整數(shù)指數(shù)冪--教學(xué)設(shè)計(jì)(高潔)

1、整數(shù)指數(shù)冪教學(xué)說明上海市黃浦區(qū)李惠利中學(xué) 高潔一、內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是上海市九年義務(wù)教育課本七年級(jí)第一學(xué)期分式一章中 10.6 整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算的第一課時(shí) . 在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整 式概念、整式的加、減、乘、除運(yùn)算，學(xué)習(xí)了分式的意義、分式的基本性質(zhì)及分 式的運(yùn)算.掌握了“同底數(shù)冪的乘法”、“積的乘方”、“冪的乘方”及“同底數(shù)的 冪除法”等知識(shí).本節(jié)課是在正整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到自然數(shù)指數(shù)冪后的又一次擴(kuò)充將指數(shù) 的范圍擴(kuò)大到整數(shù).旨在使學(xué)生在經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展的過程中，體會(huì)到一套新 概念擴(kuò)張的研究方法 .并在探索過程中體會(huì)類比思想、以及數(shù)學(xué)中的猜想、合理 推斷的思維方法.這節(jié)課

2、是我們引導(dǎo)學(xué)生怎樣認(rèn)識(shí)、探索數(shù)學(xué)世界的一個(gè)很好的 切入點(diǎn).尤其是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)定合理性的思考，這些內(nèi)容對(duì)學(xué)生的發(fā)展都是有益的.本課內(nèi)容在初中教材中起到了承上啟下的作用，既承接了零指數(shù)冪的擴(kuò)展的 過程，又為今后研究有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪提供了范例，也為高中指數(shù)函數(shù) 的研究奠定了基礎(chǔ).同時(shí)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪概念的引入將分式和整式之間建立了有機(jī) 的聯(lián)系，因此本節(jié)課在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有非常重要的地位.本節(jié)課將教學(xué)重點(diǎn)定為 :展現(xiàn)整數(shù)指數(shù)冪的擴(kuò)充過程，體會(huì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪規(guī) 定的合理性.二、目標(biāo)與目標(biāo)解析1、經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪概念的擴(kuò)展過程，理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握a-p1= 成立的條件.a p2、經(jīng)歷正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)

3、算性質(zhì)的擴(kuò)展過程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想. 3、理解整數(shù)指數(shù)冪的意義，初步學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算.類比 a0( a 0) 規(guī)定產(chǎn)生的過程，以同底數(shù)冪除法法則的適用范圍需要擴(kuò)張為切入點(diǎn)，使學(xué)生經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪概念的擴(kuò)展過程.理解規(guī)定: a -p =1a p（其中a 0 ， p 是自然數(shù)）的意義.體會(huì)一個(gè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)規(guī)定應(yīng)該盡可能不與以往能 的法則發(fā)生矛盾，使之得以延續(xù)和推廣.三、教學(xué)問題診斷分析教學(xué)難點(diǎn)：整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展過程的探索.本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的引入 . 首先類比 a 0 =1(a 0) 這一規(guī)定產(chǎn)生的原因，為 a-p=1a p（其中 a 0 ，p 是自然數(shù)）的引入提供

4、了方法上的參考.采取從特殊到一般的思想方法，化解難點(diǎn).本課的另一教學(xué)難點(diǎn)是在檢驗(yàn)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)整數(shù)指數(shù)冪是否 仍然成立這一環(huán)節(jié).仍采取從特殊到一般的思想方法，設(shè)計(jì)了教師示例和學(xué)生分 組舉例，學(xué)生示例的環(huán)節(jié)，使學(xué)生在交流活動(dòng)中化解難點(diǎn).將正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)擴(kuò)充到整數(shù)指數(shù)冪之后，對(duì)運(yùn)算法則完整性的認(rèn) 識(shí)也是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)所在 . 這里可以采用提出質(zhì)疑的方式引發(fā)學(xué)生思考 : 整數(shù) 指數(shù)冪的運(yùn)算法則中，為什么沒有除法法則?四、教學(xué)支持條件分析:本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是上海市李惠利中學(xué)七年級(jí)（ 1）班的學(xué)生，學(xué)生學(xué)習(xí)能 力中等偏上.本節(jié)課的設(shè)計(jì)在尊重教材的基礎(chǔ)上，對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的引入采取了 從特

