儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從a/b/c/d中選擇一項(xiàng)填寫）： a 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： a甲0701 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?青島科技大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 唐坤 2. 蔣春林 3. 楊雪 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 辛友明 日期： 2010 年 9 月 12 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要本文針對儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表的標(biāo)定問題，利用投影

3、積分法、近似替代法、多項(xiàng)式擬合以及誤差修正函數(shù)建立了罐體變位后罐容表的標(biāo)定模型。對于模型一，首先利用投影積分法分別求得無變位與縱向傾斜角度兩狀態(tài)下油位高度對應(yīng)儲(chǔ)油量的理論值；將此理論值與對應(yīng)實(shí)際數(shù)據(jù)對比可得儲(chǔ)油量誤差，再分別對無變位時(shí)誤差散點(diǎn)與兩個(gè)狀態(tài)誤差的差值散點(diǎn)進(jìn)行分析并擬合其曲線，由此便可確立的一次函數(shù)為修正函數(shù)并建立模型：最后通過符號(hào)積分進(jìn)行模型求解。傾斜角度為時(shí)罐容表的標(biāo)定值詳見表1。對于模型二，首先利用投影積分法及傾斜球缺的油面近似替代法分別求得無變位與縱向傾斜角度橫向偏轉(zhuǎn)角度兩狀態(tài)下油位高度對應(yīng)儲(chǔ)油量的理論值；將無變位狀態(tài)的理論值與其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比得儲(chǔ)油量誤差并擬合誤差曲線，由此建

4、立含參數(shù)的修正函數(shù)并建立模型：然后利用計(jì)算機(jī)枚舉搜索算法確定最小誤差對應(yīng)的值分別為，對應(yīng) 的值分別為：，變位后罐容表的標(biāo)定值詳見表2。對于模型二的檢驗(yàn)，可通過對比相同油位高度對應(yīng)標(biāo)定模型的理論值與對應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，依據(jù)所得最大誤差與總?cè)萘恐?.22%判斷此模型較為準(zhǔn)確。關(guān)鍵詞： 投影積分 修正函數(shù) 擬合 計(jì)算機(jī)枚舉搜索算法一、 問題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使

5、用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位

6、后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、 問題分析由于測量時(shí)油位探針的下端固定于油罐底端，因此當(dāng)罐體變位后所測罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量對應(yīng)關(guān)系較變位前發(fā)生變化，即罐容表的標(biāo)定值改變。為研究罐體變位后對罐容表的影響需分別建立無

7、變位和有變位兩種狀態(tài)下罐容表的理論標(biāo)定模型，然后與實(shí)際測量值進(jìn)行誤差分析，對模型進(jìn)行修正得到最終模型。2.1問題一的分析對于問題一，首先，考慮傾斜前后兩種狀態(tài)下的理論模型。對于無變位狀態(tài)儲(chǔ)油罐形狀為兩端平頭的橢圓柱體，所以可直接將其簡化為幾何模型，將儲(chǔ)油量轉(zhuǎn)化為平臥橢圓柱體在某高度時(shí)的容積計(jì)算。此時(shí)油液所在立體為一規(guī)則的立體，可以通過簡單的積分計(jì)算求得。對于變位傾斜角為狀態(tài)，不考慮油浮子達(dá)到罐體頂端后對應(yīng)儲(chǔ)油量變化，并依據(jù)油位高度將傾斜后的幾何模型分為四個(gè)部分計(jì)算。根據(jù)投影法思想，罐內(nèi)油液上表面面積可用其在罐體側(cè)面的投影面積計(jì)算，再通過微元法積分求解每一部分對應(yīng)儲(chǔ)油量，即得傾斜后罐容表的理論值

8、。其次，將所得油位高度對應(yīng)儲(chǔ)油量的理論值與對應(yīng)實(shí)際數(shù)據(jù)對比得儲(chǔ)油量誤差，并對無變位時(shí)誤差與兩狀態(tài)下誤差之差分別進(jìn)行分析并擬合其曲線，利用所得曲線分析傾斜角變化與相應(yīng)的誤差變化，并確立修正函數(shù)并進(jìn)行模型修正，最后通過符號(hào)積分從而可得儲(chǔ)油量和油位高度及變位參數(shù)的關(guān)系2.2問題二的分析對于問題二，要求建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。首先，考慮變位前后兩種狀態(tài)下的理論標(biāo)定模型。變位前的理論模型可分為一個(gè)圓柱體與兩個(gè)球缺體兩部分并通過三重積分求解。對于橫向偏轉(zhuǎn)，通過垂直罐體底部的剖面圖分析可知，不管是否有縱向傾斜，橫

