A全等三角形之手拉手模型、倍長中線-截長補短法(2)

1、手拉手模型要點一：手拉手模型 特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點(3)0A平分/ BOC結論：(ABD AEC (2)Za +/BOC=180變形:例1.如圖在直線(1) ABE AE DCABC的同一側作兩個等邊三角形DBCABD與 BCE，連結AE與CD，證明DFBCFBAHC(3) AE與DC之間的夾角為60AGBEGBHB平分(7) GF / AC變式精練1:如圖兩個等邊三角形ABD與BCE ,連結AE與CD ,證明(1) ABE DBC(2) AE DC(3) AE與DC之間的夾角為60(4) AE與DC的交點設為H , BH平分 AHC變式精練2:如圖兩

2、個等邊三角形 ABD與 BCE，連結AE與CD ,證明(1) ABE DBC(2) AE DC(3) AE與DC之間的夾角為60(4) AE與DC的交點設為H , HB平分 AHC例2：如圖，兩個正方形 ABCD與DEFG，連結AG,CE ,二者相交于點H問：（1） ADG CDE是否成立?（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分 AHE ？例3：如圖兩個等腰直角三角形 ADC與EDG，連結AG,CE ,二者相交于點H問：（1） ADG CDE是否成立?（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分 AHE ？例4：兩個

3、等腰三角形 ABD與 BCE，其中AB BD ,CB EB, ABD CBE，連結AE與CD，問：(1) ABE DBC是否成立?(2) AE是否與CD相等？(3) AE與CD之間的夾角為多少度？(4) HB是否平分 AHC ？【練1】如圖，三角形 ABC和三角形CDE都是等邊三角形，點A,E,D,同在一條直線上，且角EBD=62求角AEB的度數(shù)例5:如圖，點A. B. C在同一條直線上，分別以AB、BC為邊在直線AC的同側作等邊三角形 ABD、 BCE. 連接AE、DC，AE與DC所在直線相交于 F,連接FB.判斷線段FB、FE與FC之間的數(shù)量關系，并證明你 的結論。倍長與中點有關的線段倍長

4、中線類?考點說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉等長度 的線段，從而達到將條件進行轉化的目的：將題中已知和未知條件集中在一對三角形中、構造全等三角形、 平移線段。【方法精講】常用輔助線添加方法一一倍長中線EN延長AD到E，使 DE=AD， 連接BE延長MD到N, 使 DN=MD 連接CD【例1】已知:1ABC中，AM是中線求證： AM -(AB AC). 2【練1】在厶ABC中，AB5, AC 9，貝U BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是什么?【練2】如圖所示，在 ABC的AB邊上取兩點E、F，使AE BF，連接CE、CF ,求證: AC BC E

5、C FC .CBD=CF,【例2】 如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線, 求證：AC BE .E是AD上一點，延長BE交AC于F , AF EF ,【練1】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線,F，求證：AF EFE是AD上一點，且BE AC，延長BE交AC于【練3】如圖，在等腰三角形 ABC中，AB=AC , D是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上的一點，且連結DF交BC于E.求證：DE=EF（倍長中線、截長補短）【練2】如圖，在 ABC中，ABAC , E為BC邊的中點, 交AB于F,交CA的延長線于 G.求證：BF=CG.【練3】如圖，在 ABC中，AD交BC于點D，點E是B

6、C中點，EF II AD交CA的延長線于點 F，交AB 于點G，若BG CF，求證：AD為 ABC的角平分線.【練4】如圖所示，已知 ABC中，AD平分 BAC , E、 求證：EF II ABF 分別在 BD、AD 上. DE CD , EF AC .【例3】已知AM為ABC的中線,AMB ,AMC的平分線分別交AB于E、交AC于F 求證:BE CF EF .【練1】在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點，D、BE 4，則線段DE的長度為.E分別在邊 CA、CB上，滿足DFE90 若 AD 3 ,【練2】如圖， ABC中，AB=2AC , AD平分BC 且 AD 丄 AC，則/ BAC=【練3

