數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的常見方法

1、常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型一：公式法1 (或定義法)an 1 an p(p為常數(shù))類型一：(累加法)an 1 an f(n)an 1 q(q為非零常數(shù))解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an 1an*加法(逐差相加法)求解例1.已知數(shù)列an滿足a1 1，an 1 a. 2 (n N )，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例：已知數(shù)列an滿足an 1 ana11，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an 1*例2.已知數(shù)列an滿足a12 ,亠 3 (n N )，求an數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式練習(xí)：11.已知數(shù)列an滿足a1, an 12數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an 2n , (n N )求anf (n)，利用累列an的通項(xiàng)公式。n2

2、n 1 (n N*),類型三：(疊乘法)an 1f(n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 1anf (n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在數(shù)列an中，已知a11,nan 1 (n 1)an ,(n 2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。14.已知數(shù)列an中，ai 2, a. i a“ ln(1 )，求數(shù)n*3.已知數(shù)列an滿足an 1 2 5 an (n N )，a13，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式練習(xí)：1已知數(shù)列an滿足 ai 2 , an 1 an 10 (n N ),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。類型四：遞推公式為Sn與an的關(guān)系式Sn fn)解法:這種類型一般利用S1(n1)anSnSi 1(n2)與

3、anSnSn 1f(an)f (an 1)消去 Sn (n2)或與Snf(Sn Sn1) (n2)消去an進(jìn)行求解。例.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,a12且Sn2an 1 (n 2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式練習(xí):2已知數(shù)列an滿足a1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。6，an 1 an 3 (n N )，2.已知數(shù)列an滿足a1 1， an an 1n(n 1)(n 2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1.已知數(shù)列an滿足a1-，an 13求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列an滿足a1 1a2nan，(n N )，n 11.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn 4a. 2， 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1 1an

4、 1 an 1a2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 n*3.已知數(shù)列an滿足 an 1 an 2 31，(n N),a13，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3n 12.已知 a1 3， an 1an (n 1)，求數(shù)列an的3n 2通項(xiàng)公式。4.已知數(shù)列a*滿足a11， a. 1 3an (n N )，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。22.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn n2 5n 1 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。2.已知數(shù)列 an中，a1 1，3an1 4a. 6，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1已知數(shù)列an滿足an 1 5an 5n 1an的通項(xiàng)公式a11，求數(shù)列3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, Sn 2“ 3 , 求數(shù)列

5、an的通項(xiàng)公式。3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ， 且2Sn 3an 2n(n N*) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2.已知首項(xiàng)都為1的兩個(gè)數(shù)列an、 bn(bn On N*)，滿足anbn 1 an 1bn 20 1bn 0,令 c“ 旦求數(shù)列c“的通 bn項(xiàng)公式。類型五：待定系數(shù)法an 1 pan q (其中 p ,q 均為常數(shù)，(pq(p 1)0)a解法：構(gòu)造新數(shù)列 bn ； p解出，可得數(shù)列anbn an為等比數(shù)列例：已知數(shù)列 an中，ai 1, an i 2an 1，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。2.已知數(shù)列an滿足an 1 3an 4 3nan的通項(xiàng)公式。,a11 ,求數(shù)列變式練習(xí)：1.已知

6、數(shù)列an滿足a1 3， an 1 2an 1 (n N*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。類型六：交叉項(xiàng)問(wèn)題解法：一般采用求倒數(shù)或除以交叉項(xiàng)得到一個(gè)新的等差數(shù)列。2a*例：已知數(shù)列an滿足a1 1, an 1J (n N ),an 2求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。類型七：(公式法2)(a n 1pa nnp)p0；解法：將其變形為an 1n 1ann,即數(shù)列a為以一ppppp為公差的等差數(shù)列;例已知數(shù)列an滿足an 12an3 2n, a12，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式練習(xí)：1已知數(shù)列an滿足 a1 1 , nan 1 (n 1總 n(n 1), (n N*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式練習(xí):變式練習(xí)1. 數(shù)

7、列an中，an 2n 1，求 Sn.變式練習(xí)1.已知數(shù)列an中，an 2n 3n，求Sn.11.已知 f(x)，求 f(1)f(2)f(3)1 x1回6)92.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2n 1 ,求2 2 22a1a?a3an .2.已知數(shù)列an中，a” (2n 1)；，求 S.類型四：錯(cuò)位相減法：例.數(shù)列an中，an (2n 1) 2n 1，求 Sn數(shù)列求和的常用方法類型一：公式法例.已知log3x，求 x x2 x3log 2 3類型二：分組求和法前n項(xiàng)和.例.求數(shù)列的前n項(xiàng)和:7丄2n 13n 2，類型三：倒序相加法例.求 sin 21 sin2 2sin2 32 2sin 88 s

8、in 89的值.變式練習(xí)4 62n1.求數(shù)列一，2 , 3 , n，前n項(xiàng)的和.2 2 2222.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn 2n , bn為等比數(shù)列，且c 亦22 aj m(1) 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；a(2) 設(shè)Cnn，求數(shù)列 cn的前n項(xiàng)和Tn .bn類型五：裂項(xiàng)相消法1亠n(n 1)2-n(n k)3亍1.nk).n 1 n 1例已知數(shù)列an中,an1求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2.在數(shù)列an中，an又bn2an an 11n(n2)，求 Sn.求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.3已知數(shù)列an滿足:an1 1212 3an 13 an 11a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2 2 2 2aa?a3an求

9、數(shù)列的通項(xiàng)與求和作業(yè)1.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a111 1 L 1(1) 若亍亍2，則 03n 2) (3n 1)5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn 2n 1 ,求(2) 若 an 12an，則 an (3) 若 an 1 an n 11 貝y an ；1 L 1 21 2 31 2 3 L n(4) 若 an 1 2n an，則 an 6.求和:(5)若 nan (n 1)an 1，則 an ;(6)若 an 3an 1 2 (n 2)，貝y an ;7.求和:(7)右 an 1n ，則 an_an2,求 an.n nan1已知數(shù)列an滿足a12.1,an 128.設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a d 1 , a3 bs 21 , a5 匕3