正弦交流電路

1、第三章3-2周期交流電量的有效值設(shè)有 一個(gè) 直流電 流 I，通 過(guò)同一 電阻 R，一個(gè)周期時(shí) 間內(nèi) 消耗的電能為I 2R TW I 2R T 。 若 二 者 一 周 期 內(nèi) 消 耗 的 電 能 相 等 ， 則 有 T2R i2dt03-2-1 )IT1 0 i(t)2 dt式中，I 稱為周期交流電流 i(t)的有效值，它等于瞬時(shí)值 i(t)的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值 再取平方根，因此有效值又稱為均方根值。從 物理意義上講，周期電流的有效值是從功耗 相等 的觀點(diǎn) 來(lái)衡量 一個(gè)周期電 流的大 小。它 把 交流 電流等效成一 個(gè)相應(yīng) 的直流電流 。當(dāng) 這 一直流電流通過(guò)同一電阻時(shí)，在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)產(chǎn)

2、生與交流電流同樣的電能消耗。 對(duì)于周期性變化的電壓u(t)，它的有效值 U 也有類似的定義，即U T1u(t)2dt03-2-2 )當(dāng)周期性電流為正弦電流時(shí)，設(shè)Im sin( t )把電 流代入 式( 3-2-1 )，得Im2 T 1 cos2( t ) dt T 0 dt3-2-3 )可見(jiàn) 正弦電 流的有 效值等于最 大值 Im除 以 2。類似地可以得到正弦電壓的最大值與它的有效值之間的關(guān)系Um23-2-4 )這樣，我們可以把式(3-1-1 )重新表示成i 2 I sin( t )式中 ，I 為正弦 交流電 流的 有效值 。電氣工程上一般所說(shuō)的正弦電壓電流的大小都是指它們的有效值。通 常所說(shuō)

3、的單相交 流電 壓為 220V ，電流 為 10A 等， 都是指 正弦交流電 的有效 值。 一般工 程上的 電氣測(cè) 量?jī)x 表所指的值也大都是指有效值。3-2-5 )3-3正弦交流電量的相量表示第三章正弦量除了用波形和瞬時(shí)表達(dá)式來(lái)表示以外，利 用歐拉公式還可以表示成復(fù)指數(shù)的形式。一個(gè)正弦交流電流i 2 Isin（t，）可以表示為復(fù)指數(shù)形式i 2 I sin( t ) Im 2 Iej ej t( 3-3-1 )方括號(hào)內(nèi)是一個(gè)復(fù)數(shù)，符號(hào) Im 表示取復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)指數(shù)的模即為正弦函數(shù)的幅值 2I ，幅角為正弦函數(shù)的相位 t ，它隨時(shí)間以 角度 增長(zhǎng)。若把復(fù)數(shù) 2Iej ej t在復(fù)平面上的對(duì) 應(yīng)點(diǎn)

4、與 原點(diǎn)之 間用一帶箭 頭的有 向線段相連，如圖 3-3-1 所 示，則 可得到 一個(gè)幅 角隨 時(shí)間變化的旋轉(zhuǎn)矢量。這 條用來(lái)表示正弦函數(shù)的矢量稱為正弦量的相量。相量在復(fù)平面上 的圖形稱為相量圖。圖中畫(huà)出了該相量在 t 0和t t1時(shí)的位置。當(dāng)t 0時(shí)，該相量與實(shí)軸 夾角為正弦函數(shù)的初始相位角 。該 相量以 角速度隨時(shí)間向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng) t t1時(shí) 刻 ，相 量 轉(zhuǎn) 到 圖 中 虛 線 所 示 位 置 。此 時(shí) 與 實(shí) 軸 夾 角 為 t1。由 圖 可 以 看 出 ，該 相 量 在 虛軸上的投影長(zhǎng)度等于 2I sin（t，） 即等于對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)在該時(shí)刻的瞬時(shí)值。在用復(fù)平面上的相量表示正弦