9、向偏轉(zhuǎn)前測量油位高度與偏轉(zhuǎn)后測量高度為一與橫向偏轉(zhuǎn)角b 有關(guān)的固定函數(shù)，因此變位后可先只考慮縱向傾斜再進(jìn)行變量代換即可。而對于縱向傾斜時(shí)的測量高度與對應(yīng)的理論儲(chǔ)油量間的函數(shù)可類似模型一進(jìn)行分段求解。由于罐體傾斜，液面與球缺的高度并不平行，但實(shí)際情況中傾角很小，因此可近似等效為球缺在垂直地面時(shí)液面為某高度的容積計(jì)算，可通過與的幾何關(guān)系求的。球缺在垂直地面時(shí)液面為某高度的容積計(jì)算可通過簡單的多重積分得出。罐身的容積與液高函數(shù)可同模型一利用投影法求的，由此便得變位前后的理論標(biāo)定模型。其次，將無變位狀態(tài)的理論值與其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比得儲(chǔ)油量誤差并擬合誤差曲線，由此分析傾斜角變化與相應(yīng)誤差變化的關(guān)系并建立含參

10、數(shù)的修正函數(shù)對模型進(jìn)行修正。然后利用計(jì)算機(jī)枚舉搜索算法確定最小誤差對應(yīng)的以及的值，由此確定變?yōu)楹蠊奕荼淼臉?biāo)定模型并利用實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)隱形相關(guān)檢驗(yàn)。三、 模型假設(shè)1）實(shí)際情況下儲(chǔ)油罐變位角度不大。2）儲(chǔ)油罐無嚴(yán)重變形，或有微小變形但可忽略不計(jì)。3）進(jìn)出油量與油位高度的測量與時(shí)間點(diǎn)無關(guān)，或在短時(shí)間內(nèi)可忽略其微小影響。4）所測油罐屬性均為內(nèi)測法測得，即可忽略油罐厚度對實(shí)驗(yàn)的影響。5）在試驗(yàn)的短期內(nèi)溫度、氣壓等沒有劇烈變化。四、 符號(hào)說明符號(hào)說明儲(chǔ)油量油位高度實(shí)際儲(chǔ)油罐主體部分身長小橢圓型儲(chǔ)油罐身長兩次變位后的油位高度五、 模型的建立與求解5.1模型一測量時(shí)油位探針的下端固定于油罐底端，因此當(dāng)罐體變位后

11、所測罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量對應(yīng)關(guān)系較變位前發(fā)生變化即罐容表的標(biāo)定值改變。為研究罐體變位后對罐容表的影響需分別建立無變位和變位傾斜角為兩種狀態(tài)下罐容表的標(biāo)定模型，然后進(jìn)行比較分析最終確立罐體變位后對罐容表的影響模型。5.1.1數(shù)據(jù)處理觀察實(shí)驗(yàn)所得進(jìn)出油數(shù)據(jù)，現(xiàn)不妨取無變位時(shí)兩項(xiàng)數(shù)據(jù)作為研究對象。理論上某高度下的容積只與其油液高度有關(guān)，與其狀態(tài)是進(jìn)油還是出油無關(guān)，此處可利用定量分析進(jìn)一步驗(yàn)證。 無變位出油所采集的數(shù)據(jù)為累加出油量而并沒有給定出油前的總儲(chǔ)油量，因此可利用數(shù)據(jù)中最大的油位高度對應(yīng)于進(jìn)口數(shù)據(jù)中累計(jì)進(jìn)油量為，再加上罐內(nèi)油量的初值便可得累加出油量為后油罐內(nèi)剩余油量為，利用此方法可得累計(jì)儲(chǔ)油量對

12、應(yīng)剩余油量。由此可分別作出進(jìn)出油過程油罐容量依據(jù)油位變化的曲線圖一。圖一：進(jìn)出油過程油罐容量依據(jù)油位變化的曲線 由圖一易觀察出進(jìn)出油過程兩曲線重合，即某高度下的容積只與其油液高度有關(guān)，與其狀態(tài)是進(jìn)油還是出油無關(guān)，因此模型建立過程不考慮進(jìn)出油的影響。5.1.2罐容表的理論標(biāo)定模型 無變位狀態(tài) 由圖二可看出油罐形狀為兩端平頭的橢圓柱體，由此將油罐儲(chǔ)油量簡化為幾何圖形的容積進(jìn)行計(jì)算。圖二：小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖1) 圖二中陰影部分即為油罐油位高度為時(shí)對應(yīng)儲(chǔ)油的縱截面，其面積可利用定積分計(jì)算：依據(jù)圖一建立的直角坐標(biāo)可得油罐縱截面橢圓方程：由得的表達(dá)式，由此利用圖一所示陰影部分的范圍積分得其面積為

13、：2) 利用上述對其進(jìn)行二重積分可得油罐油位高度為時(shí)對應(yīng)儲(chǔ)油量為：用定積分公式對求解得罐容表的理論標(biāo)定模型：變位傾斜角為的狀態(tài) 依據(jù)對應(yīng)油位高度可將油罐分為圖三所示五部分，其中罐體變位致使第5部分儲(chǔ)油量范圍內(nèi)對應(yīng)高度均為油位高度的最大值即此時(shí)油浮子到達(dá)油罐頂端，因此可將此罐體簡化為只考慮前四個(gè)部分的幾何模型。圖三：油罐五部分及對應(yīng)縱截面 第1部分1) 確定油位高度由圖三易觀察出儲(chǔ)油量位于第1部分時(shí)油浮子位于罐體底端，即油位高度不隨儲(chǔ)油量增加而增加其值始終保持。2) 儲(chǔ)油量的計(jì)算此時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度無關(guān)因此可直接計(jì)算第1部分的最大儲(chǔ)油量。現(xiàn)利用微元法取油罐內(nèi)厚度為的油層，其對應(yīng)橫截面為圖四中，在

