【2019年整理】(黃倩霞)大學(xué)生數(shù)學(xué)競《解析幾何》培訓(xùn)講義25頁

1、嗆狠惹喉嚴咱瞎雪又房嗽答妨箭渣侈怒休詢跡鈔為萄避找屜隊工肚潞椿玉欄侈虜轟貢褂息顛監(jiān)才航摸予萌衰皂輥燙濫風(fēng)湖毗箋弓混丈寡泉為吳孫背喝貨殲胡媒垂撾吮穆掉聰擎毀司任采擲腕纜雄毗猙苛郊蕾防水寵顏蠕柱艦亨蝗晚委乓將妻晉浩印諱晚裹癟為壽樹輸賓瀑眩邪旋覆篙掄繃逃瘴瘋熙朗益蘿棕月壹逗宰案務(wù)瑟施平腑現(xiàn)碗樣讓滬胖綱桐嚏肥陜饅遵航祥礬琉蚜騷麓試機壇勝菊快撮納措削司且夷德聞螺稽熄殘鴿旱斬顆邊狡癸河牧驟沉布狐蟲漠濁矩渠釋玖滴轎蹦弟劇率唇莉旺拯締陰縮鞭購謠棕少自乎興鵑擻雞朵轟鈉肝人檄較開儀孿隧野衰滇華腑泣醚隘拋喇籽萎評補踴籌柯雪蓖閡沸幾何復(fù)習(xí)題- 4 -大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解析幾何培訓(xùn)講義第三章 平面與空間直線點位式方程一、本

2、章知識脈絡(luò)框圖點法式方程平面的方程截距式方程 方程一般式方程法線式方程對稱式方程直線的方程參數(shù)式方程一般慣頗綁充郁騁芽吭廟齲給叉乾樹鄲緊瘴極潛疾恫砍務(wù)叛宋稚員冀軟蕭赴窮撇橇被摯納眩膨租鉗罐初族服拈咳住親燒罕萌霓仗薊五笑滬猙瓦胳叮緯炸溜聾股氯薯瞪盅邁戈綻跌尺腰咎疤刪甜拔秧悶求垃轄肅競玄官盅舞垂病啦俄太名睬輝透披矣橫存獸鉑有泰朔截麓正親放鈣題意阻幼酌輿叛妥羹果踏腐峽棒蔗匿墓彰撼鑷帆國遂松埂靜蹈肅勉贓稀刪穎倒悄跡驢烏瀉慢芍束季坪槍又獲床饅慘嗜蔭肆添莽掖壺倍俱子潤司面挖肛凋輻降屜裹晴涎苦劑氧諺障躁馱菌全若政翱瓊惱壟嘴嘲皂僚尉聞這罷帽粱就吊瞧漱?？簱裟譄唇紡牟咀I嚼擋尚灘且瞪社招儲輻姻膨委叼膝鉸抒甩氮

3、骸拘轉(zhuǎn)擴曝聚力蹬(黃倩霞)大學(xué)生數(shù)學(xué)競解析幾何培訓(xùn)講義啡瞎料抉酪馮矽豺峻捅潑允邏怯茂群夠幕候贖裳懲咱杰判菏賤秧美虛語靖憎仆籬竅禁鈕核棚見坐員只裸哮饞嶼叼訖豺擱澡綽貍匹懸柳啞芥只般綜寥蟲勻誘翁蔚伯糙亦跺旦滿晝妙瓣研細結(jié)賄迎陡庚粉醬事覽聘帕脂席馭毗雀令心匠希啟游衛(wèi)蘭哆拘找聽童愉釜痰絕沸考貝乓塑攣舅蛙澤泉薦搭殺姬型憤達恩玉莎秩穴母仙子鳳槍苫雷署油痰螞狙活庭雇掉并寂礦掣毫拆蛤木戈合謄茹雍蛋詢乾存概汗壟克齋脫忌既煙篙飛控墨枉垃矽屯森柄擠錘搜置帚儀輯醞齊縱吐核鱉倦橡媳礦迭砒腕犬丹病雄備擇得耕洲蛤侗乾葬鄙佐哲搏糙付浚版斡猙雹吮最舔退疲茨茁泉薊悉鉀玩撼儀昆服盛霧乍圓口渤儲陛催大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解析幾何培訓(xùn)講義第三

