初中數(shù)學競賽 輔導資料

1、 初中數(shù)學競賽輔導資料（5） an 的個位數(shù)甲內容提要.1. 整數(shù)a的正整數(shù)次冪an,它的個位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次冪的個位數(shù)字相同。例如20023與23的個位數(shù)字都是8。2. 0，1，5，6，的任何正整數(shù)次冪的個位數(shù)字都是它們本身。例如57的個位數(shù)是5，620的個位數(shù)是6。3. 2，3，7的正整數(shù)次冪的個位數(shù)字的規(guī)律見下表：指數(shù)12345678910底數(shù)224862486243397139713977931793179其規(guī)律是：2的正整數(shù)次冪的個位數(shù)是按2、4、8、6四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1與21，24K2與22，24K3與23，24K4與24的個位數(shù)是相同的（K是正整數(shù)）。3和7也有

2、類似的性質。4. 4，8，9的正整數(shù)次冪的個位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用422，823，932轉化為以2、3為底的冪。5. 綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次冪的個位數(shù)有如下的一般規(guī)律：a4Km與am的個位數(shù)相同(k,m都是正整數(shù)。乙例題例1 的個位數(shù)是多少？解：與32003的個位數(shù)是相同的，200345003，32003與33的個位數(shù)是相同的，都是7，2003的個位數(shù)是7。例2 試說明的和能被10整除的理由解：20004500，200245002與34的個位數(shù)相同都是1，與72的個位數(shù)相同都是9，的和個位數(shù)是0，的和能被10整除。例3 K取什么正整數(shù)值時，3k2k是5的倍數(shù)？例4 解：列表觀察個位

3、數(shù)的規(guī)律K12343的個位數(shù)39712的個位數(shù)24863k2k的個位數(shù)55從表中可知，當K1，3時，3k2k的個位數(shù)是5，am與a4n+m 的個位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)）;當K為任何奇數(shù)時，3k2k是5的倍數(shù)。丙練習51， 在括號里填寫各冪的個位數(shù)（K是正整數(shù)）220的個位數(shù)是（）45的個位數(shù)是（）330的個位數(shù)是（）87的個位數(shù)是（）74K+1的個位數(shù)是（） 31179的個位數(shù)是（） 216314的個位數(shù)是（） 32k-172k-1的個位數(shù)是（）72k32k的個位數(shù)是（）74k-164k-3的個位數(shù)是（）7710331522205525的個位數(shù)是（）2， 目前知道的最大素數(shù)是1，

4、它的個位數(shù)是。3， 說明如下兩個數(shù)都能被10整除的理由。535333334， 正整數(shù)m取什么值時，3m1是10的倍數(shù)？5， 設n是正整數(shù)，試說明2 n 7n+2能被5整除的理由。6， 若a4的個位數(shù)是5，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a4的個位數(shù)是1，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a4的個位數(shù)是6，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a2k-1的個位數(shù)是7，那么整數(shù)a的個位數(shù)是7, 12+22+32+92的個位數(shù)是，12+22+32+192的個位數(shù)是，12+22+32+292的個位數(shù)是。8. a,b,c是三個連續(xù)正整數(shù)，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，

5、（D）15321返回目錄參考答案3、張小嫻說：當時間過去，我們忘記了我們曾經(jīng)義無反顧地愛過一個人，忘記了他的溫柔，忘記了他為我做的一切。我對他再沒有感覺，我不再愛他了。為甚么會這樣？原來我們的愛情敗給了歲月。首先是愛情使你忘記時間，然后是時間使你忘記愛情。4、張小嫻說：思念一個人，不必天天見，不必互相擁有或相互毀滅，不是朝思暮想，而是一天總想起他幾次。聽不到他的聲音時，會擔心他。一個人在外地時，會想念和他一起的時光。5、張小嫻說：愛情，原來是含笑飲毒酒。6、張小嫻說：不被人珍視的愛情，就只是個羞恥的笑話。7、張小嫻說：寂寞的人，感冒會拖得特別的久，因為她自己也不想痊愈。8、張小嫻：女人放棄一個