14、平面的投影為，則有：其中可利用橢圓方程進(jìn)行定積分算出，則有：則有厚度為的油層體積為：而第一部分最大儲(chǔ)油量油層厚度為，則有：圖四：油層表面的投影 第2部分(1) 確定油位高度的變換范圍 由圖三易觀察出第2部分油浮子開始隨儲(chǔ)油量增加而上升，可計(jì)算其最大儲(chǔ)油量對應(yīng)油位高度。由此確定油位高度的變化范圍：(2) 儲(chǔ)油量的計(jì)算此時(shí)儲(chǔ)油量由兩部分組成：一部分為第1部分的最大儲(chǔ)油量；另一部分為罐內(nèi)油的上表面到第2部分的下線間的油量，現(xiàn)對其計(jì)算：同樣利用微元法取油罐第2部分內(nèi)厚度為的油層，其對應(yīng)橫截面為圖四，利用其在平面的投影為計(jì)算有： 首先利用定積分計(jì)算，利用圖五(a)中確定積分上限為下線為，由此可得： 則油

15、罐內(nèi)油層上表面到第2部分的下接線間的油量：并利用圖五(a)中可確定上述積分上限為下限為，且有則可得此部分儲(chǔ)油量：由此利用與確定儲(chǔ)油量：圖五：油層正面示意圖 第3部分(1) 確定油位高度變化范圍 第2部分所確定的變化上限為并且此處可作為油位高度變化的下限，而其下線可利用圖三中的劃分部分的相互關(guān)系計(jì)算得，由此確定油位高度的變化范圍：(2) 儲(chǔ)油量的計(jì)算此時(shí)儲(chǔ)油量由兩部分組成：一部分為第2部分的最大儲(chǔ)油量；另一部分為罐內(nèi)油的上表面到第3部分的下線間的油量，現(xiàn)對其計(jì)算：同樣利用微元法取油罐第3部分內(nèi)厚度為的油層，其對應(yīng)橫截面為圖四，利用其在平面的投影計(jì)算有：首先利用定積分計(jì)算，如圖五(b)中油面對應(yīng)映

16、射點(diǎn)為，由可確定積分上限為下線為，由此可得：則油罐內(nèi)油層上表面到第3部分的下線間的油量：，并利用圖五(b)中,且可確定上述積分上限為下限為，則可得此部分儲(chǔ)油量：由此利用與確定儲(chǔ)油量： 第4部分1) 確定油位高度的變換化范圍第3部分所確定的變化上限為且可作為此處油位高度變化的下限，而觀察圖三易知其上限為油位高度的最大值即，由此確立油位高度的變化范圍：2) 確定儲(chǔ)油量此時(shí)儲(chǔ)油量由兩部分組成：一部分為第3部分的最大儲(chǔ)油量；另一部分為罐內(nèi)油的上表面到第4部分的下線間的油量，現(xiàn)對其計(jì)算：同樣利用微元法取油罐第4部分內(nèi)厚度為的油層，其對應(yīng)橫截面為圖四，利用其在平面的投影計(jì)算有：首先利用定積分計(jì)算，如圖五(

17、c)中油面對應(yīng)映射點(diǎn)為，由可確定積分上限為下限為，由此可得：則油罐內(nèi)油層上表面到第4部分的下線間的油量：，并利用圖五(c)中可確定上述積分上限為下限為，則可得此部分儲(chǔ)油量：由此利用與確定儲(chǔ)油量： 最終確立罐容表的理論標(biāo)定模型5.1.3 修正模型的確立 理論值與實(shí)際值的對比 根據(jù)上述所得油罐儲(chǔ)油量與油位高度的理論對應(yīng)關(guān)系求解進(jìn)油過程中實(shí)驗(yàn)所得油位高度的數(shù)據(jù)對應(yīng)儲(chǔ)油量的理論值，并分別在兩種狀態(tài)下將此理論數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，并求得同一油位高度對應(yīng)的理論儲(chǔ)油量的值與實(shí)際儲(chǔ)油量的值間的誤差，如圖六所示。圖六：理論值與實(shí)際值的對比圖圖六中易看出每個(gè)狀態(tài)的兩條曲線并不完全重合，即油罐油位高度為時(shí)對應(yīng)

18、儲(chǔ)油量的理論值較實(shí)際值存在誤差，且兩個(gè)狀態(tài)所產(chǎn)生的誤差并不相同，但考慮到兩種狀態(tài)的測量環(huán)境和測量時(shí)間可能對兩種誤差引起的差別非常小，因此可猜測此誤差的差距是由傾斜角度的不同直接引起的。因此下面著重分析傾斜角度對誤差的影響。 誤差曲線擬合 首先利用最小二乘法對無變位狀態(tài)（=0）下所得誤差散點(diǎn)進(jìn)行擬合。擬合過程中通過對比幾條擬合曲線的擬合優(yōu)度最終確立無變位狀態(tài)下的誤差曲線為： 為研究傾斜角由0變到時(shí)上述誤差產(chǎn)生的變化可將傾斜后所得誤差與無傾斜時(shí)所得誤差進(jìn)行比較，并得到兩種誤差的差值。因此可對此差值的散點(diǎn)利用最小二乘法進(jìn)行擬合，擬合過程中同樣通過對比幾條擬合曲線的擬合優(yōu)度最終確立傾斜角改變前后兩誤差

