06.材料力學(xué)-扭轉(zhuǎn)

1、1 2 目目 錄錄 6.1 6.1 外力偶矩的計算、扭矩及扭矩圖外力偶矩的計算、扭矩及扭矩圖 6.2 6.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 6.3 6.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度計算 6.4 6.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算 3 1 1、螺絲刀桿工作時受扭、螺絲刀桿工作時受扭。 Me 主動力偶主動力偶 阻抗力偶阻抗力偶 扭轉(zhuǎn)的工程實例扭轉(zhuǎn)的工程實例 4 2 2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。 5 3 3、機(jī)器中的傳動軸工作時受扭。、機(jī)器中的傳動軸工作時受扭。 6 7 軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：

2、機(jī)器中的傳動軸、工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。石油鉆機(jī)中的鉆桿等。 扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。 扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（ ）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。 剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。 A B O mm O B A 6. .1 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖 8 一、傳動軸的外力偶矩一、傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)數(shù)

3、與外力偶矩的關(guān)系傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)數(shù)與外力偶矩的關(guān)系： m)(kN9.549 m)(N9549 k k n P n P m m)(kN024. 7 m)(N7024 PS PS n P n P m 其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm） 其中：P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm） 1PS=735.5Nm/s，1kW=1.36PS m)(N P m 9 3 扭矩的符號規(guī)定：扭矩的符號規(guī)定： 二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩： 構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩 mm m

4、T mT mT mx 0 0 x 按右手螺旋法則判斷按右手螺旋法則判斷：右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向， 大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向與截面的外法線方向大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向與截面的外法線方向 相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。 10 T + T - - 11 4 扭矩圖：扭矩圖： 表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目 目 的的 扭矩變化規(guī)律； |T|max值及其截面位置 強(qiáng)度計算(危險截面) x T m 12 例例1 已知一傳動軸， n =300r/min

5、，主動輪輸入 P1=500kW，從 動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。 n A B C D m2 m3 m1 m4解：解： 計算外力偶矩計算外力偶矩 m)15.93(kN 300 500 9.5555. 9 1 1 n P m m)(kN 784 300 150 9.55559 2 32 . n P .mm m)(kN 376 300 200 9.55559 4 4 . n P .m 13 n A B C D m2 m3 m1 m4 1 1 2 2 3 3 求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)） mkN78. 4 0 , 0 21 21 m

6、T mTm x x T1 1 1 x M2 A 分別計算各段的扭矩分別計算各段的扭矩 14 mkN37. 6 , 0- 42 43 mT mT T2 A M2 B M3 2 2 x mkN569784784( , 0 322 322 .).mmT mmT 3 3 D M4 x T3 15 繪制扭矩圖繪制扭矩圖 mkN 569 max .TBC段為危險截面。段為危險截面。 x T n A B C D m2 m3 m1 m4 4.78 9.56 6.37 m)(kN 16 6. .2 薄壁圓筒的剪切薄壁圓筒的剪切 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚 0 10 1 rt （r0：為平均半徑） 一、實驗：一、實

7、驗： 1.實驗前：實驗前： 繪縱向線，圓周線； 施加一對外力偶 m。 17 2.實驗后：實驗后： 圓周線不變；圓周線不變； 縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。 3.結(jié)論：結(jié)論： 圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是 繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。 18 a cd dx b dy 無正應(yīng)力無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)橫截面上各點處，只產(chǎn) 生垂直于半徑的均勻分布的剪生垂直于半

8、徑的均勻分布的剪 應(yīng)力應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方，沿周向大小不變，方 向與該截面的扭矩方向一致。向與該截面的扭矩方向一致。 4. 與與 的關(guān)系：的關(guān)系： l R Rl 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示： 19 二、薄壁圓筒剪應(yīng)力二、薄壁圓筒剪應(yīng)力 大?。捍笮。?tA T tr T TtrrAr TrA A A 2 2 2d d 0 2 0 000 0 A0：平均半徑所作圓的面積。 20 三、剪應(yīng)力互等定理：三、剪應(yīng)力互等定理： 0 故 dxdytdxdyt mz 上式稱為剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力在單元體相互垂直的兩個平面上，

9、剪應(yīng)力 必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線， 其方向則共同指向或共同背離該交線。其方向則共同指向或共同背離該交線。 a cd dx b dy t z 21 四、剪切胡克定律：四、剪切胡克定律： 單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種 應(yīng)力狀態(tài)稱為應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 l 22 T=m 剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時 ( P)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。

10、t A2T 0 Rlr/ 23 G 式中：式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗確定，值可通過實驗確定， 鋼材的鋼材的G值約為值約為80GPa。 彈性模量、剪切彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的彈性模量、剪切彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的 三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān) 系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個可

11、見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個 量就可以推算出來。量就可以推算出來。 )1 ( 2 E G 24 6. .3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度計算 等直圓桿橫截面應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力 變形幾何方面變形幾何方面 物理關(guān)系方面物理關(guān)系方面 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面 25 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。 一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察： 26 二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力： 1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：

12、xx GG d d d tg 1 xd d 距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與該點到圓心的距離與該點到圓心的距離 成正比。成正比。 xd d 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。 27 2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系： 胡克定律： 代入上式得： G x G x GG d d d d x G d d 28 3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系： A x G A x G AT A A A d d d d d d d 2 2 AI A d 2 P 令 x GI T d d P P d d GI T x 代入物理關(guān)系式 得： x G d d O p dA P I T 29 P I T 橫截面上距

