《電動(dòng)力學(xué)》知識(shí)點(diǎn)歸納及典型試題分析報(bào)告

1、電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型試題分析一、試題結(jié)構(gòu)總共四個(gè)大題：1 單選題（10）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及對(duì)它們的理解。2 填空題（10漢2）：主要考察基本概念和基本公式。3. 簡(jiǎn)答題（5 3）:主要考察對(duì)基本理論的掌握和基本公式物理意 義的理解。4. 證明題 （8 +7）和計(jì)算題（9 +8+6 +7）：考察能進(jìn)行簡(jiǎn) 單的計(jì)算和對(duì)基本常用的方程和原理進(jìn)行證明。 例如：證明泊松方程、 電磁場(chǎng)的邊界條件、亥姆霍茲方程、長(zhǎng)度收縮公式等等；計(jì)算磁感強(qiáng) 度、電場(chǎng)強(qiáng)度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波導(dǎo)的截止頻 率、空間一點(diǎn)的電勢(shì)、矢勢(shì)、以及相對(duì)論方面的內(nèi)容等等。二、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)1:

2、 一般情況下，電磁場(chǎng)的基本方程為：-dBV x E =_ct FD = D十J;（此為麥克斯 ct可D = P;可 B = 0.韋方程組）；在沒(méi)有電荷和電流分布（ 0,J =0的情形）的自由空間（或均勻E=0)答：理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：n E 0,。它們可以形象地n漢 H =a. w=0. /表述為：在導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)線與界面正交，磁感應(yīng)線與界面相切。知識(shí)點(diǎn)6:在球坐標(biāo)系中，若電勢(shì)不依賴于方位角厶這種情形下拉氏方程的 通解。答：拉氏方程在球坐標(biāo)中的般解為：:Rc,-八n,manmR 箸 PrRT（co曲）cosm 十瓦 cnmRn,mn ft Pm cost sinm R 式中3nm,bn

3、m,Cnm和d nm為任意的常數(shù)，在具體的問(wèn)題中由邊界條件定出。Pn COS為締合勒讓德函數(shù)。若該問(wèn)題中具有對(duì)稱軸，取此軸為極軸，則電勢(shì)方位角 ，這球形下通解為:anRn 耳 Pn COSd，巳COS，為勒讓德函數(shù),Ran和bn是任意常數(shù)，由邊界條件確定。知識(shí)點(diǎn)7:研究磁場(chǎng)時(shí)引入矢勢(shì) A的根據(jù)；矢勢(shì)A的意義。答：引入矢勢(shì)A的根據(jù)是：磁場(chǎng)的無(wú)源性。矢勢(shì) A的意義為：它沿任一閉合 回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。 只有A的環(huán)量才有物理 意義，而每點(diǎn)上的A （x）值沒(méi)有直接的物理意義。知識(shí)點(diǎn)8:平面時(shí)諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式。 答：平面時(shí)諧電磁波是交變

4、電磁場(chǎng)存在的一種最基本的形式。它是傳播方向一定的電磁波，它的波陣面是垂直于傳播方向的平面， 也就是說(shuō)在垂直于波的傳 播方向的平面上，相位等于常數(shù)。平面時(shí)諧電磁波的性質(zhì)：（1）電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直；（2）E和B同相，振幅比為V；（3 E和B互相垂直，EX B沿波矢k方向。知識(shí)點(diǎn)9:電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時(shí)存在的區(qū)別；電磁波在導(dǎo)體中的透 射深度依賴的因素。答：區(qū)別：（1）在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒(méi)有能量的損耗，電磁波可以無(wú) 衰減地傳播（在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部）；（2）電磁波在導(dǎo)體中傳播，由于導(dǎo) 體內(nèi)有自由電子，在電磁波電場(chǎng)作用下，自由電子運(yùn)動(dòng)形成傳導(dǎo)電流，由電流產(chǎn) 生的焦耳

5、熱使電磁波能量不斷損耗。因此，在導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波是一種衰減波（在 導(dǎo)體中）。在傳播的過(guò)程中，電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量。電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴于：電導(dǎo)率和頻率。知識(shí)點(diǎn)10：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式答：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式為:知識(shí)點(diǎn)11:推遲勢(shì)及達(dá)朗貝爾方程。推遲勢(shì)為:x,t 二* r P x ,t I,C丿4二；0rdvAx,t 二、2A-1 -2a達(dá)朗貝爾方程為:：tJp;0=0：t知識(shí)點(diǎn)12:愛(ài)因斯坦建立狹義相對(duì)論的基本原理（或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容。答：（1）相對(duì)性原理：所有的慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對(duì)于所有慣 性參考系都可以表為相同的形式。 也就是不論通過(guò)力學(xué)現(xiàn)象，還