19、的差值曲線： 此處即為由于傾斜角由0變到所導(dǎo)致的誤差。圖七：誤差曲線擬合 確立修正模型 根據(jù)理論值與實(shí)際值對比過程中對影響誤差的因素分析可假設(shè)此處誤差只與傾斜角有關(guān)，則利用上述擬合函數(shù)建立儲(chǔ)油量依據(jù)油位高度及傾斜角的誤差模型：利用及對應(yīng)的誤差計(jì)算上式中系數(shù)，則可確立修正模型為：5.1.4罐體變位（傾斜角為）后對罐容表的影響模型利用上述所得傾斜角為時(shí)的罐容表的理論標(biāo)定模型與修正模型可建立罐體變位后對罐容表的影響模型：5.1.5模型求解 利用積分符號(hào)對所得罐容表的標(biāo)定模型計(jì)算油位高度間隔為的罐容表標(biāo)定值見表1。表1：變?yōu)楹笥臀桓叨乳g隔為的罐容表標(biāo)定值油位高度（cm）罐容表標(biāo)定值（l）油位高度（cm

20、）罐容表標(biāo)定值(l)油位高度（cm）罐容表標(biāo)定值(l)油位高度（cm）罐容表標(biāo)定值(l)13.5331629.83611764.92913046.9226.5532660.76621807.50923087.49310.2433692.36631850.23933127.74414.3534724.59641893.08943167.65520.4635757.43651936.05953207.21627.5336790.87661979.13963246.39736.2337824.88672022.29973285.18846.1038859.44682065.52983323.5595

21、6.3939894.53692108.82993361.481070.1240930.13702152.161003398.941184.2441966.22712195.531013435.9212100.43421002.78722238.921023472.3813117.58431039.79732282.311033508.3014136.43441077.25742325.691043543.6615157.33451115.12752369.041053578.4116180.27461153.39762412.361063612.5417204.53471192.0577245

22、5.621073646.0018228.45481231.08782498.811083678.7719254.94491270.46792541.911093710.8020281.49501310.17802584.921103742.0521309.27511350.21812627.811113772.4722338.53521390.55822670.571123802.0123368.03531431.19832713.181133830.6224398.18541472.10842755.641143858.2225429.37551513.27852797.911153884.

23、7326461.36561554.68862840.001163910.0627493.84571596.32872881.871173934.0528527.26581638.19882923.521183956.4529560.26591680.25892964.921193977.1230595.28601722.50903006.061203996.10 通過對比表1數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)在個(gè)別油位高度處仍對應(yīng)儲(chǔ)油量誤差，但整體吻合較好，即所建模型準(zhǔn)確性較高。5.2模型二5.2.1罐體無變位時(shí)罐容表的理論標(biāo)定模型 球缺部分儲(chǔ)油量的計(jì)算對于空間幾何體（圖八(a)中陰影部分）的體積可用三重積分

24、來計(jì)算，由圖八(a)易看出幾何體為球缺一部分，且由在坐標(biāo)上的投影（圖八(b)陰影部分）易知在軸上的變化范圍為，再由在坐標(biāo)上的投影（圖八(c)陰影部分）只在軸上的變化范圍為，在軸上變化范圍為，由此可得：圖八：球缺部分儲(chǔ)油量示意圖 確立罐容表理論標(biāo)定模型圓柱體部分：可直接利用模型一中無變位狀態(tài)油位高度為時(shí)儲(chǔ)油量的計(jì)算方法，且此時(shí)有，則有：球缺部分：此時(shí)球缺部分油面高度即為油罐的油位高度，則有：得罐容表理論標(biāo)定模型：5.2.2罐體變位后罐容表的理論標(biāo)定模型 橫向偏轉(zhuǎn)（角度）現(xiàn)利用圖九(a)分析橫向偏轉(zhuǎn)前后油位高度的關(guān)系。此正截面為以為半徑為原點(diǎn)為的圓，且由于圓的特殊性使得偏轉(zhuǎn)前后油面保持不變，但偏轉(zhuǎn)

