概率知識點總結(jié)匯總

1、第一章隨機事件和概率（1）排列組合公式從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第 種方法可由m種方法完成，第 一種方法可由n種方法來完成，則這件事可由 m+n種方法來 完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mxn某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第 一個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mix n種方法來 完成。（3） 些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機 試驗和隨 機事件如果一個試驗在相冋條件下可以重復(fù)進(jìn)

2、行， 而每次試驗的可能 結(jié)果不止 個，但在進(jìn)行 次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個 結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（5）基本 事件、樣 本空間和 事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一 組事件，它具有如下性質(zhì)： 每進(jìn)行次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這組中的個事 件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由 中的部分點（基本事件）組成的集合。通常 用大寫字母A, B, C,表示事件，它們是 的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概

3、率為零，而概率為零的事件不一定是不 可能事件；同理，必然事件（Q）的概率為 1,而概率為1的 事件也不一定是必然事件。（6）事件 的關(guān)系與 運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有 事件B發(fā)生）：如果同時有，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B:A=BA B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記 為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的 事件。A B同時發(fā)生：A B,或者AB A B二?，則表示A與B不可能 同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是 互不相容的。-A稱為事件A的逆事

4、件，或稱A的對立事件，記為。它表示 A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) n (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)德摩根率：，(7)概率 的公理化 定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A), 若滿足下列三個條件：1 0 P(A) 0，則稱 為事件A發(fā)生條(12)條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。件概率條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1 P( /A)=1-P(B/A)乘法公式：(13)乘更一般

5、地，對事件 A, A2,An,若P(AAAn-1)0，則有法公式 O兩個事件的獨立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有(14)獨立性若事件、相互獨立，則可得到 與、與、與也都相互獨 立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)二P(A)P(B) ； P(BC)二P(B)P(C) ； P(CA)二P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。設(shè)事件滿足1兩兩互不相容，(15)全2 ，概公式則有。設(shè)事件，及滿足1

6、 ,，兩兩互不相容，0, 1, 2,，,(16)貝2 ,葉斯公式則,i=1 , 2,n。此公式即為貝葉斯公式。)，通常叫先驗概率。，(，)，通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了次試驗，且滿足u每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u次試驗是重復(fù)進(jìn)行的，即 發(fā)生的概率每次均一樣；(17)伯u每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與努利概型其他次試驗 發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用 表示每次試驗 發(fā)生的概率，則 發(fā)生的概率為，用 表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，, 。第二章隨機變量及其分布(1)離散型設(shè)離散

7、型隨機變量 的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概 率，即事件(X=Xk)的概率為p(X=xk)=pk, k=1,2,，隨 機 變 量 的 分 布 律則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分 布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：(1)， 。(2)連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 分 布 密 度設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實數(shù)， 有則稱 為連續(xù)型隨機變量。 稱為 的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)， 簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1 。2 。(3)離 散 與 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 關(guān) 系積分元 在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與 在離散型隨

8、機 變量理論中所起的作用相類似。(4 )分 布 函 數(shù)設(shè)為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間 的概率。分布函數(shù) 表示隨機變量落入?yún)^(qū)間(-X內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；2是單調(diào)不減的函數(shù)，即3,；4，即是右連續(xù)的；5。對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量，。時，有；(50P(X=1)=p, P(X=O)=q）八-大1分分布布-在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次項數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。分，其中，布則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為 。當(dāng)時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的

9、特例。泊 松 分 布設(shè)隨機變量的分布律為? 則稱隨機變量 服從參數(shù)為 的泊松分布，記為 或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布(np=入，n超 幾 何 分 布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾 何 分 布,其中 p0, q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均 勻 分 布設(shè)隨機變量 的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù) 在a , b上為 常數(shù)，即a x b其他，則稱隨機變量在a , b上服從均勻分布，記為XU(a, b)。分布函數(shù)為a xb0,xb。當(dāng)ax iX2b時，X落在區(qū)間()內(nèi)的概率為。指數(shù)5分0, ,布其中，則稱隨機變量X服從參

10、數(shù)為 的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為x0 (i,j=1,2,)；(2)連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|a 0;(2)(2)二維隨機 變量的 本質(zhì)(3)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù) x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量(X，Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量 X 和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1)(2) F (x,y )分別對x和y是非減的，即當(dāng) X2Xi 時，有 F (X2,y ) F(xi,y);當(dāng) y