6、是電磁現(xiàn)象，或 其他現(xiàn)象，都無(wú)法覺(jué)察出所處參考系的任何“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)”。相對(duì)性原理是被大量 實(shí)驗(yàn)事實(shí)所精確檢驗(yàn)過(guò)的物理學(xué)基本原理。（2）光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑傧?對(duì)于任何慣性系沿任一方向恒為 c,并與光源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)13：相對(duì)論時(shí)空坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）和速度變換公式。二 yy答：坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）：zy=y洛倫茲反變換式：z = Zvvt 2 x t=c=.c2速度變換公式:Ux -V1VUx2 cUy丨 21-：21VUx2 cUz.1 2-I1VUx2 cUxI“ UyuZ知識(shí)點(diǎn)14:導(dǎo)出洛侖茲變換時(shí)，應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同 伽利略變換二者的關(guān)系。答

7、：應(yīng)用的基本原理為：變換的線性和間隔不變性。基本假設(shè)為：光速不變?cè)恚íM義相對(duì)論把一切慣性系中的光速都是 c作為 基本假設(shè)，這就是光速不變?cè)恚?、空間是均勻的并各向同性，時(shí)間是均勻的、 運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系： 伽利略變換是存在于經(jīng)典 力學(xué)中的一種變換關(guān)系，所涉及的速率都遠(yuǎn)小于光速。洛侖茲變換是存在于相對(duì) 論力學(xué)中的一種變換關(guān)系，并假定涉及的速率等于光速。當(dāng)慣性系S（即物體）運(yùn)動(dòng)的速度V I：c時(shí)，洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為伽利略變換， 也就是說(shuō)，若兩個(gè)慣性 系間的相對(duì)速率遠(yuǎn)小于光速，則它以伽利略變換為近似。知識(shí)點(diǎn)15：:四維力學(xué)矢量為：（1）能量動(dòng)量四維矢量（或簡(jiǎn)稱四維動(dòng)量）

8、四維力學(xué)矢量及其形式字二罟（3）動(dòng)量矢量:p,丄W（ 2）速度矢量: 一 c丿四維電流密度矢量：Jii,J-J,ic(5)四維空間矢量:X.-x,ict (6)p.i 二四維勢(shì)矢量：A.-A,（7）反對(duì)稱電磁場(chǎng)四維張量：F A （8）I c丿加cxv四維波矢量:k .1 =知識(shí)點(diǎn)16:事件的間隔：答：以第一事件P為空時(shí)原點(diǎn)（0，0，0，0）;第二事件Q的空時(shí)坐標(biāo)為: （x,y,z,t ），這兩事件的間隔為：2 2,2 2 2 22,22s ct - - x y * * z ct - - r式中的r = . x2y2z2為兩事件的空間距離。兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。在此區(qū)別三種情況：(1) 若

9、兩事件可以用光波聯(lián)系，有r= ct，因而s2 =0 (類光間隔)；(2) 若兩事件可用低于光速的作用來(lái)聯(lián)系，有 r : ct，因而有s2 0 (類時(shí)間 隔)；(a)絕對(duì)未來(lái)；(b)絕對(duì)過(guò)去。(3) 若兩事件的空間距離超過(guò)光波在時(shí)間t所能傳播的距離，有r ct，因而 有s2 0 (類空間隔)。知識(shí)點(diǎn)17:導(dǎo)體的靜電平衡條件及導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件。 答：導(dǎo)體的靜電平衡條件：(1) 導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上；(2) 導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；(3) 導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面。整個(gè)導(dǎo)體 的電勢(shì)相等。導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件：G=常量；丨 = CT