25、前后其油位探針?biāo)谥本€由轉(zhuǎn)變?yōu)?，因此圖九(a)中兩條直線上的線段便可表示偏轉(zhuǎn)前后油位高度。現(xiàn)依據(jù)高度分為三種情況討論： 時(shí)此時(shí)有，其中，且，則可得： 時(shí)此時(shí)有，由可得： 時(shí) 此時(shí)有，其中，且，則可得： 且經(jīng)驗(yàn)算只此時(shí)可作為三種情況的一般表達(dá)式。圖九：橫向偏轉(zhuǎn)角度與縱向傾斜角度正截面圖 縱向傾斜（角度）1）傾斜油罐圓柱體部分利用圖九(b)將此油罐的圓柱體分為三個(gè)部分考慮，其對應(yīng)儲(chǔ)油量的求解方法與模型一中求解方法一致，因此可直接利用圓與橢圓的相似代換求得此圓柱體的儲(chǔ)油量與油位高度的對應(yīng)關(guān)系： 其中： 2）傾斜球缺部分 如圖九(b)所示陰影部分分別為罐體傾斜后左、右球缺內(nèi)儲(chǔ)油量，可將其轉(zhuǎn)化為無變位時(shí)

26、的儲(chǔ)油量計(jì)算。由于傾斜角度非常小因此可近似認(rèn)為圖中分別為無變位時(shí)左、右兩球缺達(dá)到的油位高度，因此可利用模型二中無變位時(shí)球缺儲(chǔ)油量的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。由圖九(b)各線段分析知， ，代入上式得： 罐容表的理論標(biāo)定模型的最終確立 傾斜角度時(shí)利用公式：總出油量=圓柱體儲(chǔ)油量+球缺儲(chǔ)油量可得 利用偏轉(zhuǎn)角度前后油位高度關(guān)系式將上式中替換為可最終確立兩次變位后儲(chǔ)油量與油位高度的對應(yīng)關(guān)系：5.2.3修正函數(shù)的確立 數(shù)據(jù)分析觀察問題二中實(shí)際儲(chǔ)油罐的采集數(shù)據(jù)，其中有出油量與顯示油量容積兩列，理論上分析任意采集時(shí)間對應(yīng)兩項(xiàng)數(shù)據(jù)之和應(yīng)相同，但實(shí)際數(shù)據(jù)顯示每個(gè)時(shí)間對應(yīng)兩數(shù)據(jù)之和均有差異。因此考慮油罐發(fā)生了傾斜或偏轉(zhuǎn)，而

27、顯示油量容積數(shù)據(jù)為油罐無變位時(shí)相應(yīng)顯示油高的對應(yīng)值，由此可從采集數(shù)據(jù)中提取顯示油高對應(yīng)無變位時(shí)的油量容積以及對應(yīng)發(fā)生傾斜或偏轉(zhuǎn)時(shí)的儲(chǔ)油量兩類數(shù)據(jù)。 無變位狀態(tài)下誤差分析利用數(shù)據(jù)中顯示油量容量作為無變位時(shí)顯示油高對應(yīng)的實(shí)際值，將其與上述所建罐容表的理論標(biāo)定模型進(jìn)行比較并計(jì)算相同油位高度對應(yīng)儲(chǔ)油量的理論值與實(shí)際值之差，將其作為誤差。并利用最小二乘法對圖十誤差散點(diǎn)進(jìn)行擬合。擬合過程中通過對比幾條擬合曲線的擬合優(yōu)度最終確立無變位狀態(tài)下的誤差曲線為：圖十：儲(chǔ)油量誤差擬合曲線 確立修正函數(shù)忽略橫向偏轉(zhuǎn)角度對誤差的影響，可依據(jù)模型一中修正模型的建立過程在此類似地建立修正函數(shù)，其中為上述建立的無變位狀態(tài)下的誤

28、差擬合曲線。由于此處偏轉(zhuǎn)角度與傾斜角度均為未知量，則表達(dá)式可由模型一中變?yōu)楹蟮恼`差散點(diǎn)圖的大致走向確定為二次函數(shù)形式，即：。修正函數(shù)最終確立為：5.2.4建立模型并確定變位參數(shù) 利用上述所得罐容表理論標(biāo)定模型與修正函數(shù)可確立罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)間含待定系數(shù)的一般關(guān)系： 下面利用計(jì)算機(jī)枚舉搜索算法求解誤差最小時(shí)對應(yīng)以及的取值，算法步驟：step1 輸入函數(shù)估算確定的搜索區(qū)間分別為：0，,0，-100，100, -100， 100, -100，100的取值為附錄二給的實(shí)驗(yàn)測量值； step2 當(dāng)時(shí),導(dǎo)入實(shí)驗(yàn)測量，得到相應(yīng)值并分別與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做差后平方再相加，得到并保存準(zhǔn)確性指標(biāo)；step3

29、 如果，轉(zhuǎn)第二步并令，否則令并轉(zhuǎn)第四步；step4 如果，轉(zhuǎn)第二步并令，否則并轉(zhuǎn)第五步；step5 如果，轉(zhuǎn)第二步并令，否則并轉(zhuǎn)第六步；step6 如果，轉(zhuǎn)第二步并令，否則并轉(zhuǎn)第七步；step7 如果，轉(zhuǎn)第二步并令，否則轉(zhuǎn)第八步；step8 比較所有保存的，選擇最小時(shí)所對應(yīng)參數(shù)值作為最佳參數(shù)。 為確保所求數(shù)值的精確性可適當(dāng)改變其搜索區(qū)間。通過編程實(shí)現(xiàn)上述算法并求解得：由此確立傾斜偏轉(zhuǎn)后罐容表的標(biāo)定模型：5.2.5模型求解及檢驗(yàn) 模型求解利用積分符號(hào)對所得罐容表的標(biāo)定模型計(jì)算油位高度間隔為的罐容表標(biāo)定值見表2。表2：變?yōu)楹笥臀桓叨乳g隔為的罐容表標(biāo)定值油位高度（cm）罐容表標(biāo)定值（l）油位高度（c

