最新2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

1、2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征用樣本的數(shù)字特征 估計(jì)總體的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 一一 、復(fù)習(xí)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念、復(fù)習(xí)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念 2、中位數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處 在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均 數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 1、眾數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫 做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)做這組數(shù)據(jù)的

2、眾數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)都是描述一組數(shù) 據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不 同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛. 3、平均數(shù)、平均數(shù): 一般地，如果一般地，如果n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) ，那，那 么，么， 叫做這叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)。個(gè)數(shù)的平均數(shù)。 12 ,., n x xx 12 1 (.) n xxxx n 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 1、求下列各組數(shù)據(jù)的、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)眾數(shù) （1）、）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 眾數(shù)是：眾數(shù)是：3和和8 （2）、

3、）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 眾數(shù)是：眾數(shù)是：3 2、求下列各組數(shù)據(jù)的、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)中位數(shù) （1）、）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位數(shù)是：中位數(shù)是：5 中位數(shù)是：中位數(shù)是：4 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 3、在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的、在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名名 運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆哼\(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?成績(jī)成績(jī)(米米)150160165170175180185190 人數(shù)人數(shù)23234111 分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)

4、，中位數(shù)與平均數(shù)分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù) 。 解：在解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，次，出現(xiàn)的次數(shù)最多， 即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75 上面表里的上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排 列的，其中第列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組 數(shù)據(jù)的中位數(shù)是數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70； 答：答：17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是 1.75（米）、（米）、1.70（米）、（米）、1.69（米）。（

5、米）。 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 1 (1.50 2 1.60 3 . 1.90 1)1.69 17 x 米 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 二二 、怎么由頻率分布直方圖求眾數(shù)，中位數(shù)和平、怎么由頻率分布直方圖求眾數(shù)，中位數(shù)和平 均數(shù)？均數(shù)？ 例如，在上一節(jié)抽樣調(diào)查的例如，在上一節(jié)抽樣調(diào)查的100位居民的位居民的 月均用水量的數(shù)據(jù)中，我們得知這一組樣月均用水量的數(shù)據(jù)中，我們得知這一組樣 本數(shù)據(jù)的本數(shù)據(jù)的 ，并畫出并畫出 過這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖過這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖. 眾數(shù)眾數(shù) =2.3（t） 中位數(shù)中位數(shù)=2.0（t） 平均數(shù)平均數(shù)=2.0（t） 現(xiàn)在，

6、觀察這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，能現(xiàn)在，觀察這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，能 否得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？否得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ 眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 0.52.521.5143.534.5 頻率頻率 組距組距 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 歸納總結(jié)得歸納總結(jié)得： 因?yàn)樵陬l率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形 的面積表示相應(yīng)各組的頻率，也顯示出樣本 數(shù)據(jù)落在各小組的比例的大小，所以從圖中 可以看到，在區(qū)間2，2.5）的小長(zhǎng)方形的面 積最大，即這組的頻率是最大的，也就是說 月均用水量在區(qū)間2，

7、2.5）內(nèi)的居民最多， 即眾數(shù)就是在區(qū)間2，2.5）內(nèi)。 眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中， 就是最高矩形的就是最高矩形的中點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。的橫坐標(biāo)。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 0.52.521.5143.534.5 頻率頻率 組距組距 2.25 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 0.52.521.5143.534.5 頻率頻率 組距組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 提示：中位數(shù)左邊的提示：中位數(shù)左邊的 數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與右邊的與右邊的數(shù)數(shù) 據(jù)個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是

8、相等的。是相等的。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 0.52.521.5143.534.5 頻率頻率 組距組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 前四個(gè)小矩形的前四個(gè)小矩形的 面積和面積和=0.49 后四個(gè)小矩形的后四個(gè)小矩形的 面積和面積和=0.26 2.02 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 歸納總結(jié)得：歸納總結(jié)得： 在樣本中，有在樣本中，有50的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，的個(gè)體小于或等于中位數(shù)， 也有也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù)的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻，因此，在頻 率分布直方圖中，中位數(shù)