10、.I cn知識(shí)點(diǎn)18：勢(shì)方程的簡(jiǎn)化。答：米用兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：(1) 庫(kù)侖規(guī)范：輔助條件為、小=0(2) 洛倫茲規(guī)范：1 r/Ct輔助條件為：； A 二0.c2 ct，a例如：對(duì)于方程組:般規(guī)范的方程組)。21 A2 “2c :tA-P；01 1 :c ：t(適用于若采用庫(kù)侖規(guī)范，可得:宀皆訂7v3* =_；0C A=0)若采用洛倫茲規(guī)范，可得:2、2A_q A =。J c2戲22 _V -1牙二（此為達(dá)朗貝爾方程）。C ct0v “y=o IIC2戲丿知識(shí)點(diǎn)19:引入磁標(biāo)勢(shì)的條件。答：條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所環(huán)繞，或者說(shuō)，該區(qū)域是沒(méi)有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域，用數(shù)學(xué)式表示

11、為:J =0可HdL =0知識(shí)點(diǎn)20：動(dòng)鐘變慢:S系中同地異時(shí)的兩事件的時(shí)間間隔，即S系中同一地點(diǎn)X2 = Xi，先后(t2t2 一 ti在S系的觀測(cè):1 ）發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔X2-b)2t2t2稱為固有時(shí)，它是最短的時(shí)間間隔， t .知識(shí)點(diǎn)21:長(zhǎng)度收縮（動(dòng)尺縮短）尺相對(duì)于S系靜止，在S系中觀測(cè)I， =X2 -X；在S系中觀測(cè)t2 =ti即兩端位1戈c置同時(shí)測(cè)定 v X2 一為= XI = I0b,則TE1 1波有最低截止頻率 wc10 = .若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為C 2a，2兀2aJ氏相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為：,10 =2a.（在波導(dǎo)中能夠通過(guò)的最大波長(zhǎng)為 2a）知識(shí)點(diǎn)27:相對(duì)論的實(shí)

12、驗(yàn)基礎(chǔ)： 橫向多普勒（Doppler ）效應(yīng)實(shí)驗(yàn)（證實(shí)相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘延緩效應(yīng)）; 高速運(yùn)動(dòng)粒子壽命的測(cè)定（證實(shí)時(shí)鐘延緩效應(yīng)）； 攜帶原子鐘的環(huán)球飛行實(shí)驗(yàn)（證實(shí)狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論的時(shí)鐘延緩總效 應(yīng)）； 相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)（對(duì)狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證）-P-E知識(shí)點(diǎn)28:靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)：q。（此為微分表達(dá)式）、E = 0.穩(wěn)恒磁場(chǎng)是無(wú)源有旋場(chǎng)： B=；（此為微分表達(dá)式） t，： B = 0 j.知識(shí)點(diǎn)29:相對(duì)論速度變換式:U fl_v/dyycLi =,y dt1-vUx/c2Idx Ux vUxdt其反變換式根據(jù)此式-VUxdz Uz2cUz卩亡dt1 -vux c2UxU

13、y。Uz知識(shí)點(diǎn)30:麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據(jù)的試驗(yàn)定律。-cB -E dldsVVLS HI jS 一寸Bdl =卩0答：麥克斯韋方程組積分式為：LS一 - 1 E * dsdVS0 VB * ds =0S ds.:t.：E麥克斯韋方程組微分式為:;0B二0依據(jù)的試驗(yàn)定律為：靜電場(chǎng)的高斯定理、靜電場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理、 磁場(chǎng)中 的安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)的高斯定理。三、典型試題分析1、證明題：1、試由畢奧一沙伐爾定律證明J0 J x r73 1 ,dv - J x 、dv又知：4nJ x 1 = ； 1 ： J x ,因此- r , rk0B 叭4兀% J x dv A -

14、4 二 r4vr W、 A =0所以原式得證2試由電磁場(chǎng)方程證明一般情況下電場(chǎng)的表示式E-丁.證：在一般的變化情況中，電場(chǎng) E的特性與靜電場(chǎng)不同。電場(chǎng) E 方面受到電 荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場(chǎng)是有旋的。因此 在一般情況下，電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)，它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。 在變 化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì) A在內(nèi)。Bea式代入一E = dB得宀E+等卜0,該式表示矢量E+詈是無(wú)旋場(chǎng)，因此它可以用標(biāo)勢(shì)T苗述，E 寸。因此，在一般情況下電場(chǎng)的表示式為:E - At即得證3、試由洛侖茲變換公式證明長(zhǎng)度收縮公式1 =訂4匸。 c答：用