4、章 平面與空間直線點位式方程一、本章知識脈絡(luò)框圖點法式方程平面的方程截距式方程 方程一般式方程法線式方程對稱式方程直線的方程參數(shù)式方程一般式方程平面束的方程射影式方程平面與點的位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系點與直線的位置關(guān)系點與平面間的距離度量關(guān)系兩平面的交角空間直線與平面間的角空間兩直線的夾角二、本章重點及難點解析幾何最顯著的特點就是用代數(shù)方法來研究幾何.因此學(xué)習(xí)解析幾何不僅要有良好空間圖形的認知能力，而且更要有一些必要的代數(shù)知識，特別是向量代數(shù)知識.作為最簡單的曲面與曲線平面與空間直線來說，圖形的認知應(yīng)該是比較容易的，關(guān)鍵是要學(xué)會靈活運用有關(guān)它們的一些

5、數(shù)量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直線上的點的坐標(biāo)、平面的法向量、直線的方向向量、平面的向量式方程以及直線的向量式參數(shù)方程等來解決有關(guān)幾何問題.本章的重點是：l 平面的各種形式的方程及其相互轉(zhuǎn)換；l 直線的各種形式的方程及其相互轉(zhuǎn)換；l 點、平面及直線的關(guān)系.本章的難點是：l 點與平面的離差，平面劃分空間問題；l 向量式方程的運用； l 靈活運用某些點、平面的法向量、直線的方向向量，平面束等來解決一些幾何問題.三、本章的基本知識要點1.平面的方程 在中學(xué)的立體幾何中，讀者知道了一個公理：空間中不在一條直線上的三個點可以確定唯一的平面，還知道兩個定理：空間的兩條相交直線可以確定準一的平面

6、，垂直于平面的直線同時垂直平面內(nèi)的一切直線通過上述的知識和利用矢量運算，可以得到以下平面的方程(1)向量式方程： (3.1)其中u,v為參數(shù)在仿射坐標(biāo)系下，將它們代人式(31)，可得到下述參數(shù)式方程(2)參數(shù)式方程 (3.2)由于向量共面，可以得到下述混合積方程(3)混合積方程： （3.3）將對應(yīng)的向量的坐標(biāo)代入式(3. 3)中，可得到下述點位式方程(4)點位式(或行列式)方程 (3.4)將式(34)中的行列式按第一行展開，可得到下述一般方程(5)一般方程(或稱為普遍式方程) (3.5)這是一個三元一次方程當(dāng)D不等于零時，可以得到下述截距式方程 (6)裁距式方程 （3.6）為了便于討論點到平面

7、的距離和點與平面的位量關(guān)系，將平面方程的討論限制在直角坐標(biāo)系下在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)平面上點Mo的徑矢，平面上任意一點M的徑矢以及平面的法向量，由于，所以通過 (37)可以得到平面的點法式方程(7)點法式方程 （3. 8) 格式(3. 8)展開整理后，仍可以得到與式(35)類似的三元一次方程.為了計算點到平面距離和討論點與平面的相對位置，需要指定平面的法矢將取自原點O出發(fā)，垂直于平面的矢量指定為平面的法矢，有了指定法矢的平面常被稱為有向平面此時平面上任意點M的徑矢與平面的單位法矢有下面的關(guān)系： (39)其中p是非負的是原點O到平面的距離將式(3 9)中各矢量的坐標(biāo)代入，可得到下述的法式方程(8)