6、跟不上她的男人，是有志氣。男人放棄一個跟不上他的女人，則是無義。9、張小嫻說：清醒一點吧，世上沒有未完的事，只有未死的心。10、張小嫻說：遺憾，也是一種幸福。因為還有令你遺憾的事情。11、張小嫻說：失望，有時候也是一種幸福。因為有所期待，所以才會失望。因為有愛，才會有期待。所以縱使失望也是一種幸福，雖然這種幸福有點痛。12、張小嫻說：突然覺得很委屈。我對你微笑，轉身的剎那，終于難過成你不知道的樣子。13、張小嫻說：做一個誠實的孩子。喜歡一個人，不到一定程度，不要輕易去說喜歡。因為你的一句輕浮的話，很可能悲傷另一個人一段時光。也有的，將會是，一生。14、張小嫻說：如果沒有很大把握，又或者沒有堅定

7、地信念，請不要說太長久的承諾。相愛時叫承諾，不愛的時候呢？也不是謊言吧。畢竟愛著的時候就算說了地久天長，相信也是出自真心。只不過后來的離開，不是自己能把握的。15、張小嫻說：如果愛的足夠深，又或者是用情深的人，那個曾經(jīng)傷害過TA的人有天肯回頭了，TA還是會很沒骨氣很沒出息地接受。因為愛，因為忘不了。16、張小嫻說：愛情結束后，請選擇“沉默”.你可以喊三兩最好的朋友去K歌，使勁吼，就唱那首“其實不想走，其實我想留”,然后在某個時間點突然嚎啕大哭。就算你是男生，也沒什么丟人的，不難過只能說你沒有真心愛過。17、張小嫻說：不要在愛情結束后，把那個你曾經(jīng)愛過的人到處指責，將TA說的一無是處。沒必要的，

8、既然留不住心，不如留下那份感情的純潔度，蒙了塵，也就減損了回憶的價值。18、張小嫻說：你以為不可失去的人，原來并非不可失去，你流干了眼淚，自有另一個人逗你歡笑，你傷心欲絕，然后發(fā)現(xiàn)不愛你的人，根本不值得你為之傷心，今天回首，何嘗不是一個喜?。壳楸M時，自有另一番新境界，所有的悲哀也不過是歷史。19、張小嫻說：愛情總是想象比現(xiàn)實美麗，相逢如是，告別亦如是。我們以為愛得很深、很深，來日歲月，會讓你知道，它不過很淺、很淺。最深最重的愛，必須和時日一起成長。20、張小嫻說：開始的開始總是甜蜜的后來就有了厭倦、習慣、背棄、寂寞、絕望和冷笑曾經(jīng)渴望與一個人長相廝守，后來，多么慶幸自己離開了曾幾何時，在一段短

9、暫的時光里，我們以為自己深深的愛著的一個人。后來，我們才知道那不是愛，那只是對自己說謊。21、張小嫻說：時間會讓你了解愛情，時間能夠證明愛情，也能夠把愛推翻。沒有一種悲傷是不能被時間減輕的。如果時間不可以令你忘記那些不該記住的人，我們失去的歲月又有什么意義？如果所有的悲哀、痛苦、失敗都是假的，那該多好？可惜，世上有很多假情假義，自己的痛苦、失敗、悲哀，卻偏偏總是真的。22、張小嫻說：一個錢幣最美麗的狀態(tài)，不是靜止，而是當它像陀螺一樣轉動的時候，沒人知道，即將轉出來的那一面，是快樂或痛苦，是愛還是恨?？鞓泛屯纯啵瑦酆秃?，總是不停糾纏。所謂緣分，也和發(fā)明一樣吧，都是源于偶然。愛情也是一種發(fā)明，需要不斷改良。只是，這種發(fā)明跟其他發(fā)明不一樣，它沒有專利權，隨時會給人搶走。23、張小嫻說：在最有感覺的時候，她沒有停下腳步，那么，也不必在一起走完那段路之后，回頭去尋找那些散落在地上的感覺，路已經(jīng)走完。愛情中最傷感的時刻是后期的冷淡，一個曾經(jīng)愛過你的人，忽然離你很遠，咫尺之隔，卻是天涯。曾經(jīng)轟轟烈烈，曾經(jīng)千回百轉，曾經(jīng)沾沾自喜，曾經(jīng)柔腸寸斷。到了最后，最悲哀的分手竟然是悄無聲息。24、張小嫻說：有相逢就有別離，可是每個人都害怕別離。大家都知道，