7、】在 ABC中，點D為BC的中點，點 M、N分別為AB、AC上的點，且 MD ND .（1）若 A 90，以線段BM、MN、CN為邊能否構成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角 形、直角三角形或鈍角三角形？（2）如果 BM 2 CN2 DM 2 DN2，求證 AD2 - AB2 AC2 .4【例4】如圖，等腰直角 ABC與等腰直角 BDE , P為CE中點，連接PA、PD . 探究PA、PD的關系（證角相等方法）E【練1】如圖，兩個正方形 ABDE和ACGF，點P為BC的中點，連接PA交EF于點Q . 探究AP與EF的數(shù)量關系和位置關系.（證角相等方法）【練2】如圖，在 ABC中，CD AB

8、, BAD BDA , AE是BD邊的中線.求證：AC 2AE【例5】如圖所示，在 ABC中，AB AC，延長AB到D，使BD AB , E為AB的中點，連接CE、CD , 求證CD 2 EC .【練1】已知 ABC中，ABAC， BD為AB的延長線，且 BD求證：CD 2CEAB，CE為 ABC的AB邊上的中線.【練2】如圖,CB、CD分別是鈍角 AEC和銳角 ABC中線 且AC=AB, / ACB= / ABC.求證CE=2CD.【例16】如圖，兩個正方形 ABDE和ACGF，點P為BC的中點，連接 PA交EF于點Q.探究AP與EF的數(shù)量關系和位置關系（倍長中線與手拉手模型綜合應用）FB【

9、練1】已知：如圖，正方形 ABCD和正方形EBGF，點M是線段DF的中點試說明線段 ME與MC數(shù)量關系和關系.如圖，若將上題中正方形EBGF繞點B順時針旋轉 度數(shù)（90 ），其他條件不變，上述結論還正確嗎？若正確，請你證明；若不正確，請說明理由全等之截長補短： 人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質，這一性質在 許多問題里都有著廣泛的應用 而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法（把長邊截成兩個短邊或把兩個短邊放到一起； 出現(xiàn)角平分線進行翻折；有具體角的度數(shù)說明要求角的度數(shù)，進而得到角相等，全等）【例10】如圖所示,ABC 中，C900, B 450 , AD 平

10、分 BAC 交 BC 于 D。求證：AB=AC+CD?！揪?】如圖所示，在ABC 中，B60 , ABC的角平分線AD、CE相交于點0。求證:AE+CD=AC?！揪?】已知ABC 中，A 60 , BD、CE分別平分 ABC和 ACB , BD、CE交于點O，試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關系，并加以證明.【練2】如圖，在四邊形ABCD中,AD / BC,AB=AD+BC.AE平分/ BAD交DC于點E，連接BE,且AE丄BE,求證:【練3】已知：如圖，在 ABC中，/A=90 , AB=AC , BD是/ ABC的平分線。求證： BC=AB+AD.【例11】已知如圖所示, 適用）【練1】如圖，

11、在 ABC中，AB = AC , BD丄AC交AC于點D .求證:1/ DBC = - Z BAC .2【例12】如圖所示，已知BAP BCP 1800。A12 , P 為 BN 上一點，且 PD BC 于 D , AB+BC=2BD，求證:【練4】點M , N在等邊三角形 ABC的AB邊上運動，BD=DC，/ BDC=120 ，/ MDN=60 ，求證 MN=MB+NC .在厶ABC中,AD是角平分線，且AC=AB+BD,試說明/ B=2 / C （不只是邊，倍角也【練1】如圖，在四邊形 ABCD中, BO BA, AD = CD, BD平分 ABC ,求證： A C 1800C【例13】如

12、圖所示，在RtABC 中，AB=AC , BAC900ABD CBD , CE垂直于BD的延長線于E。求證:BD=2CE?！揪?】已知：如圖示，在 是/ ABC的平分線求證:Rt ABC 中，/ A=90。，/ ABC=2 / C, BD【練2】如圖所示，在 ABC中， ABC 900 , AD為BAC的平分線,C =300, BE AD 于 E 點,求證：AC-AB=2BE?！揪?】正方形ABCD,E是BC上一點，AE EF交/ DCH的平分線于點 F，求證AE=EF【練4】已知在 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F,且DF=EF，求證: BD=CE【例