5、殊到一般的思維方式，使學(xué)生對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的由來有更清晰的認(rèn)識(shí) .在正 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)指數(shù)冪的驗(yàn)算環(huán)節(jié)中，對(duì)驗(yàn)算過程也適當(dāng)提高 了些要求，使學(xué)生在舉例驗(yàn)算的過程中感受到法則推廣的推導(dǎo)過程.從外部條件來看，本節(jié)課通過黑板和多媒體的結(jié)合使用，既能突出重點(diǎn)，又 能有效節(jié)省課堂時(shí)間.同時(shí)，投影儀的使用可以當(dāng)堂展示學(xué)生的練習(xí)和操作活動(dòng)， 給學(xué)生提供互相學(xué)習(xí)，揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短的機(jī)會(huì).五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)舊知，提出思考與猜想1、根據(jù)我們前面學(xué)習(xí)過的知識(shí)，對(duì)于一個(gè)非零數(shù) a n ,指數(shù) n 可以取哪些數(shù)？除了正整數(shù)和零，我們還學(xué)習(xí)過哪些數(shù)？并給出一組負(fù)整數(shù)指數(shù)冪在實(shí)際生活中 的例子.體會(huì)負(fù)整數(shù)指數(shù)

6、冪的引入既是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，也是實(shí)際生活的需要. 2、 a 0 ( a 0) 是如何規(guī)定的?為什么要這樣規(guī)定?回顧 a 0 =1(a 0) 這一規(guī)定產(chǎn)生原因，即同底數(shù)冪除法法則的適用范圍需要擴(kuò)張，為后面a-p=1a p（其中 a 0 ，p是自然數(shù)）這一規(guī)定的引入提供了方法上的參考，蘊(yùn)含類比的思想方法.3、為了使同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在 m、n 是正整數(shù)，且 m n 時(shí)仍成立， （ a 0 ，p 為正整數(shù)）a-p=?對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生可能感覺比較抽象，引導(dǎo)學(xué)生不妨先從特殊的例子入手，如 a-3=?( a 0) 體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想 . 如果學(xué)生還是找不到突破點(diǎn)，可繼續(xù)提問 : a-3可能在

7、怎樣的計(jì)算過程中產(chǎn)生 ?引導(dǎo)學(xué)生從特殊的例子入手思考 .通過這樣層層設(shè)問的方式，可以使學(xué)生在自主探索的過程中，體會(huì)規(guī)定的合理性. 這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)可以打破一部分學(xué)生對(duì)“規(guī)定”的認(rèn)識(shí) .有些學(xué)生的固有觀念可能會(huì)認(rèn)為“規(guī)定”是沒有原因的，只要將其記住并會(huì)使用就可以了，而把學(xué) 習(xí)的重點(diǎn)放在計(jì)算技巧上 .這段設(shè)計(jì)可以使學(xué)生形成一種重視概念形成過程的觀 念.不僅要知其然，更要知其所以然.（二）做出“規(guī)定”，完成整數(shù)指數(shù)冪概念的擴(kuò)展1 、為了使同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在 m、n 是正整數(shù)且 m n 時(shí)仍成立，規(guī)定: a -p =1a p（其中 a 0 ，p 是正整數(shù)）.對(duì)照課本，發(fā)現(xiàn)差別，進(jìn)一步思考：當(dāng) p =0

8、 時(shí)，上述等式是否仍然成立？擴(kuò)大指數(shù) p 的取值范圍，規(guī)定: a-p=1a p（其中 a 0 ，p 是自然數(shù)）.2、這項(xiàng)規(guī)定的引入使同底數(shù)冪的除法法則當(dāng) m n 時(shí)仍然成立，所以同底數(shù)冪除法法則得到擴(kuò)展: aman=am -n(a 0 m, n為正整數(shù)).3、從 a-p=1a p（其中 a 0 ，p 是自然數(shù)）這個(gè)規(guī)定中，觀察 a-p與 a p之間的關(guān)系是什么?揭示意義: a p與 a-p( a 0, p是自然數(shù) ) 之間互為倒數(shù).4、到現(xiàn)在為止，對(duì)于冪 a n ，指數(shù) n 可以取值的范圍是什么?對(duì)底數(shù) a 有什么 限制？完成整數(shù)指數(shù)冪概念的擴(kuò)展，讓學(xué)生體會(huì)指數(shù)概念的擴(kuò)展給底數(shù)帶來了新的 限制