15、洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。如圖所示，設(shè)物體沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，以固定于物體上的參考系為 7 0若物體后端經(jīng)過(guò)R點(diǎn)（第 一事件）與前端經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)（第二事件）相對(duì)于二同時(shí)，貝U PiP2定義為匕上測(cè)得的 物體長(zhǎng)度。物體兩端在3上的坐標(biāo)設(shè)為x1和X20在二上Pi點(diǎn)的坐標(biāo)為X1, P2點(diǎn) 的坐標(biāo)為X2 ,兩端分別經(jīng)過(guò)Pi和P2的時(shí)刻為ti =t2 0對(duì)這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變換式得為一VtrX2 -Vt2兩式相減，x2 -xiX2 -Xj* .式中X2 - Xi為三上測(cè)得的物體長(zhǎng)度I （因?yàn)樽鴺?biāo)Xi和X2是在匸上同時(shí)測(cè)得的），X2 -Xi為L(zhǎng)上測(cè)得的物體靜止長(zhǎng)度I。由于物體對(duì)L靜止

16、,所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻ti和t2沒(méi)有任何限制。由（*）式得l=l0ii-爲(wèi) c4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系E二.答：由于靜電場(chǎng)的無(wú)旋性，得：E *d0設(shè)Ci和C2為由R點(diǎn)到P2點(diǎn)的兩條不同路徑。G與C2合成閉合回路，因此.Edl - . Edl =0CiC2即.Edl二.Edl因 此， 電 荷 由CiC2R點(diǎn)移至P2點(diǎn)時(shí) 電 場(chǎng)與對(duì)路它而只和兩端點(diǎn)有關(guān)勺把單位正電P2荷由Pi點(diǎn)移至P2,電場(chǎng)E對(duì)它所作的功為：.E *dl,這功定義為Pi點(diǎn)和P2點(diǎn)的電PiP2勢(shì)差。若電場(chǎng)對(duì)電荷作了正功，則電勢(shì)下降。由此， P2AR二-.Edl由Pi這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕

17、對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。相距為dl的兩點(diǎn)的電勢(shì)差為dd-E.dl.由于d =dx dy dz八dl,因此，電場(chǎng)強(qiáng)度 E等于電勢(shì)的負(fù)梯度 氷:y:zE -八:.5、試由恒定磁場(chǎng)方程證明矢勢(shì) A的微分方程 2A =j答：已知恒定磁場(chǎng)方程 B = %J（1）（在均勻線性介質(zhì)內(nèi)），把BA（2）代入0得矢勢(shì) A的微分方程匸 :- A二2.由矢量分析公式：-/ : V A八、A -l2A.若取A滿足規(guī)范條件IA = 0，得矢勢(shì)A的微分方、2A - - J.、M = 06試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系證：電場(chǎng)的邊值關(guān)系為:n E2 - E! = 0, $NN,n D2 - D,十*式可寫為D2n 一 D

18、1rl =二 式中n為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。利用D = ；E及E,可用標(biāo)勢(shì)將 表為:2n勢(shì)的邊值關(guān)系即得證 7、試由靜電場(chǎng)方程證明泊松方程、-。z可匯 E = 0 （1）答：已知靜電場(chǎng)方程為:J 門并知道E = -.（3）在均勻各向同性線 y *d = p.（2）p性介質(zhì)中，D二；E，將（3）式代入（2）得，為自由電荷密度。z于是得到靜電勢(shì)滿足的基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場(chǎng)波動(dòng)方程。答：麥克斯韋方程組、E(x)二、E(x)二汩xft表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)、Bxi=O Bx - oj X ；0%主仝t電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)又可以激發(fā)磁場(chǎng)，因此，自然可以推論電磁場(chǎng)可以

19、互相激發(fā)， 形成電磁波。這個(gè)推論可以直接從麥克斯韋方程得到， 在真空的無(wú)源區(qū)域，電荷 密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對(duì)麥克斯韋方程的第二個(gè)方程取旋度 并利用第一個(gè)方程得到-2E(x)丄嚴(yán)再把第四個(gè)方程對(duì)時(shí)間求2導(dǎo)，得到 = ；0%匚専，從上面兩個(gè)方程消去B丄，得到汛汛a1燈 E（X ）名o %0這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的波的速度是9、試由麥克斯韋方程組證明電磁場(chǎng)的邊界條件n E2 - E1 =O; n D2 - D 0時(shí)，E沿崩積分為二級(jí)小量，忽 略沿I的路徑積分，沿界面切線方向積分為：E2“l(fā)-E1t詔=0即：E2t - Eit - 0, * 。 *可以用矢量形式表示為：E Ei t

