導(dǎo)數(shù)討論含參單調(diào)性習(xí)題(含詳解答案)

1、6 已知函數(shù) f x ax ln x, F xex ax，其中 x 0, a 0. m(x + n f(x) - lnxTg(x) =m 0) 1 設(shè)函數(shù)x T. (1) 當(dāng)m = l|時(shí)，函數(shù)訂(刈與 =創(chuàng)刈在1處的切線互相垂直，求n的值； (2) 若函數(shù)“儀卜創(chuàng)對(duì)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求 m-n的取值范圍； 2a 3K x f(T 他 M f() ，由此即可求出結(jié)果. ，可得 h(x = flJ-fle*) + 1 h(x) = aln2a - minx - a + k(x) = aln2a - minx亠 a + x a k (x)=- ax +1 0 且k（x） = O在區(qū)間 + T內(nèi)必存

2、 % = 0 ，可得 1 lnxQ = + In2a -1 ，所以 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減, 在實(shí)根，不妨設(shè) 2 ，（*），則|在區(qū)間卜汽；內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū) = 0 答案第2頁，總18頁 h(xJ = ax + axn 使 0 - 1 h(x0) = axD + 對(duì)任意正實(shí)數(shù)W恒成立，即要求 axo ，將（*）式代入上式，得 恒成立，然后再 2a旳x f(T 他“耳一) 得*2a =叫-l) ln2a-(ax0-1 卜In冷 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果. 試題解析： 、1 - n B(x)= - (i)， 4 1 1- n f(廿 1 x 1=-1 由 X ，得 ， 4，., = 5 -在卜

3、嚴(yán):處的切線斜率 易知函數(shù)滬f何詢劉的定義域?yàn)?0,+ )， 1 2* + 2 - m(l - n) + - I 1 m(l - n) x + (2 - m(l - n)x +1x 31 (X + I1 x(x + 1) (x + 112 1 K + 2 - m|l n) + 由題意，得 )， 的最小值為負(fù), k(x) = aln2a - alnx- a + x a 1 ax k (x)= 0 在區(qū)間：.內(nèi)單調(diào)遞減，且 內(nèi)必存在實(shí)根，不妨設(shè) k(xD = aln2a alnx a += 0 % ，可得 1 lrx0 =+ In2a aKo ，(*) 則卜在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減,

4、 本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考 =MkJ h(K0) = (ax0 - 1)-In2a -(壯-1)1 將(*)式代入上式，得 h(xJ = ax0 +2 % ；(2) 答案第3頁，總18頁 恒成立, ,存在滿足條件的實(shí)數(shù) ，且 1 1 嚀-22 axo = 又 % ，當(dāng)且僅當(dāng) 根據(jù)題意 ，取等號(hào), 1 1 T In = In2a 暫代入(*)式，得 a =2a 即 點(diǎn)睛:對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，可以求函數(shù)最值 的方法，一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔 助函數(shù)(刈，利用恒成立 ；恒成立卜以心丁彳

5、，即可求出參數(shù)范 2. (1)當(dāng) 時(shí)，在* 8) 上為減函數(shù)；當(dāng)d 時(shí)， 的減區(qū)間為 ，增區(qū) 間為a ;(2)證明見解析；(3) 一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析 【解析】 試題分析：(1)討論函數(shù)單調(diào)性，先求導(dǎo) , 辦 1 ax-1 一- x x x ，當(dāng)no時(shí)町uo,故儀)祖a +網(wǎng) 上為減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，解可得 ，故.的減區(qū)間為 (0/-) ，增區(qū)間為日 根據(jù)2-J + ，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)h(x)= 時(shí)，所以 hhWf-X是增函數(shù)，A亡-亡AO，得證；(3)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要研究函 本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考 數(shù)的增減性及極值端點(diǎn)，由(1)可知，當(dāng)|a 時(shí)，臥町是先減再增的函

