2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)及答案解析

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）理科數(shù)學(xué)答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用 條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將 本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.（5 分）設(shè)集合 A= - 1, 1, 2, 3, 5, B= 2 , 3, 4 , C= xC R|1 Wxv3,則（An。UB=（）A. 2B. 2, 3C. - 1, 2, 3 D. 1 , 2, 3, 42.（5分）設(shè)變量x, y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z= -

2、 4x+y的最大值為A. 2B. 3C. 5D. 6第3頁(yè)（共17頁(yè)）3. （5 分）設(shè) xC R,貝 U “ x2 5x0, b0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|=4|OF （O為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A.2B.:;C.2D. R6. （5分）已知 a= log 52, b= log 0.50.2 , c=0.50.2,則 a, b, c 的大小關(guān)系為（）A.avcvbB.avbvcC.bvcvaD. cvavb7. （ 5 分）已知函數(shù) f （x） = Asin （ w x+（） （A0, w 0, |（）| 0在R上恒成立，則a的取值范圍為（）A. 0 , 1B, 0

3、 , 2C. 0 , eD, 1 , e二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9. （5分）i是虛數(shù)單位，則|老二L|的值為1+1 10. （5分）（2x-） 8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 .8 k311. （5分）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為 微的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為 后 若圓柱的一個(gè)底面 的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱 的體積為.（0為參數(shù)）相切，則 a的 y=l+ 2sin 9值為.13. （5分）設(shè)x0, y0, x+2y=5,則史也於”LL的最小值為 .14. （5 分）在四邊形 ABC珅，AD/ BC AB= 2/3, AD= 5,

4、/ A= 30，點(diǎn) E在線段 CB的 延長(zhǎng)線上，且 AE= BE,則曲?亞=.三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15. （13分）在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c = 2a,3csin B= 4asin C.（I ）求cosB的值；（n）求 sin （2B+-2L）的值.616. （13分）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7: 30之前到校的概率均為 二.假定甲、乙3兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（I）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7: 30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（

5、n）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在 7: 30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多 2”，求事件M發(fā)生的概率.17. （13 分）如圖，AEX平面 ABCD CF/ AE AD/ BC ADLAR AB= AD= 1, AE= BC= 2.（I）求證：BF/平面ADE（n）求直線 CE與平面BDE成角的正弦值；（出）若二面角 E- BD- F的余弦值為一,求線段CF的長(zhǎng).EB18. (13分)設(shè)橢圓2 +L bZ=1 (ab0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)(I)求橢圓的方程;(n)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓白上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y

6、軸的負(fù)半軸上.若|ON = |OF (O為原點(diǎn))，且OPL MN求直線 PB的斜率.19. (14 分)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知 ai=4, bi = 6, b2=2a -2, b3=2a3+4.(I)求an和bn的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)數(shù)列c n滿足c1= 1, Cn=,其中k e n .人，口二 2、(i )求數(shù)歹U a2T. (c?r. T) 的通項(xiàng)公式；*(ii )求工 ac (n C N ).i=l20. (14 分)設(shè)函數(shù) f (x) = excosx, g (x)為 f (x)的導(dǎo)函數(shù).(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng) xe 烏，?時(shí)，證明 f (x) +g (x

7、)(烏x) 0； 422(出)設(shè)xn為函數(shù)u (x) = f (x) - 1在區(qū)間(2njt +-, 2n兀Q-)內(nèi)的零點(diǎn)，其中42n-2nJVnC N, 證明 2nTt+-_xn-： .2 sinX|-)-cos Xq2019年天津市高考數(shù)學(xué)（理科）答案解析一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 【分析】 根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求 An C,再求（An。u B；【解答】 解：設(shè)集合 A= 1, 1, 2, 3, 5, C=xC R|1 Wxv3,則 An C=1 , 2,- B= 2, 3, 4, （An C U B= 1 , 2 U 2 , 3, 4 = 1 ,

8、 2, 3, 4;故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).2 【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【解答】解：由約束條件上）T,作出可行域如圖:聯(lián)立 J kT ，解得 A （ 1, 1）,化目標(biāo)函數(shù)z= - 4x+y為y= 4x+z,由圖可知，當(dāng)直線y = 4x+z過(guò)A時(shí)，z有最大值為5.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.3 .【分析】充分、必要條件的定義結(jié)合不等式的解法可推結(jié)果2【解答】 解：: x - 5x 0,0x 5,., | x- 1| 1,