30、m）罐容表標(biāo)定值(l)油位高度（cm）罐容表標(biāo)定值(l)101302.3411021150.3621048751.38202053.2612023902.8722051248.09303279.1113026691.3423053636.22404862.3114029486.9624055871.47505691.1515032305.0725057912.05608771.6216035142.5126059718.787011003.1517037934.6627061254.818013304.2518040715.6928062407.839015867.5319043465.872

31、9063020.4110018483.0820046148.6230063581.75 模型檢驗(yàn)對于模型二的檢驗(yàn)可通過對比相同油位高度對應(yīng)標(biāo)定模型的理論值與對應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之差得儲(chǔ)油量誤差，得圖十一為其散點(diǎn)圖。由圖易觀察出模型值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之差均保持在內(nèi)，則絕對誤差為最大誤差與油罐的最大容量之比，計(jì)算得其值為0.22%，則說明模型二較準(zhǔn)確。圖十一：誤差檢驗(yàn)圖六、 模型評(píng)價(jià)及推廣6.1模型評(píng)價(jià) 模型優(yōu)點(diǎn)： 1）在計(jì)算理論油液體積時(shí)運(yùn)用了投影面積，等效近似等方法，使計(jì)算變得簡單易行。 2）在求變位后罐容表的標(biāo)定模型時(shí)，為抵消系統(tǒng)誤差引入了與傾角有關(guān)的補(bǔ)償函數(shù)對理論模型進(jìn)行修正，是模型更加準(zhǔn)確且具有普適性

32、。3）靈活運(yùn)用了軟件進(jìn)行大規(guī)模的積分、數(shù)據(jù)擬合等運(yùn)算。4）模型二建立過程中與模型一的修正標(biāo)定函數(shù)聯(lián)系分析，即簡便了問題二得到求解，又使模型一的到了與推廣。 模型缺點(diǎn)：1）模型將油罐在不同變位情況下的各種偏差（有由于傾角變化引起的也有由其他因素引起的），均轉(zhuǎn)化為由傾角引起的情況，這就在某些情況下導(dǎo)致誤差較大。2）在模型二中確定參數(shù)時(shí)，尚可大體估算區(qū)間，但對二次函數(shù)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)則盲目性較大，只能盡可能擴(kuò)大搜索區(qū)間，這就增大了計(jì)算機(jī)的搜索難度和搜索速度。6.2模型推廣對模型進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)后便可用于各種底面，各種傾角儲(chǔ)油罐的容積計(jì)算與罐容表標(biāo)定，并且可推廣運(yùn)用到其他各種涉及容器容積測定的行業(yè)。 參考文

33、獻(xiàn)1陳佰軍 左振濱，編制臥式儲(chǔ)油罐容量表的計(jì)算機(jī)模型，黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報(bào)，第7卷 第2期：p55至p58頁，1993。2戰(zhàn)景林 王春平 王喜忠，傾斜橢平頂臥式罐容積的計(jì)算，中國計(jì)量，技術(shù)卷 檢定、校準(zhǔn)與測試：p73頁，2006.4。3王鄭耀，臥式加油灌剩余油料體積的計(jì)算，4國家技術(shù)監(jiān)督局，中華人民共和國國家計(jì)量檢定規(guī)程，jjg2261996。5歐陽光中 朱學(xué)炎，數(shù)學(xué)分析（第三版 下冊），高等教育出版社，2008.4，附錄程序一：%求變位前的實(shí)際、理論值x1=0.15902 0.17614 0.19259 0.2085 0.22393 0.23897 0.25366 0.26804 0.28

34、216 0.29603 0.30969 0.32315 0.33644 0.34957 0.36256 0.37542 0.38816 0.40079 0.41332 0.42576 0.43812 0.4504 0.46262 0.47478 0.48689 0.49895 0.51097 0.52295 0.5349 0.54682 0.55872 0.57061 0.58248 0.59435 0.60622 0.61809 0.62996 0.64185 0.65375 0.66567 0.67763 0.67854 0.69053 0.69082 0.70285 0.71491 0.