20、 = 0 式中t為沿著矩形長(zhǎng)邊的界面切線方向單位矢量。令矩形面法線方向單位矢量為t，它與界面相切，顯然有t=n t #將#式代入式，貝UE2 - E“ n t = 0, $ ，利用混合積公式A B C =C A B，改寫#式為：t l-EE1 nO此式對(duì)任意t都成立, 因此 E2 -Ei n =0,此式表示電場(chǎng)在分界面切線方向分量是連續(xù)的。10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程、2E k2E =0答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有Ef x tE(x 匕3D=E,B = 4H，把時(shí)諧電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)方程：丿一 I廠，代入麥?zhǔn)螧(x,t)=B(x)ewt.bl

21、右BV x e =廿方程組 江H =巴ctP D = 0,可 B =0.消去共同因子ewt后得、E=iwH,N x H = iwE,|E=0,i 帀=0.在此注意一點(diǎn)在w = 0的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于 帝(Vx=0，因而N H = 0,即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在 此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。取第一式旋度并用第二式得 7 E二w2，E由可“可x E )=可(可E )可2E =可2E，上式變?yōu)?2 2N2E +k2E =0,k = wj曲.此為亥姆霍茲方程。11、試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上

22、，在靜電的情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面； 在恒定電流的情況下，導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng) 線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：(1)導(dǎo)體在靜電條件下達(dá)到靜電平衡，所以導(dǎo)體內(nèi)E0，而：n (E2 -EJn E2 = 0,故E0垂直于導(dǎo)體表面。(2)導(dǎo)體中通過(guò)恒定的電流時(shí)，導(dǎo)體表面二f =0.導(dǎo)體外E0,即：D2=0而：n HD? -DJ - ；f =0,即：n Dj = n * pEj = 0 , n *0。導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)方向和法線垂直，即平行于導(dǎo)體表面。12、設(shè)A和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)， 現(xiàn)引入一矢量函數(shù)Zx,t （赫茲矢量），若令Z,證明A二丄Z.1 ；Zc2 ctc2孜證明：A和滿足洛倫茲規(guī)范，

23、故有L I 1 汐 C 、 A 二0.c2盤-=一 .Z代入洛倫茲規(guī)范，有：A 2ac2 :t2、計(jì)算題:1、真空中有一半徑為R。接地導(dǎo)體球，距球心為a a R0處有一點(diǎn)電荷Q,求空 間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷 Q來(lái)代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作,II用。由對(duì)稱性，Q應(yīng)在OQ連線上。關(guān)鍵是能否選擇Q的大小和位置使得球面上=0的條件使得滿足?考慮到球面上任一點(diǎn)P。邊界條件要求 Q Q = 0.式中r為Q到P的距離，r rIIr為Q到P的距離。因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有二常數(shù)。（1）由圖可看r Q出，只要選Q的位置使 oqp OPQ,W=R =常數(shù)。（2） 設(shè)Q距球心為b ，兩

24、三角形相似的條件為 r a=R,或b =甩.3由（1）和（2）式求出Q二-匹Q.（4） （3）和（4）式確R）aaa定假想電荷Q的位置和大小。由Q和鏡象電荷Q激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿足在導(dǎo)體面上=0的邊界條件，因此是空間中電場(chǎng)的正確解答。球外任一點(diǎn)p的電勢(shì)是：-吧 1=丄Q竺=4兀Eo rar - 4兀刑R【2 a22Racos)r為由Q到P點(diǎn)的距離，r為由Q到P點(diǎn)的距離,Ro、R2 b2 -2Rbcosr式中R為由球心0到P點(diǎn)的距離,二為OP與OQ的夾角。2、兩金屬小球分別帶電荷二和一二，它們之間的距離為I，求小球的電荷（數(shù)值 和符號(hào)）同步地作周期變化，這就是赫茲振子，試求赫茲振子的輻射能流，并討

25、 論其特點(diǎn)B = 43r|p0c R .（取球坐標(biāo)原點(diǎn)在E 乙 P ekR sin 七4二；0c2R電荷分布區(qū)內(nèi)，并以P方向?yàn)闃O軸，則可知B沿緯線上振蕩， 赫茲振子輻射的平均能流ikR .e sin re ,解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場(chǎng):E沿徑線上振蕩。）。 密度為：2 _pBn _232兀32o c Rs 2 bn. n-taB,a* aa.aa.5=嚴(yán)* h 說(shuō)山B* n BL/。因子sinJ表示赫茲振子輻射的角分布，即輻射的方向性。在- 900的平面上輻射最強(qiáng)，而沿電偶極矩軸線方向 0和二沒(méi)有輻射。3、已知海水的=1尺=1sm，試計(jì)算頻率v為50、106和109Hz的三種電磁波在海水中的