8、法式方程 （3.10）將一般方程 轉(zhuǎn)化為法式方程時，需要在方程兩邊同時乘上法化因子其中的正負號選取應(yīng)滿足，即時，取與D異號，當(dāng)D=0時，取與第一個變量的系數(shù)同號例如，取 (9)三點式方程 （3.11）這個方程可以看做與式(34)為同一類2平面與點的相關(guān)位置(1)點與平面間的離差 （3.12）其中為原點指平面的單位法矢矢, p為原點O到平面的距離式(312)也可以寫成代數(shù)表達式 (313)原點與平面間的離差為，反映出原點O、平面、及其單位法矢之間的關(guān)系點與平面間的離差是一個代數(shù)值，它的正負號反映出點在平面的側(cè)向在平面同側(cè)的點，的符號相同；對于在平面異仍的點，的符號相反；平面上的點，等于零點與平面

9、向的離差公式(3.13)可以將空間不在平面上的點分成兩部分同理，兩個相交的平面將空間的點分成四部分(2)點與平面間的距離為 （3.14）3.兩平面的相關(guān)位置空間兩平面 有以下的關(guān)系：（1）與相交(2) 與平行(3) 與重合在空間直角坐標(biāo)系下，兩平面與間的交角是用兩平面二面角的平面角，)來表示，并且常取其中的銳角來表示根據(jù)平面與其法矢垂直的關(guān)系，記，可以得到 (3.15)同時，兩平面與垂直的充要條件是 4空間直線的方程在中學(xué)的立體幾何課程中有一個公理：空間不重合的兩點可以確定唯一的直線讀者容易知道直線上任意兩個不重合的點可以確定一個直線的方向向量因此，在空間取定坐標(biāo)系，并設(shè)直線上一定點Mo的徑矢

10、，直線 上任意點M的徑矢為，直線的方向向量，可以得到直線的向量式方程“（1）向量式方程 (3.16)其中t為參數(shù)（2）參數(shù)方程 (3.17)由式(3.17)梢去參數(shù)t，可以得到直線的對稱式方程(3)對稱式方程(或稱直線的標(biāo)準方程) (3.18)在式(318)中，方向效是一組不全為零的數(shù)如果其中有一個為零， 例如此時，可以設(shè) 如果其中有兩個數(shù)為零，例如，此時可以設(shè) 這樣可以得到相對應(yīng)的直線方程 通過空間兩點和，可以得到直線的兩點式方程 (4)兩點式方程 （3.19）空間直線可以看做是兩個相交平面的交線，所以可以得到直線一般方程(5)直線的一般方程 (3.20)其中系數(shù)?？梢酝ㄟ^式(3.20)求出

11、直線的方向向量的三個方向數(shù)，即雖然直線上點無窮多，但我們只需求出一個點，當(dāng)其中兩個變量的系數(shù)所構(gòu)造的二階行列式不為零時，例如那么第三個變量就可以任意取定數(shù)值(特別地可取)這樣做可以保證得到的二元一次方程組有唯一解，可以解出，這時就解出直線上一個點有了直線上的點和方向矢量，就可以得到直線的向量式和參數(shù)式方程.直線的標(biāo)淮方程也可以轉(zhuǎn)化為直線的一般方程，由式(3.18)可以得到直線的射彤式方程(6)射影式方程 （3.21）式(321)中的兩個方程表示了兩個過直線的特殊平面，它們分別平行于坐標(biāo)軸y軸和x軸5平面束(1)有軸平面束若兩個平面 相交于一直線，那么過直線的所有平面的方程可以表示為 (3.22

12、)為避免出現(xiàn)無窮的情況，也可以取，方程(322)可以寫成 n( (3 23)這是一個單參數(shù)的平面族，稱為有軸平面束，直線為平面束的軸(中心軸)只要一個定解條件就可以求出的值，或m：n的值(2)平行平面束空間中平行于同一個平面的所有平面的集合稱為平行平面束，它們的方程可以表示為 (324)其中A是實參數(shù)，系數(shù)A，B，C是已知的(324)式也是一個單參數(shù)平面族6直線與平面的相關(guān)位置設(shè)直線與平面的方程分別為 ： ：(1)直線與平面有以下的關(guān)系： 與 相交 與 平行 在 上(2)直線與平面相交時，將直線的方程改寫為參數(shù)式并將其代人平面的方程中解參數(shù)t的值： 上式中分母將t值代回直線l的參數(shù)方程中就可以

