定義域與值域講義教師版

1、課題函數(shù)的定義域與值域教學(xué)目的1、掌握定義域的求法2、掌握復(fù)合函數(shù)定義域求法3、掌握值域的幾種重要求法重難點(diǎn)1、定義域2、值域教學(xué)內(nèi)容【基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)總結(jié)與鞏固】、函數(shù)及其表示設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f: At B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f(x) , x A.其 中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)|x A叫做函數(shù)的值域.注意：如果只給出解析式 y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能

2、使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.構(gòu)成函數(shù)的二要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域再注意：1)構(gòu)成函數(shù)二個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè) 函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)閮找缓瘮?shù))2 )兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同：定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)二、區(qū)間的概念及表示法設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 a b，滿足a x b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做 a,b；滿足a x b的 實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做 (a,

3、b)；滿足a x b，或a x b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做a,b) ,(a,b；滿足x a, x a,x b, x b的實(shí)數(shù)x的集合分別記做a,),(a,),(,b,(,b).注意：對于集合x|a x b與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須a b .、求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù). f (x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù). f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合. 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1. y tan x 中，x k (k

4、Z).2 零(負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零. 若f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集. 對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f (x)的定義域?yàn)閍,b，其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域應(yīng)由不等式a g(x) b解出. 對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論. 由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.四、求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值因此求函數(shù)的最值與

5、值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度 不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則直接制約著函數(shù)的值域，對于一些比較簡單的函數(shù)可直接通過觀察法求得值域. 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式的問題，常用配方法求值域.判別式法：若函數(shù) yf (x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2 b(y)x c(y) 0，則在2a(y) 0時(shí)，由于x, y為實(shí)數(shù)，故必須有b (y) 4a(y) c(y) 0，從而確定函數(shù)的值域或最值分子、分母是一次函數(shù)或二次齊次式的有理函數(shù)常用分離

6、變量法求值域；分子、分母中含有二次項(xiàng)的有理函數(shù)，常用判別式法求值域(主要適用于定義域?yàn)?R的函數(shù)).不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值. 換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題. 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值. 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值. 函數(shù)的單調(diào)性法只要是能求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)?？捎脤?dǎo)數(shù)的方法求值域【重難點(diǎn)例題啟發(fā)知識點(diǎn)1求相關(guān)函數(shù)的定義域【例1】求下列函數(shù)的定義域:(1)f (x) =_聖+lg(3 x+1)；(2)f (x) =J2x X2+(

7、i-2x)0.1g(2x 1)1 x解答(1)由題意可得3x 10,0,解之得1 x1，即原函數(shù)的定義域?yàn)?3,1.2xx22x(2)由題意可得2x2x0,0,1,0,解之得x 2,12,1,12,11即一x 2且xk 1和一22原函數(shù)的定義域?yàn)閬A，121,1I2-精要點(diǎn)評會(huì)求函數(shù)的定義域是正確求解一切函數(shù)問題的基礎(chǔ)，求解時(shí)要注意找全限制條件，并正確取岀各部分的 公共部分，且最后結(jié)論一定要寫成集合或區(qū)間的形式【舉一反三】1、求函數(shù)f (x) =25 x2 +lgsin x的定義域.2,k z解答由題意可得25 X 0,解之得5x5si nx 0,2k x 2k原函數(shù)的定義域?yàn)?5,- nU(

8、0, n )2、求下列函數(shù)的定義域:.x22x 15 x 33 y $ (冷【例2】求抽象函數(shù)求定義域記住兩句話：地位相同范圍相同，定義域是關(guān)于x的。1 )設(shè)f(X)的定義域是3，2 ，求函數(shù)f(. x 2)的定義域。2)已知y=f(2x+1)的定義域?yàn)?1，1，求f(x)的定義域;【舉一反三】已知函數(shù)f( x)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)y2x2的定義域.解答 - 1 0 恒成立.a 1當(dāng) a2-1=0，2當(dāng)a-1工0，(a綜上所述,使得函數(shù)0,1)2 4(a2 1時(shí)，有0的定義域?yàn)镽的a的取值范圍是精要點(diǎn)評解決本題關(guān)鍵的是理解函數(shù)的定義域是2a2a1,9 R的意義,1,解得1a 9.10a 9 0,