9、左邊和右邊的直方圖的率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的 面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。在這面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。在這 個(gè)頻率分布直方圖中，左邊的直方圖的面積代表個(gè)頻率分布直方圖中，左邊的直方圖的面積代表 50個(gè)單位，右邊的直方圖也是代表個(gè)單位，右邊的直方圖也是代表50個(gè)單位，它個(gè)單位，它 們的分界線與們的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是中位數(shù)。軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是中位數(shù)。 中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就 是把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分是把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分 界線與界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。軸交

10、點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 思考討論以下問題：思考討論以下問題： 1、2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中 位數(shù)值位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中原因嗎？不一樣，你能解釋其中原因嗎？ 答：答：2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中與樣本的中 位數(shù)值位數(shù)值2.0不一樣，這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的不一樣，這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的 頻率分布直方圖，只是直觀地表明分布的頻率分布直方圖，只是直觀地表明分布的 形狀，但是形狀，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)從直方圖本身得不出原始的數(shù) 據(jù)內(nèi)容，直方圖已經(jīng)損失一些樣本信息。據(jù)內(nèi)容，直方圖

11、已經(jīng)損失一些樣本信息。 所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì) 值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致. 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 0.52.521.5143.534.5 頻率頻率 組距組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 提示：在頻率分布提示：在頻率分布 直方圖中直方圖中,各個(gè)組的各個(gè)組的 平均數(shù)如何找？平均數(shù)如何找？ 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 0.52.521.5143.534.5 頻率頻率 組距組距 0.04 0.08

12、0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 . 0.751.752.252.753.253.754.251.250.5 提示：與小長(zhǎng)提示：與小長(zhǎng) 方形面積的比方形面積的比 例有關(guān)嗎？例有關(guān)嗎？ 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 0.52.521.5143.534.5 頻率頻率 組距組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 2.02 . 0.751.752.252.753.253.754.251.250.5 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 總結(jié)歸納得：總結(jié)歸納得： 平均數(shù)是頻率分

13、布直方圖的平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心重心”， 是直方圖的平衡點(diǎn)。是直方圖的平衡點(diǎn)。 先找出每個(gè)小長(zhǎng)方先找出每個(gè)小長(zhǎng)方 形的形的“重心重心”，即每小組的平均數(shù)，再，即每小組的平均數(shù)，再 按比例算出直方圖的平均數(shù)。按比例算出直方圖的平均數(shù)。 平均數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖平均數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖 中，等于頻率分布圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形面中，等于頻率分布圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形面 積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 總結(jié)：總結(jié)： 眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo) 中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，

14、中位數(shù)的左中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左 右兩邊的直方圖的面積相等，都為右兩邊的直方圖的面積相等，都為0.5 平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積乘以中點(diǎn)的橫坐平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積乘以中點(diǎn)的橫坐 標(biāo)之和標(biāo)之和 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 三三 、三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)、三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它 對(duì)其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體對(duì)其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體 特征。特征。 2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線， 它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這

15、在某些情況它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況 下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成 為缺點(diǎn)。為缺點(diǎn)。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 3、平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，與眾數(shù)、平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，與眾數(shù)、 中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于 樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端 值的影響較大，而且越極端，對(duì)平均數(shù)的影響就值的影響較大，而且越極端，對(duì)平均數(shù)的影響就 越大。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量較差時(shí)，用平均數(shù)來估計(jì)，越大。當(dāng)樣本

16、數(shù)據(jù)質(zhì)量較差時(shí)，用平均數(shù)來估計(jì)， 可靠性不高，可能會(huì)與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差。可靠性不高，可能會(huì)與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 四、思考討論以下問題：四、思考討論以下問題： 1、樣本中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，這樣本中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，這 在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值 的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。你能舉例說的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。你能舉例說 明嗎？明嗎？ 答：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠答：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠 有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響。有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響。 對(duì)極端值不敏感