5、函數(shù)時(shí)，只要確定其初相位時(shí)的相量即可，即相當(dāng)于取 t 0時(shí)的復(fù)指數(shù)函數(shù) 2Iej 。實(shí)際的正弦時(shí)間函數(shù)只要把該復(fù)數(shù)乘以ej t，再取其虛部就 可以得到。在電工計(jì)算中，復(fù)數(shù)中的模一般取為正弦量的有效值，即可以把復(fù)數(shù)表示為 Iej ，這里 I為有效值， 為初相角。這樣我們可以把式（3-1-1 ）的正弦交流電流表示成 相量形式為I Iej（ 3-2-2 ）或 I I （ 3-2-3 ）掌握 正弦函 數(shù)的瞬 時(shí)值表達(dá)式 ，相 量表示圖形 和復(fù) 數(shù)表達(dá)式，并 理 解它 們之間 的內(nèi)在 轉(zhuǎn)換 關(guān)系和意義，是穩(wěn)態(tài)正弦交流電路中相量計(jì)算的基礎(chǔ)。下面 來(lái)討 論兩個(gè) 同頻率 正弦 量的計(jì) 算問(wèn)題 。對(duì)于圖 3-3

6、-2 所示 的電 路，若 已知兩 條支 路中的電流為i1 2 I1 sin（ t 1）i2 2 I2 sin（ t 2）3 2第三章則合成電流 i 為i i1 i2由前面分析得i i1 i2Im 2 I1ej 1ej t Im 2 I 2ej 2ej tIm 2(I1+I2)ej t Im 2I ej t2I sin( t )這 里I II1 I2( 3-3-4 )由上式可知，要計(jì)算合成電流 i只要知道合成電流的相量 I即可，于是兩個(gè)同頻率的正弦 電流相加問(wèn)題，就 轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)正弦電流對(duì)應(yīng)的相量的相加問(wèn)題，即把三角函數(shù)的相加轉(zhuǎn) 化為兩個(gè)復(fù)數(shù)的相加運(yùn)算。我們 還可 以在相 量圖上 直觀 地來(lái)分

7、析兩個(gè) 正弦量的相 量相加 的意義 。電流 i1與 i2的相 量 I1、 I2示于 圖 3-3-3 中。圖 3-3-3當(dāng) t 0時(shí)相 量處 于初始 位置。 按兩 個(gè)相量 相加的 平行四邊形 法則， 作 I1與 I2的合成相 量I，如圖 3-3-3b 所示。由圖可見(jiàn) I在虛軸上的投影即為 I1與I2相量在虛軸上的投影值之 和，合成相量I在虛軸上的投影即為 i1 i2的瞬時(shí)值。經(jīng)過(guò)時(shí)刻t1，相量 I1與I2都沿著逆時(shí) 針?lè)较蛐D(zhuǎn)了 t1角度，如圖 3-3-3a 所示，由于I1與 I2的相對(duì)位置沒(méi)有變化，因此其合成 相量 I的長(zhǎng)度也沒(méi)有變化。與t 0時(shí)刻相比， I也逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 t1相角。此時(shí)I1與

8、 I2在虛 軸上的投影值之和仍等于合成相量在虛軸上的投影。在任意時(shí)刻都可以用合成相量 I在虛 軸的投影來(lái)表示 I1與 I2的投影之和。相量在虛軸的投影即為該相量對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)的瞬時(shí) 值 ，這 樣 兩 個(gè) 正 弦 函 數(shù) 瞬 時(shí) 值 相 加 之 和 就 等 于 合 成 相 量 所 表 示 的 正 弦 函 數(shù) 瞬 時(shí) 值 ，從 而 把 三角函數(shù)運(yùn)算變成為相量相加減的復(fù)數(shù)運(yùn)算。必須指出，只有同頻率的 正弦量才可以進(jìn)行相量運(yùn)算。 3第三章圖 3-3-4例 3-3-1 在 圖 3-3-4 中 ，已 知 u1 2 40sin t ， u2 2 30 sin( t 90 ) ，試 求 總 電 壓 u的值。解

9、：根據(jù)基爾霍夫定律有u u1 u2，用相量來(lái)表示則U U1 U2，已知U1 40 0 V， U2 30 90 V，則可求 得U U1 U2 40 0 V 30 90 V (40 j30)V 50 36.9 V 總電壓 u 的瞬時(shí)表達(dá)式為u 2 50 sin( t 36.9 )V3-4正 弦交 流 電路 中的電阻 元件電阻元件兩端的電壓與通過(guò)它的電流之間關(guān)系受歐姆定律約束。當(dāng) 正弦電流流過(guò)電阻R 時(shí) ， 如 圖 3-4-1 所 示 ， 選 定 電 壓 與 電 流 的 參 考 方 向 一 致 ， 則 根 據(jù) 歐 姆 定 律 有3-4-1 )u iR若選電流 i為參考正弦量，則 i 2Isin t，

