排列組合和排列組合計算公式

1、名師推薦精心整理學習必備排列組合公式/排列組合計算公式排列P-和順序有關(guān)組合C不牽涉到順序的問題排列分順序，組合不分例如 把5本不同的書分給3個人，有幾種分法.排列把5本書分給3個人，有幾種分法組合1.排列及計算公式從n個不同元素中，任取m(mc n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個排列；從不同元素中取出m(mcn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 p(n,m)表示.p(n ,m)=n(n-1)( n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!( 規(guī)定 0!=1).2 .組合及計算公式從n個不同元素中，任取 m(mcn)個

2、元素并成一組，叫做從個不同元素中取出 m個元素的一個組合；從 n個不同元素中取出m(mc n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)； c(n,m)=c(n,n-m);3 .其他排列與組合公式從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)=p（n,r）/r=n!/r（n-r）!.n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是 n1,n2,nk這n個元素的全排列數(shù)為n!/(n1!* n2!* nk!).k類元素，每類的個數(shù)無限，從中取出m個元素的組合數(shù)為 c(m+k-1,m).排列（Pnm（n為下標，m為

3、上標）Pnm=n(n-1 ) . (n-m+1 ) ; Pnm=n ! / (n-m )!(注:!是階乘符號）；Pnn （兩個n分別為上標和下標） =n ! ; 0!=1 ; Pn1 （n為下標1為上標）=n組合（Cnm（n為下標，m為上標）Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n ! /m!( n-m )!; Cnn (兩個 n分別為上標和下標）=1 ； Cn1（n為下標1為上標）=n ；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30尸r卄!L -TTC； - w公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N-元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)!-階乘

4、，如9!= 9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個，表達式應(yīng)該為n* （n-1）*（n-2）.（n-葉1）;因為從n到（n-r+1）個數(shù)為n( n-葉1) = r舉例:Q1:有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)?A1:123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于“排列 P計算范疇。上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式=P （3, 9）=9*8*7,（從9倒數(shù)3個的乘積）Q2:有從1到9共

5、計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”？A2:213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C計算范 疇。上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復的個數(shù)即為最終組合數(shù)C（3,9）=9*8*7/3*2T排列、組合的概念和公式典型例題分析例1 設(shè)有3名學生和4個課外小組.（1）每名學生都只 參加一個課外小組；（2）每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?種不同方解(1)由于每名學生都可以參加 4個課外小組中的 任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有 法

6、.(2)由于每名學生都只參加一個課外小組，而且 每個小組至多有一名學生參加，因此共有種不同方法.故兩問都不排第l=f的方點評 由于要讓3名學生逐個選擇課外小組, 用乘法原理進行計算.例2排成一行，其中不排第一，不排第二, 三，不排第四的不同排法共有多少種？解依題意，符合要求的排法可分為第一個排的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖” 式逐一排出：符合題意的不同排法共有 9種.點評 按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理.為 把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做 法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學模型.例3 判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出 結(jié)果.(1)高三年

7、級學生會有11人：每兩人互通一封信，共 通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年級數(shù)學課外小組共 10人：從中選一名正組 長和一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選2名參加省數(shù)學競賽，有多少種不同的選法？(3)有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19八個質(zhì)數(shù)：從中 任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積?(4)有8盆花：從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆， 有多少種不同的選法？從中選出 2盆放在教室有多少種不同 的選法？分析 (1)由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲 的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排

8、列；由于每兩人 互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序 無關(guān)，所以是組合問題.其他類似分析.(1)是排列問題， 手(次).共用了 封信；是組合問題，共需握(2) 題，共有是排列問題， 種不同的選法.(種)不同的選法；是組合問(3)是排列問題， 有種不同的積.種不同的商；是組合問題，共(4)是排列問題，共有 共有種不同的選法.種不同的選法；是組合問題，證明左式右式.等式成立.點評這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的 形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡化.例5化簡.解法一原式解法二原式點評解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個性

9、質(zhì)，都使變形過程得 以簡化.例6解方程：(1) ;(2).解(1)原方程(2)原方程可變?yōu)樵匠炭苫癁?即，解得第六章排列組合、二項式定理、考綱要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些 簡單的問題.2. 理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和 組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題.3. 掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論 證一些簡單問題.、知識結(jié)構(gòu)三、知識點、能力點提示（一）加法原理乘法原理說明加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù).例1報一所，5位高中畢業(yè)生，準備報考 不同的報

10、名方法共有多少種3所高等院校，每人報且只5個學生中每人都可以在 名，因而每個學生都有3種不同的 得到不同報名方法總共有解:3所高等院校中任選一所報 報名方法，根據(jù)乘法原理，3X 3X 3X 3X 3=3 5（種）（二）排列、排列數(shù)公式排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學代數(shù)中 較為獨特，它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面掌握 的知識不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考 查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查 .說明例2 由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其 中小于50 000的偶數(shù)共有（）A.60 個個B.48 個D.24 個C.36解于50 000的五