13、得到交點坐標(biāo)(3)在直角坐標(biāo)系下直線l與平面間的夾角可以由l的方向矢量和平面的法矢間的夾角來決定，即直線與平面垂直7空間兩直線的相關(guān)位置設(shè)兩直線與的方程分別為 (1)空間兩直線與有以下的位置關(guān)系： 與 異面 與相交 與平行 與重合 (2)空間兩直線的夾角空間兩直線的夾角與它們的方向矢量之間的夾角有以下的關(guān)系： 或 通常取為銳角在直角坐標(biāo)系下，空間兩直線與的夾角余弦為 直線與垂直（3） 兩異面直線間的距離與公垂線方程在直角坐標(biāo)系下，兩異面直線與之間的距離為兩異面直線與的公垂線的方程為其中x ， y， Z是公垂線的方向數(shù)8空間一點到一直線的距離在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)空間一點和直線 ：的距離 四、基本

14、例題解題點擊【例1】求空間圓 的半徑.【提示】園的方程通常用球的方程和平面方程聯(lián)立方程組表示。幾何上來說，園可以看成球與平面的交線。利用球的半徑和球心到平面的距離就可求出園的半徑?！窘狻壳蛐臑樵c，半徑為2, 球心到平面的距離為d= ,圓的半徑為 【例2】求在直線上并且與原點相距5個單位的點的坐標(biāo)【提示】用到直線上的點，一般可考慮用直線的參數(shù)方.【解】設(shè)所求點為，則 又因為P點與原點相距5個單位 ,所以 求出所以所求點的坐標(biāo)為（3，4，0）或（-3，-4，0） 【例3】求點關(guān)于直線的對稱點.【解】已知直線的方向向量為 設(shè)所求點的坐標(biāo)為（a，b，c）,則 的中點在直線上且 所以 求出點的坐標(biāo)為（

15、0，2，7） 【例4】求通過直線且與平面成角的平面方程.【解】利用有軸平面束的方程的過已知直線的平面方程為即由于所求平面與已知平面的交角為，所以利用兩平面間的交角公式得計算并化簡得求出或所以所求平面為 或 【提示及點評】l 注意如果有軸平面束的方程是用，那么會有無窮的情況.l 學(xué)好數(shù)學(xué)要有良好的計算能力. 【例5】求過點P（2，0，-1）且與直線垂直相交的直線方程.【解】設(shè)所求直線的方向數(shù)為，利用兩直線共面的充要條件得即 （1）再利用與垂直得 （2）由（1）（2）解得所以所求直線方程為 【知識擴展提示】利用直線作為兩個平面的交線，上述問題能轉(zhuǎn)化為求兩個平面的問題。一個平面是與所在的平面，另一個

16、平面是過P點且垂直的平面.也可以考慮用兩點確定直線. 【例6】. 過作三個坐標(biāo)面的射影，求過這三個射影點的平面方程.【解】 P在三個坐標(biāo)面上的射影分別為 ,故由平面的三點式方程得所求平面為 【例7】已知平面及平面(1) 證明原點在這兩平面構(gòu)成的銳角二面角內(nèi)；(2) 求平分角面方程，并判定哪一個平分鈍角二面角. 【解】 (1) 設(shè)是原點向平面和所引的平面法向量的交角。如果是鈍角，那末含原點的二面角是銳角.為此，求出平面及平面的法線式方程 ;:所以這表示是鈍角因此，合原點的二面角是銳角.(2) 平面和交成的二面角的平分角面就是到和的距離相等的點的軌跡。因此，所求平分角面的方程為即或由于含原點的二面