35、72703 0.73919 0.75142 0.7637 0.76416 0.77653 0.78899 0.80154 0.81419 0.82695 0.83983 0.85284 0.866 0.87932 0.89282 0.89284 0.90653 0.92045 0.93461 0.94905 0.9638 0.97891 0.99443 1.01043 1.02699 1.04425 1.06237 1.08159 1.10233 1.12532 1.15236 1.19349;y1=0.312 0.362 0.412 0.462 0.512 0.562 0.612 0.662

36、 0.712 0.762 0.812 0.862 0.912 0.962 1.012 1.062 1.112 1.162 1.212 1.262 1.312 1.362 1.412 1.462 1.512 1.562 1.612 1.662 1.712 1.762 1.812 1.862 1.912 1.962 2.012 2.062 2.112 2.162 2.212 2.262 2.312 2.31583 2.36583 2.36706 2.41706 2.46706 2.51706 2.56706 2.61706 2.66698 2.66883 2.71883 2.76883 2.818

37、83 2.86883 2.91883 2.96883 3.01883 3.06883 3.11883 3.16883 3.16891 3.21891 3.26891 3.31891 3.36891 3.41891 3.46891 3.51891 3.56891 3.61891 3.66891 3.71891 3.76891 3.81891 3.86891 3.91891 3.96891;a=0.6;b=0.89;d=2.45;y=(b*d/a)*(x1-a).*sqrt(x1*2*a-x1.2)+a*b*d*asin(x1/a-1)+(pi/2)*a*b*dt=y-y1plot(1000*x1

38、,1000*y1,r,1000*x1,1000*y,g,1000*x1,1000*t,*)legend(實(shí)際值,理論值,誤差點(diǎn)值,location,northwest);title(實(shí)際理論誤差);程序二：%對傾斜角第一部分的積分syms x y a b t d1;a=0.6;b=0.89;d1=0.4;% t=(4.1/180)*pi; %t為縱向傾斜角 f1=2*b*sqrt(1-x2/a2);f1=int(f1,x,-a,y/cos(t)-a);v=int(f1/sin(t),y,0,d1*sin(t)%求的積分函數(shù)function p1=pp1(t)p1=-89/45000*(81*p

39、i*cos(t)+16*(cos(t)2+3*cos(t)*sin(t)-1)/cos(t)2)(3/2)*cos(t)-108*asin(1/3/cos(t)*(2*sin(t)-3*cos(t)*sin(t)+162*asin(1/3/cos(t)*(2*sin(t)-3*cos(t)*cos(t)-108*(cos(t)2+3*cos(t)*sin(t)-1)/cos(t)2)(1/2)*cos(t)-54*pi*sin(t)/sin(t);%對傾斜角第二部分的積分syms x h a b d1 d2 t;a=0.6;b=0.89;d1=0.4;d2=2.05;% t=4.1/180*p

40、i; %t為縱向傾斜角 f1=2*b*sqrt(1-x2/a2);f1=int(f1,x,-a,h+d1*tan(t)-a);v=int(f1*cos(t)/sin(t),h,0,h)%求的積分函數(shù)function p2=pp2(h,t)p2=-89/45000*(-162*asin(1/3/cos(t)*(2*sin(t)-3*cos(t)*cos(t)-16*(cos(t)2+3*cos(t)*sin(t)-1)/cos(t)2)(3/2)*cos(t)+108*asin(1/3/cos(t)*(2*sin(t)-3*cos(t)*sin(t)+108*(cos(t)2+3*cos(t)*

41、sin(t)-1)/cos(t)2)(1/2)*cos(t)-135*cos(t)*pi*h+2*cos(t)*(-25*h2-20*h*tan(t)+30*h-4*tan(t)2+12*tan(t)(3/2)-108*cos(t)*tan(t)*asin(5/3*h+2/3*tan(t)-1)-54*cos(t)*(-25*h2-20*h*tan(t)+30*h-4*tan(t)2+12*tan(t)(1/2)+162*cos(t)*asin(5/3*h+2/3*tan(t)-1)-270*cos(t)*asin(5/3*h+2/3*tan(t)-1)*h)/sin(t)+16.744e-0

42、04; %對傾斜角第三部分的積分syms x h a b d1 d2 t;a=0.6;b=0.89;d1=0.4;d2=2.05;f1=2*b*sqrt(1-x2/a2);f2=2*b*sqrt(1-x2/a2);f1=int(f1,x,-a,h+d1*tan(t)-a);f2=int(f2,x,-a,h-d2*tan(t)-a);v=int(f1-f2)*cos(t)/sin(t),h,d2*tan(t),h)%求的積分函數(shù)function p3=pp3(h,t)p3=89/1440000*(2592*pi*cos(t)+343*(24*cos(t)*sin(t)-49+49*cos(t)2

43、)/cos(t)2)(3/2)*cos(t)-3024*(24*cos(t)*sin(t)-49+49*cos(t)2)/cos(t)2)(1/2)*cos(t)+21168*asin(1/12/cos(t)*(-49*sin(t)+12*cos(t)*sin(t)-5184*asin(1/12/cos(t)*(-49*sin(t)+12*cos(t)*cos(t)-5184*cos(t)*asin(5/3*h+2/3*tan(t)-1)-432*cos(t)*(-400*h2+1640*h*tan(t)+480*h-1681*tan(t)2-984*tan(t)(1/2)+5184*cos(

44、t)*asin(5/3*h-41/12*tan(t)-1)+1728*cos(t)*(-25*h2-20*h*tan(t)+30*h-4*tan(t)2+12*tan(t)(1/2)-64*cos(t)*(-25*h2-20*h*tan(t)+30*h-4*tan(t)2+12*tan(t)(3/2)+cos(t)*(-400*h2+1640*h*tan(t)+480*h-1681*tan(t)2-984*tan(t)(3/2)+8640*cos(t)*asin(5/3*h+2/3*tan(t)-1)*h+3456*cos(t)*tan(t)*asin(5/3*h+2/3*tan(t)-1)+