26、透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度;7 =1.1 v=50Hz 時(shí):2 v=106Hz 時(shí)：3 v =109Hz 時(shí)：、772m,2恵泊 50 4“ 101I 267: 0.5m, 2 104：. ： 101J92-7 6mm,2n ： 104 二 1014、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算 電場(chǎng)的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對(duì)稱性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度有相同的數(shù)值E,并沿徑向。當(dāng)r a時(shí)，球面所圍的總電荷為 Q,由高斯定理得ds =4二r2E呂0,寫成矢量式得E3 . r a 4瓏0r若r : a,則球面所圍電荷為

27、:織3 4 二r333Q Qr343-二 a3應(yīng)用高斯定理得：:E ds =4r2E二蟲(chóng).%a由此得E 丨 r ： a *4瓏a現(xiàn)在計(jì)算電場(chǎng)的散度。當(dāng)r a時(shí)E應(yīng)取式，在這區(qū)域r = 0，由直接計(jì)算可r=0. r a r當(dāng)r時(shí)E應(yīng)取*式，由直接計(jì)算得一匕r冬一.r ： a4二；a ；。5、一半徑為R的均勻帶電球體，電荷體密度為r ,球內(nèi)有一不帶電的球形空腔,其半徑為Ri，偏心距離為a，（ a Ri： R）求腔內(nèi)的電場(chǎng)解：這個(gè)帶電系統(tǒng)可視為帶正電 的R球與帶負(fù)電的i- !i的R1球的迭加而成。因此利用場(chǎng)的迭加原理得球形空腔的一點(diǎn)M之電場(chǎng)強(qiáng)度為:- PE =3r -r3；oPa6無(wú)窮大的平行板電容

28、器內(nèi)有兩層介質(zhì)，極板上面電荷密度為f 求電場(chǎng)和束縛電荷分布。解：由對(duì)稱性可知電場(chǎng)沿垂直于平板的方向，把n E2 - 巳=0,n H 2 _ H = -n D2 _ Di_ ；,n B2 - Bi 0.*應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，故得Di 同樣把*式應(yīng)用到上板c fc f與介質(zhì)2界面上得D2二;丁 f.由這兩式得Ei = , E2二.束縛電荷分布于引名2介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處，二f = 0，由；0 E2n - Ein - f 匚P得 bp = %任2 Ei ）= - f .?2 引丿在介質(zhì) i與下板分界處，由；。E2n -Em A Yp得/ 、f %許=- +%Ei =巧

29、i-,習(xí)丿在介質(zhì)2與上板分界處，/ 、b； =!f _EE2 =f i，名2丿容易驗(yàn)證，：； -0,介質(zhì)整體是電中性的。7、截面為S，長(zhǎng)為I的細(xì)介質(zhì)棍，沿X軸放置，近端到原點(diǎn)的距離為b，若極化強(qiáng)度為kx，沿X軸P =kxi 。求：(1) 求每端的束縛電荷面密度 二；(2)求棒內(nèi)的束縛電荷體密度Q。(3)總束 縛電荷。解：(1)求 J在棍端 P2n-Rn - P2=P2n=0，Rn=J，kxI-，A = Pn A =-P/X=b = -kb；B = Rn B = P/ x= b 1 = k(b l)P=可 P，P = kxi(2) 求由(3) 求 q q - ；B 亠 A S SI = k b

30、丨 一 kb S - ksl = 08、兩塊接地的導(dǎo)體板間的夾角為，當(dāng)板間放一點(diǎn)電荷q時(shí)，試用鏡像法就a = 900、600的情形分別求其電勢(shì)。解：設(shè)點(diǎn)電荷q處于兩導(dǎo)體面間R,0 點(diǎn)，兩導(dǎo)體面間夾角為，各象電荷處 在以R為半徑的圓周上，它們的位置可用旋轉(zhuǎn)矢量R表示，設(shè)q及其各個(gè)象電荷的位置矢為R。、R、，則有R。ReR!=R0ei2 y -Rei2： ，R2 = R0e2r = Re，R3 -R1e42 二 Re，=R2ei2： 二Re* 甩円322十息；=7，民=R4e22- Re2： J，R7 二 R5e2 4：T 二 Re4：T，& 円622： =Rei4.，R1 二 Re，r2 二 R