11、2yi 時，有 F(x,y 2) F(x,y 1)；(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即(4)(4) 對于(4)離 散型與 連續(xù)型 的關(guān)系(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為 丫的邊緣分布密度為(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，丫取值的條件分布為在已知丫二y的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密 度為在已知X=x的條件下，丫的條件分布密 度為(7)獨立性一般型F(X,Y)=Fx(x)F Y(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判斷，充要條件： 可分離變量 正概率密度區(qū)間為

12、矩形二維正態(tài)分布=0隨機變量的函數(shù)若Xl,X2,XnXm+1,Xn相互獨立，h,g 為連續(xù)函數(shù)，貝S：h (Xi, X Xm)和 g ( Xm+1,Xn)相互 獨立。特例：若X與丫獨立，貝y： h (X)和g (丫)獨立。例如：若X與丫獨立，則:3X+1和5Y-2獨立。（8）二設(shè)隨機向量（X, Y）的分布密度函數(shù)為維均勻 分布服從D上的均勻分布,其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱（X, Y） 記為（X，Y）U （ D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3yiDiO1圖3.1圖3.2yD3dcO a圖3.3(9)二設(shè)隨機向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為維正態(tài)分布其中 是5個參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維

13、正態(tài)分布，記為(X, Y) N (由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN (但是若X N( , (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：對于連續(xù)型，fz(Z)=兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分 布()。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合， 仍服從止態(tài)分布。Z=max,min(X,X2,Xn)若 相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(Xi,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個隨機變量相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨

14、機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X, Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機變量T服從自由度為n的t 分布，記為Tt(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨立，可以證明的概 率密度函數(shù)為我們稱隨機變量F服從第一個自由度 為ni,第一個自由度為n2的F分布， 記為 Ff(n i, n 2).第四章隨機變量的數(shù)字特征(1)離散型連續(xù)型一維期望設(shè)X是離散型隨機變量，設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其隨機期望就是平均值其分布律為P( ) = Pk,概率密度為f(x),變量k=1,2,n ,的數(shù)字特(要求絕對收斂)征(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)Y

15、=g(X)方差2D(X)二EX-E(X),標(biāo)準(zhǔn)差矩對于正整數(shù)k,稱隨機對于正整數(shù)k,稱隨機變變量X的k次幕的數(shù)學(xué)期量X的k次幕的數(shù)學(xué)期望為望為X的k階原點矩，記X的k階原點矩，記為Vk,為Vk,即即v k=E(Xk)= , k=1,2.v k=E(Xk)=對于正整數(shù)k,稱隨機k=1,2,.變量X與E(X)差的k次 幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階 中心矩，記為，即=,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機變 量X與E (X)差的k次幕 的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心 矩，記為，即k=1,2,.切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E (X)二卩，方差D (X)=。2,則對于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不

16、等式給出了在未知 X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。(2) 期望 的性 質(zhì)(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y),(4) E(X Y)二E(X) E( Y)，充分條件：X 和丫 獨立；不相關(guān)。充要條件：X和Y(3)(1)D(C)=0 ； E(C)=C、*、八方差(2)2D(aX)=a D(X) ；E(aX)=aE(X)的性質(zhì)(3)D(aX+b)二 a 2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X 2)-E 2(X)(5)D(X Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。

17、D(X Y)=D(X)+D( Y)士 2E(X -E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)期望方差常見0-1分布P分布二項分布np的期望和泊松分布方差幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布止態(tài)分布n2nt分布0(n2)(5)二維隨機變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩 為與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號 相對應(yīng)，X與丫的方差D (X)與D (丫)也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y,如果D (X) 0, D(Y)0,則稱 為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作(有時可簡記為)。| 1,當(dāng)|=1時，稱X與丫完

18、全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時，稱X與丫不相關(guān)。以下五個命題是等價的：； cov(X，丫 )=0; E(XY )=E(X)E( Y); D(X+Y)二D(X)+D( Y); D(X- Y)二D(X)+D( Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機變量X與Y,如果有存在，則稱之為X與Y 的k+l階混合原點矩，記為；k+l階混合中心矩記 為：(6)(i)cov (X, 丫)=cov (Y, X);協(xié)方(ii)cov(aX,b Y)二ab cov(X, Y);差的性質(zhì)(iii)cov(X 1+%, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv)cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E( Y).(7)(

