程 的通解，得 令 （8）微分得到 （9）將（8）、（9）代入（7）中再積分，得 將其代入（8）中，即得原方程的通解 這里是任意的常數(shù)例2 求方程的通解.解 原方程改寫為 （10）把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對(duì)于及來說，方程（10）就是一個(gè)線性先求齊次線性方程的通解為 （11）令，于是 代入（10），得

4、到 從而原方程的通解為 這里是任意的常數(shù),另外也是方程的解.初值問題為了求初值問題 常數(shù)變易法可采用定積分形式，即（4）可取為 （12）代入（1）化簡(jiǎn)得 積分得 代入（12）得到 將初值條件、代入上式于是所求的初值問題為 或 定理一階非齊線性方程（1）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2）之解；若是（2）的非零解，而是（1）的解，則（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù)；方程（2）任一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（2）的解.證明 設(shè)是非齊線性方程的兩個(gè)不同的解，則應(yīng)滿足方程使 兩式相減有 說明非齊線性方程任意兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的解. 因?yàn)楣式Y(jié)論成立. 因?yàn)楣式Y(jié)論成立.2.

5、常數(shù)變易法在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用 我們知道常數(shù)變易法用來求非齊次線性微分方程的通解十分有效，現(xiàn)將常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中.該方法是新的,具有以下優(yōu)點(diǎn)：無需求非齊次方程的特解，從而免去記憶二階微分方程各種情況特解的形式；無需求出相應(yīng)齊次方程的全部解組，僅需求出一個(gè)即可；可得其通解公式.現(xiàn)考慮二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （1）其對(duì)應(yīng)的齊次方程為 （2）下面對(duì)（2）的特征方程 （3）x有實(shí)根和復(fù)根加以考慮若為（3）的一實(shí)根，則是（2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（1）的解為通過求導(dǎo)可得 （4）將（4）和代入（1）化簡(jiǎn)得 這是關(guān)于的一階線性方程，其通解為 （5）

6、若為（3）的一復(fù)根，不妨設(shè)，且，則f為（2）一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（1）的解為 ，與情形的推到類似，不難求得方程（1）的通解公式為 （6） 例1求的通解 解 相應(yīng)的特征方程為 有解，故設(shè)非齊次方程的解為 對(duì)其求導(dǎo)得 代入原方程化簡(jiǎn)得 其通解為 所以 從而原方程的通解為 例2求的通解解 相應(yīng)的特征方程為 有解，有公式（5），得其通解為 = 3.常數(shù)變易法在三階常系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用 前文中對(duì)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法進(jìn)行了討論，以下對(duì)一般的三階常系數(shù)非齊次線性微分方程詳細(xì)論述，此方法彌補(bǔ)了一般情況下只有特殊才能求解的缺陷，擴(kuò)大了的適用范圍.由前面知，二階常系數(shù)非齊次線性微分方

7、程 對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程 若為實(shí)特征根，通解為 （1）若為一復(fù)根，不妨設(shè)，且，通解為 （2）三階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （3）則對(duì)應(yīng)的齊次方程為 （5）其對(duì)應(yīng)的齊次方程 （6）若為其一實(shí)根，為方程根，則方程（3）的通解為 當(dāng)為實(shí)根時(shí)， 當(dāng)為復(fù)根時(shí)，不妨設(shè)，且 證明 因?yàn)樘卣鞣匠蹋?）是三階方程，所以它至少有一實(shí)根，不妨設(shè)為特征方程一實(shí)根，則是（4）的一解，這時(shí)可設(shè)（3）的解為將其代入（3）中可得 因?yàn)闉樘卣鞣匠桃桓?，因此 這是關(guān)于的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其特征方程，其特征方程為 若其根為為實(shí)根，則由二階方程通解公式（1）可得 那么（3）的通解為 若其根為復(fù)根時(shí)，不妨設(shè)，

8、且則由二階方程通解公式（2）可得 那么（3）的通解為 例1 求解方程的通解.解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 其根為方程，即， 其根為所以取 代入公式 則其通解為 求解過程只需依次積分即可待添加的隱藏文字內(nèi)容1 令那么方程的通解為（）. 4.常數(shù)變易法在二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用二階變系數(shù)微分方程 的通解為 那么可以通過常數(shù)變易法求得非齊次方程的通解設(shè)非齊次方程具有形式 的特解，其中是兩個(gè)待定函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)數(shù)得 我們補(bǔ)充一個(gè)的條件 這樣 因此 將其代入化簡(jiǎn)得 聯(lián)立方程解得 積分并取得一個(gè)原函數(shù) 則所求的特解為 + 所以方程的通解為 + 例1 求方程的通解解 方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 由得 積

9、分得 即，得其通解為 所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解是，為了求非齊次方程的一個(gè)特解，將換成待定函數(shù)，且滿足下列方程 解得 于是原方程的一個(gè)特解為 從而原方程的通解 參考文獻(xiàn)1 鄧春紅.關(guān)于二、三階線性微分方程通解求法j.零陵學(xué)報(bào).2004,25(6):42-45.2 劉許成.三階線性微分方程系數(shù)的常數(shù)化定理及應(yīng)用j.濰坊學(xué)報(bào).2003,3(2):39-40.3 常微分方程m.北京：高等教育出版社，2005.（4）：22-26.4 崔士襄.常數(shù)變易法來歷的探討j.邯鄲農(nóng)業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),1998,(1):40-41.5 俞岑源.關(guān)于一階線性常微分方程常數(shù)變易法的一點(diǎn)注記j.2001,(3):1