9、0x2,0vxv5 推不出 0vxv 2,0V x2? 0x5,，0vxv5是0vx0, b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn) A和點(diǎn)B,且|AB = 屋b24|OF (O為原點(diǎn))，|AB=j-, |OF = 1, 皿二4，b=2a,aac = da，b2=眄d，雙曲線的離心率為 e=-/ri.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查拋物線、雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.第5頁(yè)（共17頁(yè)）6 .【分析】 本題先將a、b、c的大小與1作個(gè)比較，發(fā)現(xiàn)b1, a、c都小于1.再對(duì)a、的表達(dá)式進(jìn)行變形，判斷 a、c之間的大小.【解答】解：由題意，可知：a=

10、 log 52V 1,=log 25 log 24= 2.c= 0.5 0.2 v 1,，b最大，a、c都小于1.而 log 25log 24= 2 77,a c,a c0恒成立；當(dāng) x1 時(shí)，f (x) = x2 - 2ax+2a0? 2ad一恒成立，x-11 - x+L_ l-x令 g (x) =-= -(1-kT2 = -(1、產(chǎn)2)+1 =- x-l| 1-x1-x1-x2)2W+)-2)=0,-2ag (x) max=0,a0.當(dāng) x1 時(shí)，f (x) = x- alnx 0? aw 一 恒成立,Inx_n工-K工1令 h (x) =,則 h ( x) =_= _Lnx-,lnx(I

11、n工產(chǎn)ClnK )21當(dāng) xe時(shí)，h (x) 0, h(x)遞增，當(dāng) Ivxve 時(shí)，h (x) 0, h(x)遞減，x=e時(shí)，h (x)取得最小值 h (e) = e,a0, y0, x+2y=5,CxH)(2y+l) 2xy+ic42y+l 2xy+6= 4/3；時(shí),由基本不等式有:當(dāng)且僅當(dāng)2%上 =即：xy = 3, x+2y= 5 時(shí),即:=3日戈二23時(shí)；等號(hào)成立,y 2G+l)(2y+l)Vxy的最小值為故答案為：4 ；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題.14【分析】 利用 標(biāo)和亞作為基底表示向量 而和豆，然后計(jì)算數(shù)量積即可.【解答】解：= AE= BE AD

12、)/ BC /A= 30 ,，在等腰三角形 ABE中，/ BEA= 120。，又 AB= 2/3,AE= 2,AE-AB+BE,皿二AB4AD5又 BD=B h+AD =-AB + AD,（-凝十部）（前咯元）第9頁(yè)（共17頁(yè)）故答案為：-1.本題考查了平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是選好基底，屬中檔題.三、解答題:本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15.【分析】（I ）根據(jù)正余弦定理可得;（H）根據(jù)二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得.【解答】解（I）在三角形 ABC4由正弦定理,得 bsin C= csin B,又由7: 30之前到校的概3cs

13、in B= 4asin C,得 3bsin C= 4asin C,即3b=4a.又因?yàn)閎+c=2a,得b=4a3包，由余弦定理可得32 16 2cos B=-J2ac(n )由(I)得 sin B=cu=sin2 B= 2sin BcosB= 8cos2 B= cos2B- sin 2E=-,8故 sin (2=sin2 Bcos6152+cos2Bsin = 63/5+716【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.屬中檔題.7: 30之前到校的概率均16【分析】（I）甲上學(xué)期間的三天中到校情況相互

14、獨(dú)立，且每天為一，故XB （今，可求分布列及期望;（II ）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7: 30到校的天數(shù)為 Y,則YB (3,)，且 M= XY= 0互斥，且X= 3與=3, Y= 1 UX= 2, Y= 0,由題意知X= 3, Y= 1與X= 2,Y= 1 , X= 2與Y= 0相互獨(dú)立，利用相互對(duì)立事件的個(gè)概率公式可求【解答】解：（I ）甲上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天 第11頁(yè)（共17頁(yè)）率均為一，3故 XB (3,),3從而P (X= k)=.4)上(打Rk,k = 0, 1, 2, 3.第15頁(yè)(共17頁(yè))所以，隨機(jī)變量 X的分布列為:隨機(jī)變量X的期望E (X) = 3X=

15、2.(II )設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7: 30到校的天數(shù)為 Y,則YB (3,且 M= X= 3, Y= 1 UX= 2, Y= 0,由題意知X= 3, Y= 1與X= 2, Y= 0互斥，且 X= 3與Y= 1 , X= 2與Y= 0相互獨(dú)立,由(I )知，P (MD = P (X= 3, Y= 1 UX=2, Y= 0 = P (X= 3, Y= 1+PX= 2, Y =0=P (X= 3) P (Y= 1) +P (X= 2) P (Y= 0)-占=誓:27927 243【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算概率公式解決實(shí)際問(wèn)

