2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)高中人教A版選修2-1課后習(xí)題：2.3.2　雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 含解析

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績(jī)2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1。若實(shí)數(shù)k滿足0k9，則曲線x225-y29-k=1與曲線x225-k-y29=1的（)a.焦距相同b.實(shí)半軸長(zhǎng)相等c。虛半軸長(zhǎng)相等d。離心率相等解析由于00）的一條漸近線方程為y=22x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn)，則c的方程為（)a。x28-y24=1b.x25-y24=1c.x24-y22=1d.x26-y23=1解析由橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為（3,0），可得雙曲線的c=3,即a2+b2=9,由雙曲線的漸近線方程為y=bax，可得ba=22,解得a2=6，b2=3，則雙曲線的方程為x26-

2、y23=1.故選d。答案d3.下列雙曲線中，不是以2x3y=0為漸近線的是（)a.x29-y24=1b。y24-x29=1c.x24-y29=1d.y212-x227=1解析c項(xiàng)中的雙曲線x24-y29=1，焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為y=32x,不是2x3y=0。答案c4。已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為(）a.x25-y220=1b。x220-y25=1c。3x225-3y2100=1d.3x2100-3y225=1解析由題意知，雙曲線的漸近線為y=bax,則ba=2。因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)（c，

3、0)在直線l上，所以0=-2c+10，故c=5。又因?yàn)閍2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,故雙曲線的方程為x25-y220=1。答案a5.兩正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)為52,等比中項(xiàng)為6，且ab,則雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率e為（)a.13b.53c.53d。133解析因?yàn)閮烧龜?shù)a,b的等差中項(xiàng)為52，等比中項(xiàng)為6，所以a+b=5,ab=6,解得a=3,b=2或a=2,b=3,因?yàn)閍b，所以a=3,b=2,所以e=ca=a2+b2a2=133.故選d。答案d6.雙曲線x24-y212=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為。解析雙曲線x24-y212=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0），(4，0），漸近線

4、方程為y=3x,故焦點(diǎn)（4，0)到漸近線y=3x的距離d=433+1=23.答案237.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,若雙曲線x2m-y2m2+4=1的離心率為5,則m的值為。解析由題意得m0，所以a=m，b=m2+4，c=m2+m+4.由e=ca=5，得m2+m+4m=5,解得m=2。答案28。若一條雙曲線與x28y2=1有共同漸近線,且與橢圓x220+y22=1有相同的焦點(diǎn),則此雙曲線的方程為.解析由橢圓方程為x220+y22=1得a2=20,b2=2,所以c2=202=18，得c=32，即橢圓的半焦距為32，設(shè)與雙曲線x28-y2=1有相同漸近線的雙曲線方程為x28y2=（0)，所求雙曲線的

5、焦點(diǎn)在x軸上,則0，雙曲線方程化為x28-y2=1,根據(jù)橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)，所以有8+=18,解得=2，故所求雙曲線的方程為x216-y22=1.答案x216-y22=19。雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)f1（0，-5)，f2（0，5)，點(diǎn)p（3,4）是雙曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，試求雙曲線方程與橢圓的方程。解由共同的焦點(diǎn)f1（0,5),f2(0，5),可設(shè)橢圓方程為y2a2+x2a2-25=1(a225)，雙曲線方程為y2b2-x225-b2=1（0b20,b0),離心率e=52，頂點(diǎn)到漸近線的距離為255，求雙曲線c的方程.解依題意，雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,a)，漸近線方程為

6、y=abx，即axby=0,所以aba2+b2=abc=255。又e=ca=52,所以b=1，即c2-a2=1,52a2-a2=1,解得a2=4,故雙曲線方程為y24x2=1.能力提升1.雙曲線c:x2a2-y2b2=1（a0，b0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,則c的焦距等于（）a.2b.22c。4d.42解析雙曲線的一條漸近線方程為xa-yb=0,即bx-ay=0，焦點(diǎn)(c,0)到漸近線的距離為bca2+b2=bcc=3，所以b=3.又ca=2,c2=a2+b2，所以c=2,故雙曲線的焦距為2c=4.答案c2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線平行于直線l:

7、x+3y+25=0,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()a.x22-y218=1b.x218-y22=1c.x220-y25=1d.x225-y2100=1解析因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=bax,其中一條漸近線與直線l平行，則有-ba=-13，所以a2=9b2,又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，而其中一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則直線l與x軸焦點(diǎn)(25,0)為雙曲線焦點(diǎn)，即c=25，又因?yàn)閏2=a2+b2,得20=10b2,則b2=2，a2=18,所以雙曲線方程為x218-y22=1，答案為b.答案b3。若在雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右支上到原點(diǎn)o和右焦點(diǎn)f的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè),則

8、雙曲線的離心率的取值范圍是()a.（2,+)b.(1,2)c.（2,+)d.（1，2)解析到原點(diǎn)o和右焦點(diǎn)f距離相等的點(diǎn)在線段of的垂直平分線上,其方程為x=c2.依題意，在雙曲線x2a2-y2b2=1（a0,b0)的右支上到原點(diǎn)和右焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè),所以直線x=c2與右支有兩個(gè)交點(diǎn),故應(yīng)滿足c2a，即ca2,得e2,故選c.答案c4。已知雙曲線y2a2-x2b2=1的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距構(gòu)成等差數(shù)列,則雙曲線的漸近線方程為.解析依題意有2a，2b,2c成等差數(shù)列，所以4b=2a+2c。因?yàn)閏2=a2+b2，所以(2b-a）2=a2+b2，解得a=34b，于是雙曲線漸近線方程為y=abx

9、=34x.答案y=34x5。已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a0，b0)的一條漸近線為2x+y=0，一個(gè)焦點(diǎn)為（5,0）,則雙曲線的方程為。解析由題意得c=5,ba=2，c2=a2+b2,解得a=1,b=2.則雙曲線的方程為x2y24=1。答案x2y24=16。過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0）的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于m，n兩點(diǎn),以mn為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率等于.解析令x=-c,得y2=b4a2,則|mn|=2b2a。由題意得a+c=b2a,即a2+ac=c2-a2,ca2-ca-2=0，ca=2或ca=1（舍去）,即離心率為2。答案27。

10、求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:（1）焦點(diǎn)在y軸上，虛軸長(zhǎng)為8,離心率為e=53;(2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)c（3,2),且與雙曲線x28-y216=1有共同的漸近線.解(1）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a0，b0),則2b=8,e=ca=53,從而b=4，代入c2=a2+b2，得a2=9,故方程為y29-x216=1.（2)由題意可設(shè)所求雙曲線方程為x28-y216=（0），將點(diǎn)c（3,2)的坐標(biāo)代入，得38-216=，解得=14，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y24=1.8.已知雙曲線與橢圓x225+y29=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6).（1）求雙曲線方程;(2)若雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是f1，f2,試問(wèn)在雙曲線上是否存在點(diǎn)p,使得pf1|=5pf2|.解(1）橢圓x225+y29=1的焦點(diǎn)在x軸上,且c=25-9=4，即焦點(diǎn)為（4，0），于是可設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a0，b0)，則有a2+b2=16,16a2-36b2=1,解得a2=4，b2=12，故雙曲線方程為x24-y212=1.（2）假設(shè)在