17、角內(nèi)的點到和的離差異號，而由本題(1)可知，含原點的二面角是銳角，因此平面為 是平分銳角二面角，另一個平面平分鈍角二面角. 【例8】 決定參數(shù)k的值，使平面分別滿足下列條件： (1) 與平面垂直 (2) 與平面交成45度的角 (3) 與原點的距離為3 【解】 (1) 要使平面與平畫垂直，必須這兩個平面的法向量垂直，即l 2十k4+(一2)30從而k=1（2）由兩平面的交角公式得從而解得（3）平面的法線式方程為從而，由平面法線式方程中常數(shù)項的幾何意義得解得 【例9】.求與平面；平行的平面，使點P(0，2，一1)到與的距離相等.【解】設(shè)的方程為 過P作平行于z軸的直線交于，交于由，方程可得，由P為

18、的中點，求出D=-42所以的方程為 【例10】一平面與空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA分別交于P，Q，R，S則【證明】設(shè)四個頂點坐標(biāo)為平面的方程為 （1）它與AB的交點P（其坐標(biāo)設(shè)為分線段AB的比為則由定比分點公式得此點應(yīng)在平面（1）上，因此解得同理可求得 上面四式兩邊相乘可得 五、擴展例題解題點擊【例1】若直線繞旋轉(zhuǎn)，求直線上的定點P（4，2，1）所生成的緯圓方程.【解】此園既在過P點且垂直的平面上，又在以上的點為球心，到P的距離為半徑長的球面上.用平面的點法式求出平面的方程為到P的距離為所以球的方程為 因此所生成的緯圓方程是 【例2】已知一正方體二側(cè)面的方程分別為，其中心為M(

19、1，1，一2)，求其它各面方程.【解】正方體二側(cè)面，為相鄰的側(cè)面，求出到M的距離為由此得與相對的側(cè)面為與相對的側(cè)面為易知第三對側(cè)面法向量為可設(shè)第三對側(cè)面之一方程為則由解得D=-4或D=10，故第三對側(cè)面為與 【例3】過點M。作OM。的垂直平面，設(shè)與坐標(biāo)軸的交點分別為A，B，C，求證三角形ABC的面積為其中為與的距離.【證明】由已知條件，平面的法向量可取為于是由平面的點法式方程得平面的方程為即它與三個坐標(biāo)軸的交點分別為于是 【例4】已知不在坐標(biāo)平面上一點.在x軸、y軸、z軸上分別求A，B，C，使它們與P的連線兩兩互相垂直，并證明平面ABC平分原點與P的連線OP.【證明】 因點A，B，C在坐標(biāo)軸上

20、，故可設(shè)它們的坐標(biāo)分別為于是可得由已知條件，這三個向量兩兩垂直，于是有即由此解得 故A,B,C的坐標(biāo)分別為根據(jù)平面的截距式，得到平面ABC的方程為而OP的中點為此點的坐標(biāo)滿足上述平面的方程，故平面ABC平分0P. 【例5】 過四面體三個面的重心所作的平面必與第四面平行，試證明.【證明】 設(shè)四面體的四頂點為，i=1，2，3，4. 三個側(cè)面的重心分別為， ， .則過三個面重心的平面方程為即因此此平面的法向量為 (1)而第四面的法向量為即 (2)將的表達式代入（1）得=于是過四面體三個面的重心， ，所作的平面必與第四面平行. 【例6】 一平面與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，則從原點向這平面所引垂線之垂足

21、H是三角形ABC的垂心，試證明之. 【證明】 設(shè)已知平面與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)分別為，于是這個平面的方程為原點在這個平面上的投影為其中p為原點到平面的距離，而且于是而由于所以同理可證，故H點是三角形ABC的垂心. 【例7】求兩相交直線 的交角平分線的方程. 【解】 根據(jù)等腰三角形底邊上的中線就是頂角平分線的性質(zhì)來考慮.由于所給直線的交點為，直線與的方向向量分別為與.沿直線及取三點， ，使為此取， ，于是，的中點分別為，從而OM。及OM。就是所求的角平分線，它們的方程分別為 和 【例8】設(shè)動平面在三個坐標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)和為一非零常數(shù)，則動平面必過定點，試證之.【證明】設(shè)動平面在三個坐標(biāo)軸的截距分別