31、e I，21)R3 =Re4，R4 二 Re ，-2 - ，eUe4:-& = R3,象電荷只有3個(gè)，各象電荷所處在的直角坐標(biāo)為: 捲 二-Rcos X2 = Rcos，X3 二-Rcos，力=Rsin -，y2 二一Rsin -，y3 - -RsinK-A4 二 71ii + irria D式中 r = x - Rcosy - Rsin v z2,空間任意一點(diǎn)的電勢(shì) 口 =點(diǎn)x+ Rcos日丫 + (y - Rs in日f(shuō) + z2,r2 22r2 = x - Rcos y Rsinz ,n一,3r3 二 x Rcosv 2 y Rs in v 2 z2.Ri 二 Re 4 ,R2 二 Re

32、2)R 5 = ReR3 = Re/ 4,R6 二 Re,R4 = Re丄爭(zhēng))i=eR6二R5,象電荷只有5個(gè)。各象電荷所在處的直角坐標(biāo)為:XiX2-Rcos 13二 R cos v一日 1= Rcos +日 L3yi=Rsin=Rsin :，y2 - -Rsin、I 3 丿13丿X3=Rcos2X4=Rcos1- +0 ,3Rcos 133R cos3y3=-Rsi nI 33y4+ 日 |= Rsin B ! 丿 、3)X5y5=RcosI 3= Rsi n 13一日 i = -Rcos 一日丿3丄-日 U-Rsin -9 .丿13 丿o 1i -Si nwt解: （ 1）;t.:t;:t

33、；dd ；:tdN；Vw丄j = jDez -Sin wtezd；H dl = ；l d2 二 rH = jD 二r2v0w2dv0w2drSi nwtrSi nwter =a 時(shí),v0w2daSi nwteu（3）叮 |H=2兀au H2 22 ： a v0w-Sin wtCoswt d10、靜止長(zhǎng)度為l-的車廂，以速度v相對(duì)于地面S運(yùn)行，車廂的后壁以速度為U- 向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：S系的觀察者看到長(zhǎng)度為I-.1二2的車廂以vv二vi運(yùn)動(dòng)，又看到小球以u(píng) =ui追趕車廂。.小球從后壁到前壁所需的時(shí)間為：U -VU0 ,1 _V，cUoC2，UV

34、二u。+vv.j + vu。電2 j 比(1v2-或上2 -h =丨0. U0，上2 tj =J12 2-V clo二?！保?VUo11、求無(wú)限長(zhǎng)理想的螺線管的矢勢(shì) A(2 f1+叫書 V 弋 2 - h )+ = (X2 - % I(設(shè)螺線管的半徑為a,線圈匝數(shù)為n,通電電流為I)解：分析：A二土丄dV4兀v rdV，J x dV ldl o；Adl二Bds，又對(duì)于理想的無(wú)限長(zhǎng) 螺線管來(lái)說(shuō)，它的B為：nl(1)當(dāng)r ：a時(shí)，可得:2二rA = ”：r2BB=0nl2二rA= ：r2 * *%nlA 二 0(2)2 r ey(1)求k0 o (2)寫出E的瞬時(shí)值表達(dá)式解:w 107 二 二=v

35、 F H = 24兀0“ cos 1。7兀t+一 一 k0z |v 3 10830 -了兀)E = i 24江0* cos 107兀t + 二一k0z I4 丿13、內(nèi)外半徑分別為a和b的球形電容器，加上v=v0coswt的電壓，且不大, 故電場(chǎng)分布和靜態(tài)情形相同，計(jì)算介質(zhì)中位移電流密度jD及穿過(guò)半徑R a ： R ： b的球面的總位移電流JD 解：位移電流密度為：-又-jD = ；0T 又b aR +2v0 coswtv0 w-；0 -Rsin wt b - a穿過(guò)半徑 Ra : R : b 的球的總位移電流JD為：224二R vw ；014、證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度的sin wtr b aR -2證：卡=-卩- i-pE- - ；-；0即證明了均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度訂總是等于體自由電荷密度。15、一根長(zhǎng)為I