13、圓心為 處任一點剪應(yīng)力計算公式。 4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。 IP截面極慣性矩，純幾何量，無物理意義。 30 單位：mm4，m4。AI A d 2 P 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是IP值不同。 32 d2 d 4 2 0 2 2 P D AI D A a. 對于實心圓截面： D d O 31 b. 對于空心圓截面： )1 ( 32 )( 32 d2 d 4 4 44 2 2 2 2 P D dD AI D d A )( D d d D

14、O d 32 應(yīng)力分布 （實心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面構(gòu)件： 提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。 33 確定最大剪應(yīng)力： P I T 由 知：當(dāng) max , 2 D R ) 2 ( 2 2 PP P P P max D IW W T D I T I D T 令 P max W T WP 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3 。 對于實心圓截面：16 3 pP DRIW 對于空心圓截面：16)1 ( 43 PP DRIW 34 三三 、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算 強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件： 對于等截面圓軸：對于等截面圓軸： max P

15、 max W T ( 稱為許用剪應(yīng)力。) 強(qiáng)度計算三方面：強(qiáng)度計算三方面： 校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度： 設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：計算許可載荷： max P T W Pmax WT ）（空： 實： 4 3 3 P 1 16 16 D D W P max W T 35 例例2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖， 許用剪應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強(qiáng)度。 n N mTBC 2 10 3 m)(kN551 m)(N 4151432 10150 3 . . T m 解：解：求扭矩及扭矩圖 計算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度 此軸滿足強(qiáng)度要求。 D3 =135 D2=75 D1

16、=70 AB C m m x MPa23 1607. 0 1055. 1 3 3 P max W T 36 例例3 圖示階梯圓軸，受力如圖。已知該軸大端直徑為 D=60mm，小端直徑為d=40mm，材料的許用應(yīng)力為 ，試校核該軸的強(qiáng)度。 解解：1內(nèi)力分析：畫扭矩圖如圖所示。 MPa100 37 2應(yīng)力分析及強(qiáng)度條件： 故強(qiáng)度不夠。 )(23.159 (MPa)23.159 1056.12 102 (MPa)17.47 104 .42 102 (MPa)3 .94 104 .42 104 )(m1056.12 16 104014. 3 16 )(m104 .42 16 106014. 3 16

17、3max 6 3 2 3 3 6 3 1 2 2 6 3 1 1 1 36 933 2 36 933 1 MPa W T W T W T d W D W P P P P P 38 例例4 橫截面相等的兩根圓軸，一根為實心，許用切應(yīng)力為 ，另一根為空心，內(nèi)外直徑比 ，許用切應(yīng) 力為 ，若僅從強(qiáng)度條件考慮，哪一根圓軸能承受 較大的扭矩。 解解：兩根圓軸橫截面相等，即 (1) MPa80 1 6 .0 MPa50 2 )1 ()1 ( 44 22 2 2 1 2 2 2 2 1 dd dd 2 222 2 2 2 1111 1 1 1 P P P P WT W T WT W T 39 聯(lián)合(1)、(

18、2)式得： 說明第二根圓軸能承受較大的扭矩。 若兩軸的材料也相同，即許用切應(yīng)力相同，則： 說明第二根圓軸能比第一能根圓軸承受較大的扭矩。 1 17 16 )1 (5 )1 (8 2 2 1 2 2 1 T T )1 (5 8 )1 ( 16 5 16 8 43 2 3 1 4 3 2 3 1 22 11 2 1 d d d d W W T T P P (2) 1 17 10 )1 ( )1 ( 2 2 1 2 2 1 T T 40 6. .4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算 一、扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形 由公式 P d d GI T x 知：長為 l一段桿兩截面間相對

19、扭轉(zhuǎn)角為 l x GI T 0 P d d 值不變，則若 T P GI Tl 41 二、單位長度扭轉(zhuǎn)角二、單位長度扭轉(zhuǎn)角 ： (rad/m) d d P GI T x /m)( 180 d d P GI T x 或 三、剛度條件三、剛度條件 或 GPP 反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱 為圓軸的為圓軸的抗扭剛度抗扭剛度。 稱為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角。 (rad/m) P max max GI T /m)( 180 P max max GI T 42 剛度計算的三方面： 校核剛度：校核剛度： 設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：計算

20、許可載荷： max max P G T I P max GIT 有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。 43 例例5 長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用， 如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若=2/m ，試校核此桿的剛 度，并求右端面轉(zhuǎn)角。 解：解：設(shè)計桿的外徑設(shè)計桿的外徑 由 知 max P T W 1 16 D 4 3 P ）（ W 3 1 4 max 1 16 ）（ T D P max W T 而 得： 44 3 1 4 max 1 16 ）（ T D 40Nm x T 代入數(shù)值得： D 0.0226m。 由

21、扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度 180 P max max GI T 45 40Nm x T 180 P max max GI T /m89. 1 )1 (1080 1804032 0 4429 D 右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：為： ）(rad 033. 0 )4( 10 d 2040 d 2 0 2 P 2 0 P 0 P xx GI x GI x x GI T L 代入數(shù)值得： 46 例例66 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已 知：G=80GPa ， =70MPa，

22、=1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？ 解解：圖示狀態(tài)下，扭矩 如圖，由強(qiáng)度條件 知： 500400 N 1 N3N2 A C B T x 7.024 4.21 (kNm) P max W T 16 3 1 P Td W 47 mm467 1070143 42101616 3 6 3 2 . . T d 32 4 P G Td I mm80 1070143 70241616 3 6 3 1 . T d 500400 N1 N3N2 A C B T x 7.024 4.21 (kNm) 由剛度條件 知： 180 P m