9、并會(huì)對函數(shù)式進(jìn)行分類討論，特別要注意不要遺0 2 2 2 , , 21 時(shí)，得 a=1，此時(shí)有(a -1) x +(a-1) x+=1.可知當(dāng) x R 時(shí)，(a -1 ) x + (a-1 ) x+a 1a 1漏對第一種情況 a1=0的討論.【舉一反三】已知函數(shù)f (x)=ax2 ax 3的定義域是R求實(shí)數(shù)a的取值范圍解得-I2a0,即 a( -12 , 0)0,a 0,解答由a=0或2a 4a ( 3)知識點(diǎn)3函數(shù)值域的求法1、直接法：例1:求函數(shù)y tX2 6X 10的值域。例2:求函數(shù)y , x 1的值域。2、配方法：2例1 ：求函數(shù)y x 4x 2 ( x 1,1)的值域。 例2:求函

10、數(shù)y x 2x 5,x 1,2的值域。2例3:求函數(shù)y 2x 5x 6的值域。3、分離常數(shù)法：1 x例1 :求函數(shù)y的值域。2x 52x x例2 :求函數(shù)y 2的值域.x x 1例3:求函數(shù)y X 1得值域.3x 24、換元法：例1 ：求函數(shù)y 2x . 1 2x的值域。例2：求函數(shù)y x x 1的值域。5、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性，求岀函數(shù)的值域。例1 ：求函數(shù)y x -1 2x的值域。6、數(shù)型結(jié)合法：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域 的重要方法。當(dāng)函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義(如兩點(diǎn)間距離，

11、直線的斜率、截距等)或當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象易 于作出時(shí)，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例1 ：求函數(shù)y | x 3| x 51的值域。【舉一反三】求下列函數(shù)的值域:(1) y5x 3x 3( 2) y(3) y2x2 2x 3x2 x 1(4) y4x1 3x【課后作業(yè)練習(xí)】1.(2008山東卷文改編)設(shè)函數(shù)f(x)2x ,x 1,2,x則f (1, f12) =答案1516解析 f(2)=22+2-2=4, 1,ff(2) 4=1-2=蘭f(丄)=16 f (2)15162.(2009-江西卷文)函數(shù)y=x31的定義域?yàn)榇鸢竫|-4 x0 或 0x 1解析由x 0,2x得 4 x 0 或 0

12、x 1 .3x 40,3.(2008-江西卷文)若函數(shù)y=f (x)的定義域是0,2 ,則函數(shù)g( x)= f (2x)的定義域是x 1答案0,1)解析因?yàn)閒 (x)的定義域?yàn)?, 2,所以對于g(x)中，0W 2x0,2 0, 1+2 1， 011xx2_1_1x21. 0y1).2x 12思維引導(dǎo)函數(shù)的值域問題是函數(shù)知識的重要組成部分，它蘊(yùn)含的思想方法豐富，不同類型函數(shù)模型的值域問題有不同的解法，要視具體問題而定解答(1)(配方法)J y=3x2- x+2=3 x 162232、，二函數(shù) y=3x-x+2在1,3 上單調(diào)增.12當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)有最小值為4;當(dāng)x=3時(shí),原函數(shù)有最大值為26._ 2二函數(shù) y=3x-x+2, x 1,3 的值域?yàn)?,263x 1(2)(分離變量法)y= 一3(x 2) 7 =3+77工 0,二 3+x 23x 1函數(shù)y=的值域?yàn)閥|y R且3.x 2(3)(換元法)設(shè) t = ;1 x 0,貝 U x=1-12,22原函數(shù)可化為 y=1-t +4t =- (t-2 ) +5 (t