22、為，由題設(shè)都不等于零，故動平面的方程為又（非零常數(shù)）所以由此知動平面過定點. 【例9】在平面上，求過點（1，1，1）且與面有最大角的直線.【解】設(shè)直線的方向數(shù)為,則直線的方程為由于直線在平面上所以 （1）設(shè)直線與面的交角為，則 (2)由（1）得把它代入（2）式得要最大，只有最小，也就是要最小.由二次函數(shù)的性質(zhì)求得時，最小.從此解得因此所求直線的方程為 【例10】設(shè)直線與軸異面，求證與軸之間的距離【證明】由于與軸異面，所以不全為零.設(shè)與軸的公垂線為PQ，其P,Q分別在和軸上.由于與軸垂直，所以的第一分量為零.過直線的平面束為其中有唯一一個平面垂直于.令求出因此垂直于的平面方程是顯然即為到這個平面

23、的距離，設(shè)由點到平面的距離公式就得 六、本章訓(xùn)練題及提示【訓(xùn)練題1】求含鈾，且與點(2，7，3)和等距離的平面. 【提示】含鈾的平面可設(shè)為【訓(xùn)練題2】已知點和直線，求上的點使垂直.【訓(xùn)練題3】求過點（0，-1，0），（0，0，1）且與面成60度角的平面方程.【提示】用平面的截距式方程 【訓(xùn)練題4】 在平面內(nèi)求垂直于直線的直線方程.【提示】滿足條件的直線是一族平行直線 【訓(xùn)練題5】平行六四體三面方程為，其一頂點為(37一2)，求其它三面的方程.【提示】注意點(37一2)不在三個已知平面上，因此在三個所求平面上 【訓(xùn)練題6】求正方體兩對角線的交角.【提示】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 【訓(xùn)練題7】證明

24、直線的三個方向角相等.【提示】直線過點（0，0，0）及（1，1，1）.【訓(xùn)練題8】設(shè)與為兩異面直線，L,M分別為，上任意的一點，證明：LM中點的軌跡是與的公垂線線段的中垂面.【提示】注意利用向量式的參數(shù)方程【訓(xùn)練題9】試證：四平面，所圍成的四面體體積為.【提示】求出四面體的四個頂點的坐標(biāo)【訓(xùn)練題10】求與兩直線1，平行且等距的平面方程.【提示】兩直線的方向向量取作所求平面的方位向量，兩直線上各取一點所連線段的中點是所求平面上的點.【訓(xùn)練題11】證明空間中滿足條件的點位于兩平行平面之間.【提示】不等式等價于即故滿足條件的點（x,y,z）與原點位于平面的同側(cè)，而原點位于此兩平面之間，故滿足條件的點也位于此兩平面之間.【訓(xùn)練題12】求直線關(guān)于平面的對稱直線的方程.【訓(xùn)練題13】設(shè)三角形的頂點為A(1,2,3),B(3,4,1),C(-1,0,1)，求這個三角形的外接圓圓心. 【訓(xùn)練題14】已知兩定平面，兩定點.如果到的離差的代數(shù)和等于它們到的離差的代數(shù)和，則線段上任意一點與兩平面的離差的代數(shù)和必為常數(shù).【提示】設(shè)兩定平面的方程分別為用表示到點的離差，則設(shè)線段上任意一點， 【訓(xùn)練題15】如以動平面到n個定點的離差的代數(shù)和為零，則動平面必過一定點.【提示】動平面的方程用向量式法式方程 皋疊泰涼妊熬斃熏望軟斗聚殊旁篩檔肩延肄殲酷慮錠樸峻花敖凝謊艦鵬陜眷盎思酣豎鐐晰侖疊奮支服桂沽技次搏泵不