19、i)若隨機變量X與丫相互獨獨立立，則;反之不真。和不(ii)若(X, Y)N (),相關(guān)則X與丫相互獨立的充要條件是X和丫不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律切比雪夫 大數(shù) 定律設(shè)隨機變量X, X2,相互獨立，均具有有限方 差，且被同 常數(shù)C所界：D(X)C(i=1,2,), 則對于任意的正數(shù)，有特殊情形：若X1, X,具有相同的數(shù) 學(xué)期望E (X)二卩，則上式成為伯努設(shè)卩是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p利大數(shù)定律是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗次數(shù)n很 大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的 可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式

20、描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽設(shè)X, & ，X,是相互獨立同分布的隨機大數(shù)變量序列，且E ( Xn)二卩，則對于任意的正數(shù)定律有(2)中心極限列維設(shè)隨機變量X,X?,相互獨立，服從同一分布，定理林且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機變量德伯定 格理的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)X，有此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫 弗- 拉普 拉斯 定理設(shè)隨機變量為具有參數(shù)n, p(0p1)的二項分 布，則對于任意實數(shù)X,有(3)二項定理若當(dāng)，則超幾何分布的極限分布為二項分布。(4)泊松定理若當(dāng)，則其中k=0, 1, 2,，n,。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理 統(tǒng)計的基 本

21、概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個(或多 個)指標(biāo)的全體稱為總體(或母體)。我們總是 把總體看成一個具有分布的隨機變量 (或隨機向 量)。個體總體中的每一個單元稱為樣品(或個體)。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品 稱為樣本。樣 本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用 n表 示。在 般情況下，總疋把樣本看成疋n個相互 獨立的且與總體有相冋分布的隨機變量， 這樣的 樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié) 果時，表示n個隨機變量（樣本）；在具體的 一次抽取之后，表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。 我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)設(shè)為總體的一個樣本，稱和統(tǒng)計量()為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)

22、。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計樣本均值量及其性樣本方差質(zhì)樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點矩樣本k階中心矩其中，為二階中心矩。(2)正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣本函數(shù)分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣本函數(shù) 其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣本函數(shù) 其中 表示自由度為n-1的分布。F分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，而 為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，第一自由度為 的F分布。(3)正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨立。第七章參數(shù)估計(1)點估計矩估計設(shè)總體X的分布中包含有

23、未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以 表成它的k階原點矩中也包含了未知參數(shù)，即。 又設(shè) 為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩 的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù) 即為參數(shù)()的矩估計量。若 為的矩估計，為連續(xù)函數(shù)，則 為 的矩估計。極大似然估計當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機變量時，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè) 為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機變量時，設(shè)其分布律為， 則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) 在 處取到最大值，則稱 分別為 的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計 量。若

24、 為的極大似然估計，為單調(diào)函數(shù)，則 為 的極大 似然估計。(2)估 計量的 評選標(biāo) 準(zhǔn)無偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計量。右E ()=，則稱為的 無偏估計量。E ( ) =E (X), E (S2)=D( X)有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若，則稱有 效。致性設(shè) 是 的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有則稱為的致估計量(或相合估計量)。若為的無偏估計，且則為的致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的 致估計量。(3)區(qū)間估計置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有 個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本 出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量 與，使得區(qū)間 以 的概率包 含這個待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度(或 置信水平)。單正態(tài) 總體的 期望和 方差的 區(qū)間估設(shè)為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確疋 的置信區(qū)間。具體步驟如下：(i )選擇樣本函數(shù)；(ii )由置信度，查表找分位數(shù)；(iii )導(dǎo)出置信區(qū)間。計已知方差，估計均值（i ）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間未知方差，估計均值（i ）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii ）導(dǎo)出置信區(qū)間方差的區(qū)間估計（i ）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii ）導(dǎo)出的置信區(qū)間第八章假設(shè)檢驗基本思想/Lb、假設(shè)檢驗的統(tǒng)計思想是，概率很小的事件在一次試