17、有利的例子對(duì)極端值不敏感有利的例子:例如當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)例如當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì) 量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)（如數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)（如數(shù)據(jù)錄入錯(cuò) 誤、測(cè)量錯(cuò)誤等）時(shí)，用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)誤、測(cè)量錯(cuò)誤等）時(shí)，用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù) 表示數(shù)據(jù)的中心值更準(zhǔn)確。表示數(shù)據(jù)的中心值更準(zhǔn)確。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 缺點(diǎn)：（缺點(diǎn)：（1）出現(xiàn)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)也不知道；）出現(xiàn)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)也不知道； （2）對(duì)極端值不敏感有弊的例子：對(duì)極端值不敏感有弊的例子：某人具某人具 有初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平，想找一份收有初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平，想找一份收 入好的工作。這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算入

18、好的工作。這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算 機(jī)專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工機(jī)專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工 作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn)：作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn)： 很可能所選擇公司的初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平很可能所選擇公司的初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平 人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對(duì)極小的數(shù)人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對(duì)極小的數(shù) 據(jù)不敏感。據(jù)不敏感。這里更好的方法是同時(shí)用平均工資這里更好的方法是同時(shí)用平均工資 和中位數(shù)作為參考指標(biāo)，選擇平均工資較高且和中位數(shù)作為參考指標(biāo)，選擇平均工資較高且 中位數(shù)較大的公司就業(yè)中位數(shù)較大的公司就業(yè). 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 思考

19、討論以下問題：思考討論以下問題： 3、“用數(shù)據(jù)說話用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)常聽到的一句，這是我們經(jīng)常聽到的一句 話。但是，數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用，從而產(chǎn)生誤話。但是，數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用，從而產(chǎn)生誤 導(dǎo)。例如，一個(gè)企業(yè)中，絕大多數(shù)人是一線工導(dǎo)。例如，一個(gè)企業(yè)中，絕大多數(shù)人是一線工 人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一 些經(jīng)理層次的人，年收入過到幾十萬元。些經(jīng)理層次的人，年收入過到幾十萬元。這時(shí)這時(shí) 年收入的平均數(shù)比中位數(shù)大得多。年收入的平均數(shù)比中位數(shù)大得多。盡管這時(shí)的盡管這時(shí)的 中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個(gè)企業(yè)的老中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個(gè)企業(yè)的

20、老 板到人力市場(chǎng)去招聘工人時(shí)，也許更可能用平板到人力市場(chǎng)去招聘工人時(shí)，也許更可能用平 均數(shù)來回答有關(guān)工次待遇的指問。均數(shù)來回答有關(guān)工次待遇的指問。 你認(rèn)為你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高我們單位的收入水平比別的單位高” 這句話應(yīng)當(dāng)怎么解釋？這句話應(yīng)當(dāng)怎么解釋？ 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 答答: 我認(rèn)為這句話是這樣解釋的：這個(gè)企我認(rèn)為這句話是這樣解釋的：這個(gè)企 業(yè)的老板以員工平均工資收入水平去描述業(yè)的老板以員工平均工資收入水平去描述 他們單位的收入情況。我覺得這是不合理他們單位的收入情況。我覺得這是不合理 的，因?yàn)檫@些員工當(dāng)中，少數(shù)經(jīng)理層次的的，因?yàn)檫@些員工當(dāng)中，少數(shù)經(jīng)理層次的 收入與大多數(shù)一般員工收入的差別比較大，收入與大多數(shù)一般員工收入的差別比較大， 所以平均數(shù)不能反映該單位員工的收入水所以平均數(shù)不能反映該單位員工的收入水 平。這個(gè)老板的話有誤導(dǎo)與蒙騙行為。平。這個(gè)老板的話有誤導(dǎo)與蒙騙行為。 2.2.2-1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體 的數(shù)字特征 課后練習(xí)課后練習(xí) 假設(shè)你是一名交通部門的工作人員，假設(shè)你是一名交通部門的工作