醫(yī)用高等數(shù)學：第二換元積分法

1、二、第二類換元法二、第二類換元法 第二節(jié)第二節(jié) 一、第一類換元法一、第一類換元法 換元積分法 問題問題?1 25 dxxx 解決方法解決方法改變中間變量的設置方法改變中間變量的設置方法. 過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx 25 1tdtttcossin1)(sin 25 tdtt 25 cossin 再用再用“湊微分湊微分” 二、第二類換元法二、第二類換元法 .)()()()()( 1 )()( 1 cxFctFdtttfdxxf xttx 難難易易 二、第二類換元法 第一類換元法解決的問題 難求 易求 xxxfd)()( ( )df uu )(xu 若所求積分 ( )(

2、) dfttt 易求, 則得第二類換元積分法 . 難求，而( )df xx ( ),xt用變量替換,即代入原式： 設設 )(tx 是是單單調(diào)調(diào)、可可導導函函數(shù)數(shù)，且且 0)( t )(,)()()( 1 xtctFdtttf 又又設設 )()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，即即 定理定理2 2 .)()( 1 cxFdxxf 則則 注：注：1）保證代換）保證代換x= (t)的單調(diào)連續(xù)（有反函數(shù)）；的單調(diào)連續(xù)（有反函數(shù)）； 第二類積分換元公式第二類積分換元公式 )( 1 )()()()2 xt dtttfdxxf 代換代換 x= (t)，一起換。，一起換。代回原變量 例1 求求 解： .4 23

3、 dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2 , 2 t dxxx 23 4 tdtttcos2sin44sin2 2 3 tdtt 23 cossin32 tdttt 22 cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos32 42 Ctt )cos 5 1 cos 3 1 (32 53 t 2 x 2 4x .4 5 1 4 3 4 5 2 3 2 Cxx 三角代換三角代換 cscln csccotxdxxxC secln sectanxdxxxC 22 cos1 sin;tt 22 sec1tan;tt 22 tansec1;tt 例2. 求求. )0( d 22 a

4、 ax x 解解: 令, ),(,tan 2 2 ttax則 22222 tanataax tasec ttaxdsecd 2 原式 ta 2 sec tasec tdttdsec 1 tanseclnCtt a x 22 ax t ln 22 ax a )ln( 1 aCCCaxx 22 ln x a 1 C 例3. 求求. )0( d 22 a ax x 解解: 令 , ),0(,sec 2 ttax 則 22222 secataaxtatan xdtttadtansec 原式t d ttatansec tatan ttdsec 1 tanseclnCtt a x22 ax t 1 lnC

5、 Caxx 22 ln)ln( 1 aCC 22 ax a x a 說明說明1 1以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換. 三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式. 一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有 22 )1(xa 可令可令;sintax 22 )2(xa 可令可令tan ;xat 22 )3(ax 可令可令.sectax 原式 2 1 tan1t 2 sec tdt 例4. 求求 2 1 d . 22 x xx 解解: 因為 22 22(1)1xxx 原式 2 1tan ;secxt dxtdt 令 2 2 1 (1) (1)1 d

6、x x 2 1 secsec sec tdttdt t 代回原變量 ln sectanttC 1 1x 2 (1)1x t 由直角三角形法由直角三角形法: 2 sec22,tan1txxtx 2 2 1 dln122 22 xxxxC xx 原式ln sectanttC 1tanxt 令 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用 三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的 情況來定情況來定. 說明說明 例例5 5 求求dx x x 2 5 1 （三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣） 2 1xt 令令 , 1 22 tx,tdtxdx dx x

7、 x 2 5 1 tdt t t 2 2 1 dttt 12 24 Cttt 35 3 2 5 1 .1)348( 15 1 242 Cxxx 解解 例6. 3 (1) dx xx 求 65 ,6,xtdxt dt解：令代入上式； 2 22 111 6 ()6 (1)6(arctan ) 11 t dtdtttC tt 6 tx代回原變量 66 6xx原式（-arctan）+C 當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的 根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） lk xx, n tx n 52 322 6 6 (1)1 tt d

8、tdt t tt 原式 例7. 求求 22 d . 1 x xx 解解: 令sin ,xt 得 原式 2 cos d sincos t t tt 2 dcos cot sinsin tt tCC tt 2 1x C x 方法一，三角恒等法方法一，三角恒等法 方法二：倒代法，利用它?？上ケ环e函數(shù)的分母中的變方法二：倒代法，利用它?？上ケ环e函數(shù)的分母中的變 量因子量因子x; 22 2 2 2 22 111 ,(01);, 11 1 () 11 xxdxdtxt ttt tt tdtdt t tt 原式 2 2 2 1(1) 1 2 1 d t tC t 2 1 1 C x 22 d . 1 x

9、 xx 1 ,x t 被積函數(shù)為分式，且分母中變量次數(shù)高于分子變量的 次數(shù)時，可用倒代換，即化簡積分計算 當分母的階較高時當分母的階較高時, 可采用可采用倒代換. 1 t x 例8 求求dx xx )2( 1 7 令令 t x 1 , 1 2 dt t dx dx xx )2( 1 7 dt t t t 27 1 2 1 dt t t 7 6 21 Ct |21|ln 14 1 7 .|ln 2 1 |2|ln 14 1 7 Cxx 解： 上一頁下一頁 2 222 212 tan,sin;cos; 2111 xttdt txxdx ttt 則令 2 2tan 2 sin 1tan 2 x x

10、x 補充：萬能代換法 2 2 1 tan 2 cos 1tan 2 x x x (sin ,cos )Rxx dx 化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分 2 222 212 (,) 111 tt Rdt ttt 三角函數(shù)的有理式的積分三角函數(shù)的有理式的積分 三、小結三、小結 兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分 （二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換 基本積分表基本積分表(2) 作業(yè)作業(yè) P89 2: (18-22) 小結: 1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 xbaxxf n 令 n bxat ,d),()2 xxf n dxc bxa 令 n dxc bxa t ,d),()3 22 xxaxf令 taxsin或taxcos ,d),()4 22 xxaxf令taxtan ,d),()5 22 xaxxf令taxsec xxdtan)16( xxdcot)17( xxdsec)18( xxdcsc)19( Cx cosln Cx sinln Cxx tansecln Cxxcotcscln 2. 常用基本積分公式的補充常用基本積分公式的補充 7) 分母中因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換倒代換 ,d)()6 xaf x 令 x at x xa d 1 )20( 22 x xa