2018年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練——幾何題中用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”模型

1、中考專題復(fù)習(xí)幾何題用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”模型 一、教學(xué)目標(biāo)：1. 了解并熟悉“手拉手模型”，歸納掌握其基本特征2. 借助“手拉手模型”，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解決相關(guān)問題3. 舉一反三，解決求定值，定角，最值等一類問題二、教學(xué)重難點(diǎn)：1. 挖掘和構(gòu)造“手拉手模型”，學(xué)會用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等2. 用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的解題方法最優(yōu)化選擇三、教學(xué)過程： 1.復(fù)習(xí)舊知d師：如圖，abd，bce 為等邊三角形，從中你能得出he哪些結(jié)論？gf生：（1）abedbc （2）abgdbfab c（3）cfbegb （4）bfg 為等邊三角形（5 agbdgh （6）dha60（7）h，g，f，b 四點(diǎn)共圓 （8）bh 平分ah

2、c 師：我們再來重點(diǎn)研究abe 與dbc，這兩個全等的三角形除了對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等外， 還有什么共同特征呢？生：它們有同一個字母 b，即同一個頂點(diǎn) b師：我們也可以把dbc 看作由abe 經(jīng)過怎樣的圖形運(yùn)動得到？生：繞點(diǎn) b 逆時針旋轉(zhuǎn) 60得到2.引入新課師：其實(shí)我們可以給這兩個全等的三角形賦予一個模型，叫“手拉手模型”，誰可以將這個模型的 特征再做進(jìn)一步的簡化歸納呢？生：對應(yīng)邊相等師：我們可以稱之為“等線段”生：有同一個頂點(diǎn)師：我們可以稱之為“共頂點(diǎn)”師：等線段，共頂點(diǎn)的兩個全等三角形，我們一般可以考慮哪一種圖形運(yùn)動？生：旋轉(zhuǎn)師： “手拉手模型”可以歸納為：等線段，共頂點(diǎn)，一般用旋轉(zhuǎn)3

3、.小題熱身第 1 頁圖圖213 1如圖 1，bad 中，bad45，abad，aebd 于 e，bcad 于 c， 則 af _be2如圖 2 abc 和bed 均為等邊三角形，ade 三點(diǎn)共線，若 be2，ce4，則 ae_ 3如圖 3，正方形 abcd 中，eaf45， be3，df5，則 ef_師：我們來看第 1，第 2 題，這里面有“手拉手模型”嗎？請你找出其中的“等線段，共頂點(diǎn)” 生：題 1 中，等線段是 ac，bc，共頂點(diǎn)是 c，acf 繞點(diǎn) c 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 bcd題 2 中，等線段是 ab，bc，共頂點(diǎn)是 b，abd 繞點(diǎn) d 順時針旋轉(zhuǎn) 60 cbe師：我們再來看第 3

4、題，這里有“手拉手模型”嗎？生：沒有師：那其中有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”呢？生：等線段是 ad，ab，共頂點(diǎn)是 a師：我們可否利用旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造“手拉手模型”呢？生：將 ae 旋轉(zhuǎn)，繞點(diǎn) a 逆時針旋轉(zhuǎn) 90師：為什么是逆時針旋轉(zhuǎn) 90，你是如何思考的？生：我準(zhǔn)備構(gòu)造一個和abe 全等的三角形， ab 繞點(diǎn) a 逆時針旋轉(zhuǎn) 90即為 ad，那么將 ae 逆 時針旋轉(zhuǎn) 90可得 ag，連接 gd，證明全等師：說的不錯，誰能再來歸納一下，借助“手拉手模型”，用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法嗎？生：先找有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”，再找其中一條 “共頂點(diǎn)”的線段，將其旋轉(zhuǎn)師：旋轉(zhuǎn)角度如何確定，方向怎么選擇？生：選擇其中一

5、個三角形，將“共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角為兩條“等線段”間的夾角方向 應(yīng)與所選擇的起始“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”時的方向一致師：非常棒，可以說，你已經(jīng)掌握了這節(jié)課的精髓但是，很多題目中只是隱含了“手拉手模型” 的一些條件，剩余的需要我們自己去構(gòu)造，可以如何構(gòu)造呢？步驟 1：先找有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”步驟 2：選擇其中一個三角形，將其中經(jīng)過 “共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn)步驟 3：旋轉(zhuǎn)方向與這個三角形的“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”的方向一致，旋轉(zhuǎn)角為“等 線段”間的夾角師：這道題還有一個要注意的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎？生：連接 gd 后，要證明 g，d，f 三點(diǎn)共線 4.例題精講第 2 頁adbc b