45、17712*cos(t)*tan(t)*asin(5/3*h-41/12*tan(t)-1)-8640*cos(t)*asin(5/3*h-41/12*tan(t)-1)*h)/sin(t)+0.1512553;%對傾斜角第四部分的積分syms x h a b d1 d2 t;a=0.6;b=0.89;d1=0.4;d2=2.05;% t=4.1/180*pi;f1=2*b*sqrt(1-x2/a2);f1=int(f1,x,-a,a-h+d2*tan(t);v=int(f1*cos(t)/sin(t),h,2*a-d1*tan(t),h)%求的積分函數(shù)function p4=pp4(h,t)

46、p4=-89/1440000*(5184*asin(1/12/cos(t)*(-12*cos(t)+49*sin(t)*cos(t)+5184*pi*cos(t)-1728*pi*sin(t)-3024*(24*cos(t)*sin(t)-49+49*cos(t)2)/cos(t)2)(1/2)*cos(t)+343*(24*cos(t)*sin(t)-49+49*cos(t)2)/cos(t)2)(3/2)*cos(t)-21168*asin(1/12/cos(t)*(-12*cos(t)+49*sin(t)*sin(t)-4320*cos(t)*pi*h+432*cos(t)*(480*h

47、-984*tan(t)-400*h2+1640*h*tan(t)-1681*tan(t)2)(1/2)-5184*cos(t)*asin(-1+5/3*h-41/12*tan(t)-cos(t)*(480*h-984*tan(t)-400*h2+1640*h*tan(t)-1681*tan(t)2)(3/2)-17712*cos(t)*tan(t)*asin(-1+5/3*h-41/12*tan(t)+8640*cos(t)*asin(-1+5/3*h-41/12*tan(t)*h)/sin(t)+3.9589;程序三function y=th(h,t) %縱向傾斜角度%求分段函數(shù)的各個(gè)理論值

48、if h=2.05*tan(t) y=pp2(h,t);elseif h=2*0.6-0.4*tan(t) y=pp3(h,t);else y=pp4(h,t);end%模型一的修正函數(shù) function y=xzh1(h,t)%變位之前對誤差的擬合函數(shù)p3=-0.08403*h3+0.1506*h2+0.05822*h-0.001711; %變位前后對誤差的差值的擬合函數(shù)q3=0.3925*h3-1.206*h2+0.9652*h-0.223; y=th(h,t)*1000-(p3+t/(4.1/180*pi)*q3)*1000;%作出修正函數(shù)的曲線clear all;clct=4.1/18

49、0*pi;for i=1:120 a(i)=xzh1(0.01*i,t); b(i)=th(0.01*i,t)*1000;endplot(a,*);hold on;plot( b,*r);hold on; plot( a-b,*g);程序四function y=tou(h)%求取球缺的體積r=1.5;r=1.625;d=h/1000; %把油高一千等分t=0;y=0;for i=1:1000 u=sqrt(r2-(r-t)2); t=t+d; y=y+(r2-(r-t)2)*acos(r-1)/u)-(r-1)*sqrt(2*r-1-(r-t)2)*d;end%求取球身的表達(dá)式syms x y

50、 z h r r lr=1.5;r=1.625;l=8;f1=1;f2=int(f1,x,-sqrt(r2-z2),sqrt(r2-z2);f3=int(f2,z,-r,h-r);f4=int(f3,y,-2,6)%求球體的總體積function v=zong(h)f4=9*pi+8*(-h*(h-3)(1/2)*h-12*(-h*(h-3)(1/2)+18*asin(2/3*h-1);v=f4+tou(h)*2%作出模型二的誤差曲線a=xlsread(d:bb.xls,1,i2:j604);h=a(:,1);y1=a(:,2);r=1.5;r=1.625;d=h/1000;t=0;y=0;u

51、=sqrt(r2-(r-t)2);y=9*pi+8*(-h.*(h-3).(1/2).*h-12*(-h.*(h-3).(1/2)+18*asin(2/3*h-1)+(y+(r2-(r-t)2)*acos(r-1)/u)-(r-1)*sqrt(2*r-1-(r-t)2)*d)*2;plot(1000*h,1000*y1,r,1000*h,1000*y,g,1000*h,1000*(y1-y),*)legend(實(shí)際值 ,理論值,誤差點(diǎn)值,location,northwest);程序五% 作出區(qū)域一的總體積function v11=v11(h,t)syms h t r f h %t表示為縱向角度r=1.5;f=1/3;h=h+2*tan(t);v1=1/24*(-81*asin(1/3*(-4*sin(t)+3*cos(t)/cos(t)*cos(t)+16*2(1/2)*(3*cos(t)*sin(t)-2+2*cos(t)2)/cos(t)2)(3/2)*cos(t)+108*asin(1/3*(-4*sin(t)+3*cos(t)/cos(t)*sin(t)-54*2(1/2)*(3*cos(t)*sin(