2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教B版選擇性必修第三冊(cè)教案：第6章 6.1 6.1.4　求導(dǎo)法則及其應(yīng)用 Word版含解析

1、6.1.4求導(dǎo)法則及其應(yīng)用學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能運(yùn)用這些公式求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(重點(diǎn))2掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，并能運(yùn)用法則求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(難點(diǎn))3掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(易混點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2借助復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).如何求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx；(2)y2x2sin x.問題：由此你能類比聯(lián)想一下f(x)g(x)的求導(dǎo)法則嗎？1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)和差的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)積的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；cf(

2、x)cf(x)(3)商的導(dǎo)數(shù)，g(x)0.拓展：f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)af(x)bg(x)af(x)bg(x)(a，b為常數(shù))2復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則(1)復(fù)合函數(shù)的概念一般地，已知函數(shù)yf(u)與ug(x)，給定x的任意一個(gè)值，就能確定u的值如果此時(shí)還能確定y的值，則y可以看成x的函數(shù)，此時(shí)稱f(g(x)有意義，且稱yh(x)f(g(x)為函數(shù)f(u)與g(x)的復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量(2)一般地，如果函數(shù)yf(u)與ug(x)的復(fù)合函數(shù)為yh(x)f(g(x)，則可以證明，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h(x)與f(u)，g(x)之間的關(guān)系為h(x)f(g(x

3、)f(u)g(x)f(g(x)g(x)這一結(jié)論也可以表示為yxyuux.思考：函數(shù)ylog2(x1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？提示函數(shù)ylog2(x1)是由ylog2u及ux1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成1思考辨析(正確的畫“”，錯(cuò)誤的畫“”)(1)函數(shù)f(x)是復(fù)合函數(shù)()(2)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)cos(x)()(3)ye2x的導(dǎo)數(shù)y2e2x.()(4)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)()答案(1)(2)(3)(4)2函數(shù)f(x)xex的導(dǎo)數(shù)f(x)()aex(x1)b1excx(1ex)dex(x1)af(x)xexx(ex)exxexex(x1)，選a.3若函數(shù)f(

4、x)ax2c，且f(1)2，則a_.1f(x)ax2c，f(x)2ax，故f(1)2a2，a1.4若y，則y_.yln x，y.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的應(yīng)用【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx2x2；(2)y3xex2xe；(3)y；(4)yx2sin cos.解(1)y2x2x3.(2)y(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.(4)yx2sincosx2sin x，y2xcos x.1解答此類問題時(shí)要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則2對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)不易直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，應(yīng)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)(恒等變形)，然后求導(dǎo)這樣可以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程

5、1已知函數(shù)f(x)(2x1)ex，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(0)_.3因?yàn)閒(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，f(0)3.2已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(e)ln x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則f(e)_.因?yàn)閒(x)2xf(e)ln x，所以f(x)2f(e).f(e)2f(e)，即f(e).復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.思路點(diǎn)撥先分析函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的，找出中間變量，分層求導(dǎo)解(1)函數(shù)ye2x1可看作函數(shù)yeu和u2x

6、1的復(fù)合函數(shù)，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函數(shù)y可看作函數(shù)yu3和u2x1的復(fù)合函數(shù)，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函數(shù)y5log2(1x)可看作函數(shù)y5log2u和u1x的復(fù)合函數(shù)，yxyuux(5log2u)(1x).(4)函數(shù)ysin3x可看作函數(shù)yu3和usin x的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)ysin 3x可看作函數(shù)ysin v和v3x的復(fù)合函數(shù)yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1解答此類問題常犯的兩個(gè)錯(cuò)誤(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；(2)若是復(fù)合函

7、數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y；(2)ylog2(2x21)解(1)y1.設(shè)y1，u1x，則yyuux(1)(1x)(1).(2)設(shè)ylog2u，u2x21，則yyuux4x.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用探究問題若點(diǎn)p是曲線yex上的任意一點(diǎn)，如何求點(diǎn)p到直線l：yx的最小距離？提示如圖，當(dāng)曲線yex在點(diǎn)p(x0，y0)處的切線與直線yx平行時(shí)，點(diǎn)p到直線l的距離最小設(shè)p(x0，y0)，則y|xx0ex0，由ex01可知x00，此時(shí)y0e01.即p(0,1)，利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離d.【例3】(1)設(shè)曲線yeax在點(diǎn)(0,1)處

8、的切線與直線x2yb0垂直，則a_.(2)曲線yln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy30的最短距離為_思路點(diǎn)撥(1)(2)(1)2(2)(1)因?yàn)閥eax，所以yaeax，由題意可知y|x0a2可知a2.(2)設(shè)曲線yln(2x1)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線2xy30平行，又因?yàn)閥，所以y|xx02，解得x01.y0ln(21)0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)(1,0)到直線2xy30的距離d，即曲線yln(2x1)到直線2xy30的最短距離是.正確的求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題的前提，審題時(shí)，注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn)，挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過一定點(diǎn)的切線問題，尋求切點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵

9、.4已知函數(shù)f(x)ax22ln(2x)(ar)，設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線為l，若直線l與圓c：x2y2相切，求實(shí)數(shù)a的值解因?yàn)閒(1)a，f(x)2ax(x2)，所以f(1)2a2，所以切線l的方程為2(a1)xy2a0.因?yàn)橹本€l與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑，即d，解得a.1如果求導(dǎo)公式比較復(fù)雜，則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開為和式求導(dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角恒等變換后求導(dǎo)等2求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)f(axb)的導(dǎo)數(shù)，實(shí)質(zhì)是運(yùn)用整體思想，先把復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)yf(u)，uaxb的形式，然后再分別對(duì)yf(u)與uaxb進(jìn)行求導(dǎo)，并把求導(dǎo)結(jié)果相乘，

10、靈活應(yīng)用整體思想把函數(shù)化為yf(u)，uaxb的形式是求解的關(guān)鍵1函數(shù)y(2 0208x)3的導(dǎo)數(shù)y()a3(2 0208x)2b24xc24(2 0208x)2d24(2 0208x)2cy3(2 0208x)2(2 0208x)3(2 0208x)2(8)24(2 0208x)2.2函數(shù)yx2cos 2x的導(dǎo)數(shù)為()ay2xcos 2xx2sin 2xby2xcos 2x2x2sin 2xcyx2cos 2x2xsin 2xdy2xcos 2x2x2sin 2xby(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3已知f(x)ln(3x1)，則f(1)_.f(x)(3x1)，f(1).4曲線y3(x2x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_y3xy3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切線方程為y3x.5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ycos(x3)；(2)y(2x1)3；(3)ye2x1.解(1)函數(shù)ycos