6、ce boc例 1：等邊abc 中，ad4，dc3，bd5，求adc 度數(shù) 師：這里有沒有隱含的“手拉手模型”？要構(gòu)造全等，該怎樣旋轉(zhuǎn)？生：將adc 繞點(diǎn) a 順時針旋轉(zhuǎn) 60師：你是怎么想的，還有其他做法嗎？生：我發(fā)現(xiàn) abac，a 為“共頂點(diǎn)”，我選擇的旋轉(zhuǎn)線段是 ad，因?yàn)?ac 繞點(diǎn) a 順時針旋轉(zhuǎn) 60到 ab，所以adc 也要繞 點(diǎn) a 順時針旋轉(zhuǎn) 60也可將adb 繞點(diǎn) a 逆時針旋轉(zhuǎn) 60ead【解答】bc將 ad 繞點(diǎn) a 順時針旋轉(zhuǎn) 60到 ae，連接 be，de則ade 也為等邊三角形易 aeb adc，bedc4，根據(jù)勾股定理逆定理，可證bed90，則aebadc150

7、例 2：如圖 abo 和 cdo 均為等腰直角三角形， aobcod 90 boc 的面積為 1， 試求以 ad、bc、ocod 的長度為 三邊長的三角形的面積da師：由于線段分散，如何通過圖形變換，使這些線段能構(gòu)成一個三角 形？oc b生：將 od 繞點(diǎn) o 逆時針旋轉(zhuǎn) 90至 oe，即可使 oc，od 共線，再通過證明確 bce 即是以 ad、bc、ocod 的長度為三邊長的三角形【解答】如圖，將 od 繞點(diǎn) o 逆時針旋轉(zhuǎn) 90至 oe，連接 be易證da oadobe，adbe，bce 即是以 ad、bc、ocod 長度為三邊長的三角形又ocoe，s 2 2 5.自主練習(xí)1如圖，在四邊

8、形abcd 中，ad4，cd3，abcacb adc45，則 bd 的長為 _師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法生：“等線段”是 ca 和 ba，“共頂點(diǎn)”是 a方法是將 ad 繞點(diǎn) a 順時針旋轉(zhuǎn) 902如圖，在abc 中，bc2，ab 2，以 ac 為邊，向外做正方 形 acde，連接 be，則 be 最大值為_師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法cdeobac bed第 3 頁abc生：“等線段”是 ca 和 ea，“共頂點(diǎn)”是 a方法是將 ab 繞點(diǎn) a 逆時針旋轉(zhuǎn) 90師：你為何要逆時針旋轉(zhuǎn)，你準(zhǔn)備旋轉(zhuǎn)哪個三角形？生：abc，因?yàn)?ac 是逆時針旋轉(zhuǎn) 90到 a

9、e，所以 ab 也繞點(diǎn) a 逆時針旋轉(zhuǎn) 903如圖，點(diǎn) a 在b 上，ab1，bc2， acd 是等邊三角形， 求 bcd 面積的最大值d師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法a生：“等線段”是 ca 和 cd，“共頂點(diǎn)”是 c 方法是將 ca 繞點(diǎn) c 逆時針旋轉(zhuǎn) 60c b附：自主練習(xí)解答1 如圖，將 ad 繞點(diǎn) a 順時針旋轉(zhuǎn) 90至 ae，易證eacdab，可得 cebd，又eda45，cde90，cd3，de4 2，則 cde 中，ce 2cd2de232 (4 2)241ce 41，db 412.如圖，將 ab 繞點(diǎn) a 逆時針旋轉(zhuǎn) 90至 af，易證eafcab， 可得 efbc2 baf 中，afab 2，bf2由三 角形三邊關(guān)系易知，beefbf，be 最小值為 4.efd3.如圖，將cb 繞點(diǎn) c 逆時針旋轉(zhuǎn) 60至 ce，連接 de，過點(diǎn) e 作