10、代入上式有u 2 IR sin t 2U sin t由上可見(jiàn)，當(dāng)流過(guò)電流 與電壓 的波形 示于圖 3-4-1 中圖 3-4-1電阻的電流為正弦函數(shù)時(shí)，電阻上的電壓是與電流同頻率的正弦量。電流與電壓同相位， 它們的有效值也服從歐姆定律，即U IR（ 3-4-2 ）如果用相量形式來(lái)表示，則有U IR（ 3-4-3 ）3 4第三章上式 是復(fù)數(shù) 形式的 歐姆定律表 達(dá)式。該式 同時(shí)表述了電阻元 件上 正弦電 壓與電 流之間 的相 位關(guān) 系和有 效值關(guān) 系。根據(jù)式 （ 3-4-3 ），可畫(huà) 出電壓 、電 流的相 量圖， 如圖 3-4-1 所 示。3-5正 弦交 流 電路 中的電感 元件線性非時(shí)變電感元件

11、是電路中一種重要和基本的元件，在 實(shí)際電路中經(jīng)常遇到由導(dǎo)線 繞制而成的電感線圈。當(dāng)電流通過(guò)自感為 L 的線性電感元件時(shí)，若取電感元件兩端電壓與 電流 的參考 方向一 致，如圖 3-5-1 所示 ，則由 楞次定 律知 ，電流 與電壓 之間的關(guān)系 式為 d diuLL （ 3-5-1 ）L dt dt式中，L 為電感值，單位為亨利（H）。圖 3-5-1 當(dāng)通過(guò)電感的電流為正弦交流電流時(shí)，即 i 2Isin t，代入上式可得電感元件兩端 的電壓為uL L diL 2 I L sin（ t 90 ）L dt2U L sin（ t 90 ） （ 3-5-2 ）1 由上式可見(jiàn)，電感端電壓 uL是與iL同頻

12、率的正弦量，電壓 uL的相位超前電流 iL 1周期，即4 rad 或 90 。2從式（ 3-5-2 ）可得，電感電流的有效值 IL與電感端電壓的有效值之間有關(guān)系式ULLIL （ 3-5-3 ）式中 ， L叫做 電感線 圈的自感電抗 ，簡(jiǎn) 稱感抗，它和 電阻具 有相 同的量 綱。當(dāng) 電感 L 的 單位 取 H， 角頻率 的單位取 rad/時(shí)s ， 感抗 的單位為 。 感抗一 般用 字母 XL表示 ，即 ULXLL L 2 fL （ 3-5-4 ）L IL例 3-5-1 一 個(gè) 電 阻 可 忽 略 的 線 圈 ， 其 電 感 數(shù) 值 為 L 31.8 10 5H ， 設(shè) 流 過(guò) 電 流 i 2 s

13、in（ t 60 ）A ， 頻 率 f 50Hz， 問(wèn) 線 圈 電 壓 uL 為 多 少 ？ 若 電 流 頻 率 f 5000Hz ， 重 求第三章線圈端電壓 uL。 解： 設(shè)電 流相量 I 1 60 A，當(dāng)頻率 f 50Hz時(shí)，感抗XLL 2 fL 314 31.8 10 6 10由 式 3-5-5 可 得 電 壓 向 量U L jXLI 10 30 V則 有 uL2 10 sint(30 。)V當(dāng)頻率 f 5000H時(shí)z，感抗XL 2 fL 31400 31.8 31010，00電壓向量UL jXLI 1000 30 V，電壓瞬時(shí)式 uL2 1000 sint(30。)V3-6正 弦交 流

14、 電路 中的電容 元件線性非時(shí)變電容元件 C兩端加上交流電壓uC時(shí)，電容中就將有電流 iC流過(guò)。若取電容 元件支路iC的參考方向與電壓uC的參考方向一致，如圖 3-6-1 所示，則有3-6-1 )iC dq C duC dt dt當(dāng)所施加的電壓為正弦交流電壓uC2UC sin（t900時(shí)），電容電流為iC C duC2 CUC cos( t 90 )dt3-6-2 )2 IC s i nt ( )電容 元件上 的電壓 與電流的變 化波形 見(jiàn)圖 3-6-1 。由上分析可得，電容上電壓uC與電流iC為同頻率的正弦量，電 流iC在相位上超前電壓 uC90 。從 波形 圖上可 看出， 當(dāng)電 容電壓 過(guò)零值 時(shí)， 電壓的 變化率 最大 ，此時(shí) 流過(guò)電容的 電流幅值達(dá)到最大振幅值。而 當(dāng)電容電壓達(dá)到最大幅值時(shí)，其