2018年高考理科數(shù)學(xué)專題十：與球體有關(guān)的問題-精品

1、2018年高考數(shù)學(xué)專題十：與球體有關(guān)的問題一、高考趨勢分析： 立體幾何章節(jié)在傳統(tǒng)的高考中分值占22分左右，以兩小一大的形式出現(xiàn)較多。與球相關(guān)的問題也有考題出現(xiàn)，現(xiàn)針對近年高考考題形式總結(jié)如下 ，也是每年高考熱點(diǎn)，每年高考中主要考查選擇、填空題目、解答題。 二、基礎(chǔ)知識點(diǎn)撥： 1長方體、正方體的外接球其體對角線長為該球的直徑 2正方體的內(nèi)切球其棱長為球的直徑 3正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點(diǎn)、球心及底面正三角形中心共線 4正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31. 方法主要是“補(bǔ)體”和“找球心” 考試核心：性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形建立三者之間的關(guān)系。三、高考試題精練1.（2015高考新

2、課標(biāo)2，理9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【考點(diǎn)】外接球表面積和椎體的體積2(2015遼寧高考)已知直三棱柱ABC A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B2C. D3解析：選C如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .3(2018長春模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則_.解析：設(shè)正四面體棱長為a，

3、則正四面體表面積為S14a2a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為S24r2，則.答案：4四棱錐PABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為()A9 B3C2 D12解析：選D該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得，則正方體外接球的直徑即為PC.由直線EF被球面所截得的線段長為2，可知正方形ABCD對角線AC的長為2，可得a2，在PAC中PC 2，球的半徑R ，S表4R24()212.四、典型例題精析類型一：有公共底邊的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（兩

4、題互換條件形成不同的題）1.15如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A、B是圓上兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)間的球面距離為，則= . （2015年理科）2.15如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A、B是圓上兩點(diǎn)，若=，則A,B兩點(diǎn)間的球面距離為 （2014年文科）類型二：球內(nèi)接多面體，利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小圓半徑，通常用到余弦定理求余弦值，通過余弦值再利用正弦定理得到小圓半徑，從而解決問題。3.15. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若, ，則此球的表面積等于 。（2014年理科）析：欲求球的表面積，歸根結(jié)底求球半徑，與相關(guān)的是重要性質(zhì)。AA1=2, ?，F(xiàn)將問題轉(zhuǎn)化到O2的半徑之上。因?yàn)锳BC是O2的內(nèi)

5、接三角形，又知AB=AC=2，BAC=120，三角形可解。由余弦定理有，由正弦定理有 。4.14正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 8（2013年理科）5.12已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，則棱錐SABC的體積為 C （2014年理科）A B CD16.（11）已知是球表面上的點(diǎn)，則球表面積等于 A （2015年文科）（A）4 （B）3 （C）2 （D）類型三：通過線線角、線面角、面面角之間的平面的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造勾股定理處理問題。7.15.設(shè)是球的半徑，是的中點(diǎn)，過且與成45角的平面截球的表面得到圓。若圓的面積等于，則球的表面積等于 .（20

6、15年文科）析：問題的解決根本求球半徑。 與相關(guān)的重要性質(zhì)中，可求（ ） 問題轉(zhuǎn)化到求上充分運(yùn)用題目中未用的條件，OMC=45，于是求得，8.(11)已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為 D （2014年理科） (A)7 (B)9 (C)11 (D)139.（5）如果把地球看成一個(gè)球體，則地球上的北緯緯線長和赤道長的比值為C（2015文科）（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25類型四：球內(nèi)接多面體的相關(guān)元素之間的聯(lián)系。10.13圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與

7、圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示)，則球的半徑是 4 cm（2010年理科）11.16長方體的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則，兩點(diǎn)間的球面距離為 .（2015年文科）12.14體積為的一個(gè)正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于 （2009年文科）13.16已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_1/3_（2015年文科）14.15.如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大是，求的表面積與改圓柱的側(cè)面積之差是 . 類型五：平面幾何性質(zhì)在球中的綜

8、合應(yīng)用。15.（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，若，則兩圓圓心的距離 （2015年理科）析：由OM=ON知，M與No為等圓，根據(jù)球中的重要性質(zhì)又MHAB得H為AB中點(diǎn)，BH=AH=2 OMH=ONH=90MON=MHN由余弦定理有MN2=OM2+ON22OMONcosMON MN2=MH2+NH22MHNHcos(MON)解得cosMON=，即MON=三角形OMN為等邊三角形， MN=3.類型六：性質(zhì)的簡單應(yīng)用。16.(15)已知為球的半徑，過的中點(diǎn)且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_16_.（2009年文科）17.（15）已知矩形的頂

9、點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 24 。（2011年理科）18.（9）高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為 C（2011年理科）（A） （B） (C)1 (D) 五、模擬試題精練1.（2015高考新課標(biāo)2，理9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C2(2015遼寧高考)已知直三棱柱ABC A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B2C. D3答案：選C3(2018長春模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則_.答案：4四棱錐PABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為()A9 B3C2 D12答案：選D.5.如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中點(diǎn)，則四棱錐C1B1EDF的體積為_.答案(1)a36.已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形