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文檔簡介
1、第十八講:【理】定積分2計算下列定積分:一、知識梳理1定積分的定義:如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b上有定義,將區(qū)間 a,b 等分成 n21) x(x 1)dx;2) 1 (e2x 1)dx ;1x3) 0 sin2 xdx個小區(qū)間,每個小區(qū)間的長度為 x x b a ,在每個小區(qū)間上 n取一點,依次為 x1, x2 , , xi, , xn ,作和Sn f (x1) x f(x2) xf(xi) xf(xn) x ,如果 x無限趨近于 0(亦即 n趨向于)時, Sn無限趨近于常數(shù) S,那么b稱常數(shù) S為函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b上的定積分,記為 Sf(x)dx,a其中, f (x) 稱
2、為被積函數(shù), a,b 稱為積分區(qū)間, a稱為積分下限,b 稱為積分上限2用定義求定積分的一般步驟: (1)分割;(2)以直代曲;(3)求和;(4) 3定積分的幾何意義:逼近如 圖 , 直 線 y kx分 拋物 線 y x x2 與 x 軸所圍成圖形為面積 相等的兩個部分,求 k 的值如果 f(x)在a,b 上連續(xù)且恒有bf(x) 0,則 f (x)dx 的幾何意義是a4定積分的性質:bkf (x)dx=a1);( k 為常數(shù));ba f1(x) f (x2)dx=bf (x)dxa5微積分基本定理:3)cbf (x)dxf (x)dx c般地,如果f (x)在區(qū)間 a, b上連續(xù),且 F (x
3、) f (x) ,那b么 f (x)dx (牛頓萊布尼茨公式)a二、基礎自測:2 1定積分 2xdx 的值等于 02已知質點的速度 v 10t ,則從 t 0到t t0質點所經過的路程是4曲線 f(x) cos(2 x )(| | )與直線 y x b在 x 處相切, 6求:(1) 的值;( 2)曲線 f(x)在x 0, 時與 x 軸圍成的圖形的 2面積1 2 23已知 0 f (x)dx A, 0 f (x)dx B,則 1 f (x)dx 4 2 (sinx cos x)dx 2215 已知函數(shù) f(x) 3x2 2x 1,若 f (x)dx 2 f ( a)成立,則 a =.6已知在區(qū)間
4、 (a,b)上 f(x) 0 ,且由直線 x a, x b, y 0及b曲線 y f (x)所圍成的圖形面積為 S,則 f x dx=a三、例題分析:31求由 y x3, x 2 , x 2 y 0圍成的圖形面積1)求常數(shù) a 、 b 的值;2)求曲線 y f (x)與x 軸所圍成的圖形的面積四、跟蹤訓練: 班級 組別 學號 姓名 1下列定積分的值等于 1的是 1 1 1 1 1(1) xdx;(2) (x 1)dx ;( 3) 1dx ;( 4)dx 212設函數(shù) f(x) ax2 c(a 0),若 f (x)dx f (x0),0 x0 1,則 x0 的值為 a3已知函數(shù) f(a) 0 s
5、in xdx ,則 f(f(2)4已知 f ( x)x2, 1 x 01,0 x 1,則11 f ( x)dx5如圖直線 y 2 x 與拋物線圍成陰影部分的面積是a 2 26當 a 0 時,計算a2 x2 dxa27已知函數(shù) y x2與 y kx( k 0)的4 圖象所圍成的陰影部分的面積為 4 ,則3k=11如圖,拋物線拋物線上從 A 向 B 運動x 1,( 1 x 0)8函數(shù) f (x)的圖象與 x 軸所圍成的封閉圖形的cos x,(0 x )22y 4 x2與直線 y 3x的兩個交點為 A、B,點 P在1)求使 PAB 的面積最大的 P 點的坐標 (a, b) ;( 2)證明由拋物線與線段 AB 圍成的圖形, 被直線 x a 分為面積相等的兩部分面積為 9計算下列定積分:12) 2 (sin x 2cos
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