9、.（三）配套練習(xí)，及時(shí)鞏固練習(xí) 1、將下列各式寫成正整數(shù)指數(shù)冪的形式3-2=_ , ( -3)-2=_ , x-6=_ , ( -y )-7=_ ,a -3b 4 =_ ， (x+2y )-2=_ .設(shè)計(jì)意圖:掌握等式 a-p1= ，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)字母 a 不僅可以代表一個(gè)數(shù)， a p還可以代表一個(gè)整式.判斷:下列計(jì)算正確嗎？錯(cuò)誤的請(qǐng)改正.(1) 5 -2 =-52 , (2) -3 -2 =9 ,(3) ( -100) -1 =-11001, (4) a-p = .a p設(shè)計(jì)意圖:不同位置的負(fù)號(hào)表示的意義不同 . 通過前三題辨析進(jìn)行新舊概念的 區(qū)分，這里也是學(xué)生自己做題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn) . 最后一

10、題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注指數(shù)概念的擴(kuò) 展給底數(shù)帶來的新的限制.例 1 計(jì)算： ( -a)3a5.練習(xí) 2、計(jì)算： （1） 10101 10104 ，(2) 512 512 , (3) a 2 ( a a3) .設(shè)計(jì)意圖:對(duì)擴(kuò)展后的同底數(shù)冪相除性質(zhì)的運(yùn)用.（四）檢驗(yàn)新規(guī)，完成正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)展回顧正整數(shù)指數(shù)冪中同底數(shù)冪相乘、冪的乘方及積的乘方的運(yùn)算性質(zhì). 提出問題：現(xiàn)在我們已經(jīng)把指數(shù)擴(kuò)展到全體整數(shù)，那么正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)整數(shù)指數(shù)冪是否仍然成立呢？指數(shù)冪概念的擴(kuò)展并不能直接帶來冪運(yùn)算法則的擴(kuò)展，相反新的概念對(duì)原有 的法則是否適用，是否帶來矛盾，是需要我們認(rèn)真對(duì)待的 .這里的處理方法仍采 取從特

11、殊到一般的思想，進(jìn)行舉例驗(yàn)算 . 學(xué)生的困難在于 : 一是不理解對(duì)指數(shù) m、n 的取值要求及取值的多樣性，二是不知道檢驗(yàn)的方法.為化解難點(diǎn)，先由老 師板演一個(gè)具體的驗(yàn)算過程和方法，然后給了學(xué)生自由發(fā)揮的空間，以小組合作 的方式，設(shè)置了一個(gè)自己舉例驗(yàn)算的環(huán)節(jié) .這個(gè)環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生在舉例驗(yàn)算的過 程中感受到法則推廣的推導(dǎo)過程，再次感受負(fù)整數(shù)指數(shù)冪規(guī)定的合理性 .最后的 學(xué)生示例環(huán)節(jié)，可以使學(xué)生通過比較，體會(huì)數(shù)據(jù)選取的多樣性及分類討論的數(shù)學(xué) 思想.練習(xí) 3、計(jì)算:（1） x-5x2, (2) ( a-7)3, (3) (2 x )-3.設(shè)計(jì)意圖:鞏固整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). （五）課堂小結(jié)通過這節(jié)課的

12、學(xué)習(xí)，大家有哪些收獲? 對(duì)于這節(jié)課，大家還有什么問題或困惑嗎？-1-4-3-1-p p357-1-1提出問題：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則中，為什么沒有除法法則?設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生形成對(duì)整數(shù)指數(shù)冪的完整認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. （六）課后作業(yè)完成學(xué)習(xí)單中的課后練習(xí).六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)一、填空：指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪記作ama0a-m指數(shù) m 的取值范圍底數(shù) a 的取值范圍意義設(shè)計(jì)說明:(1) 比較各指數(shù)冪的意義，明確零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪概 念之間的區(qū)別.(2) 比較指數(shù)和底數(shù)的取值范圍，體會(huì)指數(shù)概念的擴(kuò)展給底數(shù)帶來了新的限 制.二、計(jì)算下列各題1. 5 =_；2. 10 =_； 3. （ - 2） =_；4. 0.25-13=_；5. （- ） =_；4設(shè)計(jì)說明：考察負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，檢測(cè)學(xué)生對(duì) a 與 a 是互為倒數(shù)關(guān) 系掌握情況.三、把下列各式寫成不含有分母的形式1 14=_ ； 2.1a=_ ； 3.110=_ ；4.11 x=_；設(shè)計(jì)說明：13 題檢測(cè)學(xué)生能把正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)化成負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的形式.第 4 題考察學(xué)生能否把 2 x 看成一個(gè)整體添上括號(hào)寫成（2 x ) 的形式，而不寫成 2 x . 四、計(jì)算p p-3-1-2-33 3 1 x 21. ( a-2b )3；