11、位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的 排法有P13；在首末兩位數(shù)排定后，得 P13P33P12= 36（個）因為要求是偶數(shù)，個位數(shù)只能是 2或4的排法有P12；小中間 3個位數(shù)的排法有F33,由此可知此題應(yīng)選 C.例3 將數(shù)字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不同 的填法有多少種？ 解： 將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標號與所填的 數(shù)字均不相同的填法有 3種，即214 3, 3142, 4123;同樣將數(shù) 字1填入第3方格，也對應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方 格，也對應(yīng)3種填法，因此共有填法為36=9（種）.例四 例

12、五可能有問題，等思考三）組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個性質(zhì)說明 應(yīng)用題，歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)， 主要考查排列組合的 且基本上都是由選擇題或填空題考查.A.140 種種B.84 種D.35 種C.70其中至）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出 3臺， 少有甲型與乙型電視機各 1臺，則不同的取法共有（C14 C25解：抽出的3臺電視機中甲型1臺乙型2臺的取法有種；甲型2臺乙型1臺的取法有C-C；種 根據(jù)加法原理可得總的取法有 氏汽+氏-5=40+30=70（種） 可知此題應(yīng)選C.例5甲、乙、丙、丁四個公司承包 8項工程，甲公司承包 3項，乙公司承包1項，丙、丁公司各承包 2項，問共有多少

13、種 承包方式？解:甲公司從8項工程中選出3項工程的方式C38種;乙公司從甲公司挑選后余下的 5項工程中選出1項工程的方式有 C15 種； 丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的 4項工程中選出2項工程的方 式有C4種；丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選后余下的2項工程中選出2項工程的方式有C22種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C3 8XC15XC24XC22=X 1=1680(種).(四)二項式定理、二項展開式的性質(zhì)說明二項式定理揭示了二項式的正整數(shù)次冪的展開法則，在數(shù)學中它是常用的基礎(chǔ)知識，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項展開式中通項公式等，題型主要為選擇題或填空題

14、.在(X- )10的展開式中，X6的系數(shù)是(A.-27C61oC.-9C6io4B.27C 10D.9C4io設(shè)(X- )10的展開式中第Y +1項含X6,因 TY +1=CY iox10- Y (- ) Y , 10- Y =6, Y =4于是展開式中第5項含X 6，第5項系數(shù)是C41o(- )4=9C41o故此題應(yīng)選D.235例 7(x-1)-(x-1)+(X-1) -(x-1)+(x-1)的展開式中的X 2的系數(shù)等于解：此題可視為首項為X-1，公比為-（X-1）的等比數(shù)列的前5項 的和，貝y其和為在(X-1) 6 數(shù)是-2 0.中含X3的項是C36X3（-1） 3=-20x 3,因此展開

15、式中X2的系（五）綜合例題賞析423422例 8 若(2x+ ) =ao+a1X+a2X +a3X +a4X ，貝U (ao+a2+a4)-(a 1+a3) 的值為()A.1C.0B.-1D.2解：A.例92名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有（）A.6種種種B.12C.18D.24 種解 分醫(yī)生的方法有 戌=2種，分護士方法有 氏=6種，所以 共有6X 2= 12種不同的分配方法。應(yīng)選B.例10從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出 3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各 1臺，則不同取法共有（）.A.140 種種種B.84C.70 種D.3

16、5解：取出的3臺電視機中，甲型電視機分為恰有一臺和恰有二臺 兩種情形./C24 +戊C14=5X 6+10X 4=70.應(yīng)選C.例11表，至少有某小組共有10名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉1名女生當選的不同選法有()2名代A.27 種種B.48 種D.24 種C.21解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類:VC13 c1 7+C23=3X 7+3=24,應(yīng)選D.由數(shù)學0, 1, 2, 3, 4, 5組成沒有重復數(shù)字的 ).例12數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 (六位A.210 個B.300C.464 個D.600解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個55=600 個.?應(yīng)有P15 P由

17、對稱性，個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六 位數(shù)各占一半.有X 600=300個符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13(以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有).B.64 個A.70 個C.58 個D.52 個解：如圖，正方體有 8個頂點，任取4個的組合數(shù)為C48=70個.其中共面四點分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組; 面的有2組；形如（ADBiCi ）的有4組.構(gòu)成垂直底面的對角二能形成四面體的有 70-6-2-4=58（組）應(yīng)選C.例14如果把兩條異面直線看成“一對”所在的12條直線中，異面直線共有（那么六棱錐的棱）.A.12 對對B.24C.36 對對D.48解：設(shè)正六棱錐為 O- ABCD

18、EF.任取一側(cè)棱 OA（C6）則OA與BC CD DEEF均形成異面直線對.共有C6X4=24對異面直線.應(yīng)選B.例15正六邊形的中心和頂點共 7個點，以其中三個點 為頂點的三角形共 個（以數(shù)字作答）.解：7點中任取3個則有7=35組.其中三點共線的有3組（正六邊形有3條直徑）.二三角形個數(shù)為35-3=32個.例16 設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S其中由3個元素組成的子集數(shù)為T則的值為解io個元素的集合的全部子集數(shù)有:s= cOio+Cio+Cio+eio+Uo+Eo+U 0+cCi0+cCi 0+cCi 0+cCoi0=2 10=1024其中，含3個元素的子集數(shù)有T=C3io=12o例17例17在5o件產(chǎn)品n件是次品，從中任意抽了 5件，至少有3件是次品的抽法共中有4種（用數(shù)字作答）.解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.C34 C 246+C44