奇點(diǎn)-常微分方程

1、.6.3奇點(diǎn)本節(jié)考慮平面自治系統(tǒng)x =p ( x, y ) y =q ( x, y ) (6.18)以下總假定函數(shù)p ( x, y), q ( x, y )在區(qū)域d : x h , y h,( h +)上連續(xù)并滿足初值解的存在與唯一性定理的條件. 6.3.1 相平面、相軌線與相圖我們把xoy平面稱為 (6.18)的相平面 , 而把(6.18)的解x =x (t ), y = y(t )在xoy平面上的軌跡稱為(6.18)的軌線或相軌線.軌線族在相平面上的圖像稱為(6.18)的相圖.易于看出 ,解x =x (t ), y = y(t )在相平面上的軌線 ,正是這個(gè)解在(t , x , y )三維

2、空間中的積分曲線在相平面上的投影 .我們以后會(huì)看到 , 用軌線來(lái)研究 (6.18)的通解常要比用積分曲線方便得 多.下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明方程組的積分曲線和軌線的關(guān)系.例 1dx=-ydtdy =x dt很明顯,方程組有特解x =cos t , y =sin t.它在(t , x , y )三維空間中的積分曲線是一條螺旋線(如圖 5-3(a),它經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1,0). 當(dāng)t增加時(shí),螺旋線向上方盤(pán)旋.上述解在xoy平面上的軌線是圓x 2 +y 2 =1,它恰為上述積分曲線在xoy平面上的投影 . 當(dāng)t增加時(shí),軌線的方向如圖 5-3(b)所示.另外,易知對(duì)于任意常數(shù)a,函數(shù)x =cos(t +a)

3、, y =sin(t +a)也是方程組的解.他的積分曲線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-a,1,0)的螺旋線.但是,它們與解x =cos t , y =sin t有同一條軌線x2 +y 2=1.(a) (b)圖 5-3同時(shí) , 我們可以看出 ,x =cos(t +a), y =sin(t +a)的積分曲線可以由x =cos t , y =sin t的積分曲線沿 t 軸向下平移距離 a 而得到 .由于 a 的任意性 ,可知軌線x2 +y 2=1對(duì)應(yīng)著無(wú)窮多條積分曲線.為了畫(huà)出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解x =a cos(t +a) y =a sin(t +a)其中 a , a為任意常數(shù).于是, 方程組

4、的軌線就是圓族(圖 5-3(b).特別,x =0, y =0是方程的解,它的軌線是原點(diǎn)o(0,0).6.3.2 平面自治系統(tǒng)的三個(gè)基本性質(zhì)性質(zhì) 1 積分曲線的平移不變性設(shè)x =x (t ), y = y(t )是自治系統(tǒng)(6.18)的一個(gè)解,則對(duì)于任意常數(shù)t ,函數(shù)x =x (t +t), y = y(t +t)也是(6.18)的解.事實(shí)上,我們有恒等式dx (t +t) dx (t +t) p ( x (t +t dt d (t +t), y (t +t)dy (t +t) dy (t +t) q ( x (t +t dt d (t +t), y (t +t)由這個(gè)事實(shí)可以推出 :將(6.1

5、8)的積分曲線沿t軸作任意平移后 ,仍然是(6.18)的積分曲線 .從而它們所對(duì)應(yīng)的軌線也相同.于是,自治系統(tǒng)(6.18)的一條軌線對(duì)應(yīng)著無(wú)窮多個(gè)解. 性質(zhì) 2 軌線的唯一性如果p ( x, y ), q ( x , y )滿足初值解的存在與唯一性定理?xiàng)l件 ,則過(guò)相平面上的區(qū)域d的任一點(diǎn)p =( x , y ) 0 0 0,(6.18)存在一條且唯一一條軌線.事實(shí)上,假設(shè)在相平面的 p 點(diǎn)附近有兩條不同的軌線段 l 和 l 都通過(guò) p 點(diǎn).則在0 1 2 0(t , x , y )空間中至少存在兩條不同的積分曲線段 g 和 g (它們有可能屬于同一條積分曲線 ),使得它們?cè)谙? 2空間中的投影

6、分別是l1和l2(見(jiàn)圖 5-4,這是不妨設(shè)t 0 ,使得對(duì)一切 t 有x(t +t ) =x(t ), y (t +t ) =y (t )則稱x =x (t ), y = y(t )為(6.18)的一個(gè)周期解,t 為周期.它所對(duì)應(yīng)的軌線顯然是相平面中的一條閉曲線,稱為閉軌.由以上討論和 (6.18)軌線的唯一性 ,我們有如下結(jié)論 : 自治系統(tǒng) (6.18)的一條軌線只可能是 下列三種類(lèi)型之一:(1) 奇點(diǎn), (2) 閉軌, (3) 自不相交的非閉軌線.平面定性理論的研究目標(biāo)就是 :在不求解的情況下 ,僅從 (6.18)右端函數(shù)的性質(zhì)出發(fā) ,在相平面上描繪出其軌線的分布圖 ,稱為相圖.如何完成這

7、一任務(wù)呢 ?現(xiàn)在我們從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)給出 (6.18) 的另一種幾何解釋:如果把 (6.18) 看成描述平面上一個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 , 那么 (6.18) 在相平面上每一點(diǎn)( x , y )確定了一個(gè)速度向量v ( x, y ) =( p ( x, y ), q ( x , y )(6.20)因而 ,(6.18)在相平面上定義了一個(gè) 速度場(chǎng) 或稱 向量場(chǎng). 而(6.18)的軌線就是相平面上一條與向量場(chǎng) (6.20)相吻合的光滑曲線 . 這樣積分曲線與軌線的顯著區(qū)別是 : 積分曲線可以不考慮方向 ,而軌線是一條有向曲線,通常用箭頭在軌線上標(biāo)明對(duì)應(yīng)于時(shí)間t增大時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向.進(jìn)一步,在方程(6.18)中消去t,得到方程dy q ( x , y )=dx p ( x , y )(6.21)由(6.21)易見(jiàn) ,經(jīng)過(guò)相平面上每一個(gè)常點(diǎn)只有唯一軌線 , 而且可以證明 : 常點(diǎn)附近的軌線拓?fù)涞?價(jià)于平行直線.這樣,只有在奇點(diǎn)處,向量場(chǎng)的方向不確定.因此 ,在平面定性理論中 ,通常從奇點(diǎn)入手 , 弄清楚奇點(diǎn)