16、題的能力.17.【分析】(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A, AD,正所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得A, B, C,D, E的坐標(biāo)，設(shè)C曰11g0),得己1,2,2.可得靛二(1, 0, 0) 是平面ADE勺法向量，再求出 加二(Q, 2/ h)，由麗熊二0,且直線BF?平面ADE得 BF/平面 ADE(n)求出 而二(-1, -2, 力,再求出平面BDE勺法向量，利用數(shù)量積求夾角公式得直線CE與平面BDE成角的余弦值，進(jìn)一步得到直線CE與平面BDE成角的正弦值；(出)求出平面BDF的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為 卷列式求線段CF的長(zhǎng).【解答】(I)證明：以 A為坐標(biāo)

17、原點(diǎn)，分別以 麗, 正所在直線為x, v, z軸建立 空間直角坐標(biāo)系，可得 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1, 2, 0), D (0, 1, 0), E (0, 0, 2).設(shè) C曰 h (h0),則 F (1, 2, h).,可得而- AB-O.(n)解：依題意,則亞二(1, Q, Q)是平面ADE勺法向量，又麗=(O, 2, h) 又直線 BF?平面ADE，BF/平面 ADE麗二(-l, 1,。 麗二(-L 0, 2)，=(T, -2, 2)設(shè)=G, y( )為平面BDE勺法向量,n BD=r+產(chǎn) 0nBE=-w+2z=0,令 z=1,得向2,cos =CE

18、p n _ jl ICE I-In,取 y= 1,可得 mF (1 . 1, y-),經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.直線CE與平面BDE/f成角的正弦值為 (出)解：設(shè) 層a, y, w)為平面BDF勺法向量, 則一I m 即=2y+hE.線段CF的長(zhǎng)為二.7【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解線面角與二面角的大小，是中檔題.18.【分析】(I)由題意可得 b= 2,運(yùn)用離心率公式和 a, b, c的關(guān)系，可得a, c,進(jìn)而得到所求橢圓方程；(n) B (0, 2),設(shè)PB的方程為y=kx+2,聯(lián)立橢圓方程，求得 P的坐標(biāo)，M的坐標(biāo)，由OPL MN運(yùn)用斜

19、率之積為-1,解方程即可得到所求值.【解答】 解：(I)由題意可得 2b=4,即b=2, e=a2-b2=c：a 5解得 a=, c= 1,可得橢圓方程為(n) B (0, 2),設(shè) PB的方程為 y= kx+2,代入橢圓方程4x2+5y2=20,可得(4+5k2) x2+20kx = 0,解得x= - 2延或x= 0,升5 k 2即有P(一事,女咚，升5/4+5y= kx+2,令 y= 0,可得 M (一$ 0),又 N (0, - 1), OPLMN可得MT。J ?_ = 1,解得卜=土 空，-20 k Zl5k可得PB的斜率為土生畫(huà).5 |【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓

20、方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.19【分析】(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,利用等差數(shù)列、 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，能求出an和bn的通項(xiàng)公式.(n ) (i)由a”，(c-1) = a2. ( bn T),能求出數(shù)列鼻”(c” - 1) 的通項(xiàng)公式.2力豆(ii ) V a g = ai +ai (ci T)= 1=11=1n.x3)+v (qxT),由此能求出結(jié)果. i=i【解答】解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q, 依題意有：6*6 4 2d26q =12+4d，an=4+ (n1) x 3= 3n+1,bn=6x 2

21、n1= 3X 2n.Cn =(n) (i) .數(shù)列Cn滿足 C1 = 1,I ：*其中ke N.p n二a2n(bn1) = (3X2n+1) (3X2n 1) =9X4n1,數(shù)列a.(c2t. - 1) 的通項(xiàng)公式為:Ra 二:二G T ) = Vi=l=(2nx 4+)nX3) +_=-=(3X22nT+5X 2n-1) +9x4( D 1-4= 27 X 22n+1+5X2n 1-n-12. (neM).【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.20【分析】(I)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng) xe(2k兀4工)(

22、kez)時(shí),(x) 0, f (x)單調(diào)遞增;x),依題息及(I)，得到g (x) = e(cos x 、一,7T(n)圮 h (x)=f(x)+g(x) (-sinx),由 h (x) 7T2=f ()=0,從而得到當(dāng)x 一 兀時(shí)，f (x) +g (x)(x) 0;(出)依題意，u ( xn) = f (xn) 1=0,即(2L, _ZL),且 f (yn) = e-2n (xC N).由 f (yn) = e-2n yo,由(n)知，當(dāng)xe ,2-)時(shí)，g (x)在-,2L上為減函數(shù)，有 g (yn) 4242Wg (y0) g ( . ) =0,又由(口)知，+ 后/丘)( ,得2 目 晨叫g(shù)(%) 式嚙 | eyc(smyD-cosy0) sin-COSK0IT女匹從而證得2n兀+-Xn2 sinK0-cos s0【解答】（I）解：由已知，f