定積分的計算方法

1、定積分的計算方法摘要定積分是積分學中的一個基本問題，計算方法有很多，常用的計算方法有四種：(1)定義法、 (2)牛頓一萊布尼茨公式、(3)定積分的分部積分法、(4)定積分的換元積分法。以及其他特 殊方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定積分計算方法，并在系統(tǒng)總結(jié)中簡化計算方法！并 注重在解題中用的方法和技巧。關(guān)鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calcula

2、tion method is a lot of,(1) definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to proble

3、m in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目錄目錄1緒論3定積分的定義 3定積分的性質(zhì) 42常用計算方法5定義法5牛頓萊布尼茨公式 6定積分的分部積分法 7定積分的換元積分法73簡化計算方法.錯誤！未定義書簽。含參變量的積分錯誤!未定義書簽。有理積分和可化為有理積分的積分錯誤!未定義書簽。10104總結(jié)致謝 參考文獻1緒論定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間a,b中圖線下包圍的面積，如圖所示。即由y

4、=O,x=a,x=b,y=f(X所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),將區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間x0,x 1 , (x i,x 2, (X2,X 3n-1 ,Xn,其中 Xo=a,Xn=bo 可知各區(qū)間的長度依次是:A Xi=Xl-Xo, A X2=X2-Xl, Xn=Xn-Xn-1 o在每個子區(qū)間(X i-1 ,X i 中任取一點( 1 ,2,J)，作和式工/(如11設(shè)入=maxAxi, Ax2,-,A xn(gp入是最大的區(qū)間長度)，則當入宀0時，該和式無限接近于某 個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b的定積分，記為其中：a叫做

5、積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)， x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達式，/叫做積分號。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積分，則有n等分的特殊分法：特別注意，根據(jù)上述表達式有，當 a,b區(qū)間恰好為0,1區(qū)間時，則0,1區(qū)間積分表 達式為：他如二輒燉1 =1定積分的性質(zhì)性質(zhì) 1f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxbf (x)dx f(x)dxcaabb性質(zhì) 2 kf (x)dx k f (x)dx, (k 為常數(shù))aabc性質(zhì)3假設(shè)abc f

6、(x)dxaa性質(zhì)4如果在區(qū)間a,b上，恒有f(x)g(x),則f (x)dx g(x)dx a aK性質(zhì) 5 如果在區(qū)間a,b , f (x) 0,則 f(x)dx 0. (ab)a性質(zhì)6設(shè)A4及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則m(b a) bf(x)dx M(b a) , (avb)此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范a圍叫性質(zhì)7若f(x)在a,b上可積，貝U1 f(x) I在a,b上也可積，且 bf(x)dx b f (x)dxaa性質(zhì)8 (積分第一中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上可積,且在a,b上不變號，則在a,b上至少存在一點E,使得：bbf

7、(x)g(x)dx f () g(x)dxaa2常用計算方法定義法定積分的定義法計算是運用極限的思想，簡單的來說就是分割求和取極限。以bI f(x)dx為例：任意分割，任意選取k作積分和再取極限。任意分割任意取k所計算a出的I值如果全部相同的話，則定積分存在。如果在某種分法或者某種k的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者k的取法下計算出來的值不相同，那么則說定積分不存在。如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取 ko但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作a,b的特殊分法，選取特殊的 k,計算出

8、定積分。第一步：分割.b a將區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式。h仝上，那么分割點的n坐標為 a,0 , a h,0 , a 2h,0a (n 1 )h,0 ,b,0 ,k在 Xk i,xnxdxxln X2xd In x 2ln 2 0 x12i2ln 21定積分的換元積分法應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計算。一般情 況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的， 通常在應(yīng)用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相 應(yīng)交換積分的上下限，這樣可以簡化計算。公式：若函數(shù)f （x）在區(qū)間a,b連續(xù)，且函數(shù)x有連續(xù)導數(shù)，當t時,有a (t) b則:f(x)dxa證明

9、:(t) (t)dtf(x)dx F(x)(t)d (t)F(b) F(a)f (t) (t)dt(t)OF () F(b) F(a)ba f(X)dX(t) (t)dt這個公式有兩種用法：b通過(t) (t)dt(t)分別解出積分限與；、若計算f (x)dx7、選取合適的變換X (t),由a,bbY什伴入f MX縛至II、計算例計算定dXo解：設(shè) x asint 有 dx a costdto2 COS2 偵知詈)a時,.a2 x2dx0a、計算 g(t)dt,其中 g(t) f (t)(t)、把g(t)湊成f (t)，(t)的形式；、檢查x(t)是否連續(xù)；、根據(jù)與通過x求出左邊的積分限a,b

10、 ；、計算計算定積分 1=dt。1 丁5 4t例2、解：令,5 4tX,則t5x2Ixdx4，dt21時，X當tx 13當t 1時,1=3* 2X) dx14總結(jié)定積分計算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析定積分的幾種計算方法，來體現(xiàn)定積分的計算。定積分的計算類型很多，要熟練地進行定積分的各種運算，就要對定積分的運算技巧不斷熟悉和掌握。其實，在實際計算中，遇到的題目不一樣，用的計算方法也不一樣。定義 法一般不常用，計算起來比較困難，所以一般不會用定義法計算。常用的就是其他三種，即牛頓萊 布尼茨公式，分部積分法和換元積分法。致謝在老師的悉心指導下我完成了這篇關(guān)于定積分的計算方法的論文，感謝老師以以其嚴謹求實的 教學態(tài)度、高度的敬業(yè)精神和孜孜以求的工作作風對我產(chǎn)生重大影響。在此想對理學 院的老師表示 真誠的感謝，感謝您們給我這次機會，感謝您們知道與教誨。也感謝在學習過程中陪伴我