13、14】如圖所示，已知 AB/CD， ABC, BCD的平分線恰好交于 AD上一點E,求證：BC=AB+CD ?！揪?】如圖，已知AD / BC,/ PAB的平分線與/ CBA的平分線相交于 E, CE的連線交AP于D .求證:AD+BC=AB【練2】如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分/ DAE，求證：AE=EC+CD .【練3】在厶ABC中，AD是BC邊上的高，/ B=2 / C.求證:【練4】如圖所示,在三角形 ABC中，/ ACB=90 ,AC=BC,D為三角形 ABC外一點，且AD = BD,DE丄AC交AC的延長線于點 E.試探求ED、AE和BC

14、之間有何數(shù)量關系EAF ,【練5】在四邊形 ABCD中，AB / DC E為BC邊的中點，/ BAE= /AF與DC的延長線相交于點 F。試探究線段 AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論A【例15】如圖在 ABC中，ABAC, / 1 = Z 2, P為AD上任意一點，求證： AB-AC PB-PCA12PBCAMB , AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于F .A【練1】已知AM為 ABC的中線, 求證：BE CF EF .如圖，E是 AOB的平分線上一點,EC OA , EDOB，垂足ADB為 C、D。求證：(1) OC=OD ;(2) DF=CF。構造等邊三角形1、如圖,已

15、知 ABC中,AB=AC,D是CB延長線上一點,/ ADB=60 , E是AD上一點，且有DE=DB. 求證：AE=BE+BC.2、在等腰 ABC中，AB AC，頂角 A 20，在邊 AB上取點D，使AD BC，求 BDC .練習1、如圖，在 ABC中，/ ACB=90 ,BE平分/ ABC,DE丄AB于D,如果 AC=3cm,那么AE+DE等于A、2 cmB、3cmC、4cmD、5cm練習 2、在厶 ABC 和厶ABC中,AB=AB,AC=AC,點 D,D分別是 BC,BC 的中點，且 AD=AD,證明:ABCabc.(倍長中線)練習3、如圖，在 ABC中，BE是/ ABC的角平分線，AD丄

16、BE,垂足為 D，求證:練習4、如圖(1)，已知 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC , AE是過 A的一條直線，且 B、C在A、E 的異側，BD丄AE于D, CE丄AE于E(1 )試說明：BD=DE+CE .(2) 若直線AE繞A點旋轉到圖(2)位置時(BD V CE),其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？ 請直接寫出結果；(3) 若直線AE繞A點旋轉到圖(3)位置時(BD CE),其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？請直接寫出結果，不需說明理由.如圖所示，在 Rt ABC中，AB = AC，/ BAC = 90 ，有過A的任一條直線 AN , BD丄AN于D, CE

17、丄AN（思路：截長補短法），且/ ABD=60,BD+DC=AB.求證：/ ACD=60.（截長補短）1、如圖，等腰直角 ABC與等腰直角 BDE , P為CE中點，連接PA、PD .探究PA、PD的關系.（輔助線的連法都一樣）E90 ），其他條件不變，上述結2、已知：如圖，正方形 ABCD和正方形EBGF，點M是線段DF的中點試說明線段ME與MC數(shù)量關系和關系（輔助線的連法都一樣）如圖，若將上題中正方形 EBGF繞點B順時針旋轉 度數(shù)（ 論還正確嗎？若正確，請你證明；若不正確，請說明理由3、已知AM為 ABC的中線， AMB，AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于F .求證：BE CF EF .（輔助線的連法都一樣）A【閱讀理解】已知：如圖1 ,等腰直角三角形 ABC中，ZB=90 ,D是角平分線，交BC邊于點D .求證：AC=AB+BD證明：如圖1，在AC上截取 AE=AB，連接DE,則由已知條件易知： RtZADB呂RtKDE （AAS ）JAED= ZB=90 ,DE=DB又vJC=45 ,.DEC是等腰直角三角形.DE=EC .AC=AE+EC=AB+BD【解決問題】已知，如圖2，等腰直角三角形 ABC中，/B=90 ,AD 是ZBAC的平分線，交 BC邊于點D , DE丄 AC ,垂足為E,若AB=2，則三角形DEC的周長為.【數(shù)學思考】：現(xiàn)將原題中的“