6、數(shù)，其最小值為 I 1 1 1 gH = aln- + a = a(ln- + 1) 0,g(e 0) 0，且 -a 1； e - 1(Oi -)(-+ 當(dāng)b時(shí)，解飢町可得日，故霞刈的減區(qū)間為日，增區(qū)間為a (2)j 士卡，設(shè) h町=，則 hx) = eK - 2k， 易知當(dāng)卜寸時(shí)， 卜工;一h : r. 匚. (3 )由(1)可知，當(dāng) 時(shí)，陳寸是先減再增的函數(shù)， r 111 g(_) = mln- + 5 = a(ln- + 1) 0 e _0, g(e a)0,且 a，故貳刈恰有兩個(gè)零點(diǎn)5勺， .當(dāng)k F (6 xj時(shí)，*(町二專.當(dāng)k儀叫)時(shí)，f(x二gMvD .當(dāng)疋丘儀嚴(yán)時(shí), W =

7、g(x)0 答案第22頁，總18頁 在兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，且 1 = (ax. + llnx. - ax_ + 3 = lnxn + + 2 11111 Inx, .Inx1 Orf(x) = a(x - -) - 4lnV(x) = al + -)-= 試題解析：（1）由題 xv2 x 當(dāng)葉0時(shí)，知f（x）0,則仙是單調(diào)遞減函數(shù); 當(dāng)卜“時(shí)，只有對(duì)于 “，不等式 0醞+ 4沁0恒成立，才能使 於）為單調(diào)函數(shù)，只需 “丄曲役0，解之得。壬1或1，此時(shí)比1. 綜上所述，的取值范圍是J ：，： -7 h bb * x2 + t)K + b f(x) = bhx - x - x0J (x)

8、= -1 + =- v 2 2 (2)冥 ，其中 b1 f(刈中砒=f(e) = b-i e * - = (1 -)b - e +. b2 + 4b (,心 2 + 0 - 71 取大值 b + b2 + 4b 若2 即 2 e O e2+l b + 4b e 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù), 24 b b e - - 0, ee b 一 二, I eJ-eZ I2 e ( i b 2b- e 0, b . 2 皀 ，所以 2ez-l 要使在 則 恒有節(jié)八門恒成立，則必有 由于 - l) = e3*3e? + 1 e -1 / J e b E （，+ g） 綜上所述，存在實(shí)數(shù)i 1，使得f刈0恒成

9、立. 【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題： （1 ）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題； （2 ）若 -就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 咽加，若偵“恒成立 （3 ）若ff（X）g（X）恒成立，可轉(zhuǎn)化為f（心in肌. 4. ( 1)當(dāng)莖 時(shí)，辰在 遞增； （2）見解析. 【解析】試題分析 -白-肘-2 _a + va-2 _a_Ja2-2 t + 占一2 Ir1 2 2 上單調(diào)遞減，在2 上單調(diào) ”二“時(shí)，-在區(qū)間匕“叱上單調(diào)遞增; （1 ）先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點(diǎn)情況，本題實(shí)質(zhì)研究 二西+2ax + l在（-比+網(wǎng)）上零點(diǎn)情況：當(dāng)方程無根

10、時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)相等 實(shí)根時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，比較兩根與定義區(qū)間之間關(guān)系，再確定 單調(diào)區(qū)間，（2）先由（1 ）知 ，且兩個(gè)極值點(diǎn) 滿足 1 Xh + X, =-=- 孔再代入化簡 fi: 2 ) Ina - 得4 1 m2 -+ 0 2 2 ,利用導(dǎo)數(shù)研究 a1 In2 h=-Ina - - + 422單調(diào)性，最后 根據(jù)單調(diào)性證明不等式 試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?1 2x + 2ax+ 1 g(x) = 2x + -=- 記皿刈=*仃2白）（+1，判別式心=4亠8 時(shí), 恒成立，汕 ，所以：在區(qū)間 上單 調(diào)遞增 ，記 ：心有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 ，顯然 a

11、 (i)若 0 0j3,曲xT 圖象的對(duì)稱軸2= 1 0. 兩根在區(qū)間(0,-a)上,可知當(dāng)x-0時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(劉Ah制0,所以g(x)0 , 所以 在區(qū)間計(jì)上遞增. a (ii)若“總，則hb) = 2 J + 2ax + 1圖象的對(duì)稱軸 x =- - 0 ，、：”-:.-:.，所以 叫丑，當(dāng)叫 從9時(shí)，h兇co,所以g(x)0,所以徵)在(盼上單調(diào)遞增 綜上，當(dāng) 於沁時(shí)，-沒有極值點(diǎn)，當(dāng) dh寸，：有兩個(gè)極值點(diǎn)，且 ln(x 十 a) = a -1 - In2 2 S(Ki)+ g(*J a1- 1-In2 十呂儀J =: + IM 十 a) + k2 + 2 a a a -

12、.1 = g( -) = + 1- 242 a*1 In2 h二Im - + 422 g%* 酣Jxi + x2a21 In2 劇)=Ina - - + 2242 2 a 1 a -2 hg = =o 2 a 2a ，所以 世司在時(shí)單調(diào)遞增, L 2r 1 In2 h(J2) = - lnJz- + -=0 422 ，所以 ：， 所以 g() 2 5. ( 1); (2); (3)詳見解析. 【解析】 試題分析：(1)根據(jù)奇函數(shù)定義可得lrteK + =* 0對(duì)冬1恒成立，再根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性可得只需端點(diǎn)處函數(shù)值非負(fù) In* f Jk)= 即可，解不等式組可得T的取值范圍(3)研究方程根的個(gè)數(shù)

13、，只需轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù) X， =x -十 m 交點(diǎn)個(gè)數(shù) Inx 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)K圖像，再根據(jù)二次函數(shù) 試題解析： (1)1門二是奇函數(shù)，貝則.比7；恒成立, 上下平移可得根的個(gè)數(shù)變化規(guī)律 f - KX tW武X 24 怛 + a)(e + a) - 1，即 1 + ae +ae + a = 1 (2)由(1) 知fW = *，.g(Jt) = Xx + Sinx I r _ CO$x 又T在I ：l上單調(diào)遞減， i h i： ， If JI I 且月對(duì)-處i】恒成立, 即帯煮對(duì)恒成立, /在上恒成立， - k - Bnl+ kt + 1 ， 即W+iR+dm +1芒o對(duì)入寧恒成立， t+10

14、 令h(町=|t + 1|入十卡sinl + 1(入牛 1)， 1 + t2 + 5inl 豐 1 2 t。恒成立， Inx 2 =x *+ m （3）由（1 ）知，方程為 當(dāng)卜三黝臨時(shí)， 在算吋上為增函數(shù); 當(dāng)xe*網(wǎng)）時(shí)，.1兇在|上為減函數(shù); 當(dāng)時(shí)，以* = f 陰=，而 Mx） = lx-e）2 + meJ， .函數(shù)fjx）、fx）在同坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示， 7 1 0 7 1 me2 + - 當(dāng) I 1 m * e - e ，即 ? 1 m * e - e ，即 當(dāng) 當(dāng) 即 2 1 m 0,所以 x xex ex 2 a 0，為了求a的范圍，所以需要求 xex ex的范圍，可通過

15、求導(dǎo)數(shù)，根據(jù) 單調(diào)性來求它的范圍，求得范圍是xex ex1，所以2-a 1，所以求得a的范圍 試題解析：(1)當(dāng) a=-1 時(shí)，f(x)=e X-x+2，f (x) ex 1， 令f (x)0 x0;令f (x)0 x0 因?yàn)閤 1,1,所以f(x)在1, 0單調(diào)遞減；f(x)在0，1單調(diào)遞增。 f最小值 (x)=f(0)=1 x (2) f (x) e a 當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)閤 ，ex 1，所以f ,(x) ex a 0恒成立， 函數(shù)f(x )在(0,+ )上單調(diào)遞增 當(dāng) a1 時(shí)，即 ln( a) 0，令 f ,(x) 0 x ln( a), 令f，(x)0 x ln( a), 因?yàn)閤 0 f(x)在(0,1門(a)上單調(diào)遞增,在(ln( a)，+ )上單調(diào)遞減。 綜上所述：(1當(dāng)a -1時(shí)，函數(shù)f (x)在(0,+ )上單調(diào)遞增 (2) 當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,ln( a)上單調(diào)遞減，在|n a 單調(diào)遞增 (3) 花必 (0,),且為 X2,都有X2 f(xj a % f(X2)a 成立， 即空上L2成立， x1x2 f (x) a 構(gòu)造函數(shù) h(x)-, x1 x2都有