高中數(shù)學(xué)《圓錐曲線中的最值問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、圓錐曲線中的最值問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容與內(nèi)容解析圓錐曲線的單元復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容包括橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,在掌握以上一些陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的基礎(chǔ)上，再學(xué)習(xí)圓錐曲線的一些綜合應(yīng)用.在解析幾何中，運(yùn)動(dòng)是曲線的靈魂，在形的運(yùn)動(dòng)中必然伴隨著量的變化，而在變化中，往往重點(diǎn)關(guān)注變化中不變的量或關(guān)系，以及變量的變化趨勢(shì)，由此產(chǎn)生圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，圓錐曲線的中的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，圓錐曲線中的最值問(wèn)題等.圓錐曲線的最值問(wèn)題是本單元復(fù)習(xí)綜合性較強(qiáng)的內(nèi)容.重點(diǎn)研究變化的距離、弦長(zhǎng)、角度、面積、斜率、定比等幾何量的最值及相關(guān)問(wèn)題.本課重點(diǎn)是借助對(duì)常見的距

2、離問(wèn)題等的研究提煉出解決此類問(wèn)題的思想方法和基本策略，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.解決圓錐曲線的最值問(wèn)題，不僅要用到圓錐曲線定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等重要知識(shí)，綜合性強(qiáng)，聯(lián)系性廣,策略性要求高.其基本的思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，基本策略主要是代數(shù)和幾何兩個(gè)角度分析.由于圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來(lái)分析是優(yōu)先選擇；但幾何直觀往往嚴(yán)謹(jǐn)性不強(qiáng)，難以細(xì)致入微，在解析幾何中需要借助代數(shù)的工具來(lái)實(shí)現(xiàn)突破.幾何方法主要結(jié)合圖形的幾何特征，借助圓錐曲線的定義以及平面幾何知識(shí)作直接論證及判斷;代數(shù)方法主要是將幾何量及幾何關(guān)系用代數(shù)形式

3、表示,通過(guò)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線的方程，將目標(biāo)表示為變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，再借助函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)解決問(wèn)題.二、教學(xué)問(wèn)題診斷圓錐曲線的最值問(wèn)題的解決，涉及的知識(shí)面廣，需要綜合運(yùn)用圓錐曲線、平面幾何、代數(shù)等相關(guān)知識(shí)，還需要較強(qiáng)的運(yùn)算技能和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可能存在的問(wèn)題有：知識(shí)的聯(lián)系性和系統(tǒng)性較弱，難以調(diào)動(dòng)眾多的知識(shí)合理地解決問(wèn)題；運(yùn)算能力不強(qiáng)，算得慢，易算錯(cuò)，影響問(wèn)題解決的執(zhí)行力；問(wèn)題解決的策略性不強(qiáng)，就題論題，對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊等現(xiàn)象.再加上學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)課的認(rèn)識(shí)比較片面，對(duì)復(fù)習(xí)課缺乏新鮮感。在教學(xué)中，可以從簡(jiǎn)單的問(wèn)題（或者教材中的問(wèn)題）出發(fā)，通

4、過(guò)問(wèn)題的提出、問(wèn)題的拓展、問(wèn)題的變式等措施，使學(xué)生對(duì)圓錐曲線最值問(wèn)題的本質(zhì)特征有更新、更深的認(rèn)識(shí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；在教學(xué)中，通過(guò)學(xué)生對(duì)一類問(wèn)題的主動(dòng)思考、交流互動(dòng)、反思提煉，構(gòu)建知識(shí)體系，形成基本技能，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)與感悟問(wèn)題解決的策略。為了更好地加強(qiáng)策略性知識(shí)的學(xué)習(xí)，教學(xué)中可一題多用，減少問(wèn)題解決的運(yùn)算量,使學(xué)生在關(guān)鍵點(diǎn)加強(qiáng)思考與交流，有更多的時(shí)間進(jìn)行創(chuàng)造性的實(shí)踐與反思.三、目標(biāo)與目標(biāo)解析：1.進(jìn)一步理解圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，會(huì)求解橢圓、拋物線的相關(guān)變量的最值問(wèn)題，并形成一定的方法;2.進(jìn)一步體會(huì)“解析法”思想，會(huì)從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度分析和解決曲線的最值問(wèn)題，并會(huì)

5、進(jìn)行合理的選擇；3.在問(wèn)題的提出、分析、解決的過(guò)程，進(jìn)一步形成圓錐曲線最值問(wèn)題的方法體系和數(shù)學(xué)思想，形成處理最值問(wèn)題的基本策略,養(yǎng)成質(zhì)疑和創(chuàng)新的意識(shí).解決問(wèn)題后需要重構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系有新的認(rèn)識(shí)，并在操作中形成技能;會(huì)通過(guò)反思與交流，感悟并提煉重要的數(shù)學(xué)思想；在具體的最值問(wèn)題中，能根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)有意識(shí)地選擇幾何或代數(shù)的策略，并進(jìn)行具體的操作.四、教學(xué)支持條件分析由于圓錐曲線的最值問(wèn)題涉及到圖形運(yùn)動(dòng)和數(shù)量變化，學(xué)生往往缺乏對(duì)問(wèn)題的直覺把握和深切的感受，教學(xué)中可通過(guò)幾何畫板、tinspire圖形計(jì)算器、geogebra等軟件，直觀地呈現(xiàn)數(shù)、式、形的聯(lián)動(dòng)變化，使學(xué)生逐步形成多元聯(lián)系的觀點(diǎn).對(duì)

6、于一些的運(yùn)算，可以利用tinspire cas代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)，幫助學(xué)生在課堂上降低運(yùn)算的難度，減少運(yùn)算的時(shí)間，更深入地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì).五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）提出問(wèn)題解決問(wèn)題形成初步經(jīng)驗(yàn)圓錐曲線中求一些變量的最值，是一類常見的問(wèn)題，如何根據(jù)這類問(wèn)題的特點(diǎn)，尋求相應(yīng)的解題策略是我們本課研究的重點(diǎn).請(qǐng)大家做一做問(wèn)題一.并與同學(xué)交流，進(jìn)行解題后的反思.問(wèn)題一已知f(0,1),m(0,3),n(3,0),p是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，（1）求|pf|的最小值；（2）求|pm|的最小值；（3）求|pm|+|pn|的最小值.反思：（1）通過(guò)問(wèn)題一的解決，你能否總結(jié)出解決此類問(wèn)題的基本策略？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？（2）

7、你能對(duì)每一種策略，總結(jié)出明確的操作步驟嗎？（3）面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)如何選擇相應(yīng)的策略，你有了怎樣的經(jīng)驗(yàn)？設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}一入口簡(jiǎn)單，計(jì)算容易，在方法上有回歸定義，構(gòu)造函數(shù)，幾何論證等典型方法。讓學(xué)生先做，一方面是了解學(xué)生學(xué)習(xí)水平，診斷學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題；另一方面，通過(guò)學(xué)生的做，讓學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題及其解法有切身的感受與體驗(yàn).注重學(xué)生在解題后的反思活動(dòng)，通過(guò)相互的交流和表達(dá)，對(duì)解決的策略進(jìn)行反思提煉，并作進(jìn)一步的明確，是使策略性知識(shí)內(nèi)化的重要過(guò)程.預(yù)設(shè)：解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題主要有兩種策略：一是幾何方法：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，借助圓錐曲線的定義及幾何圖形的一些性質(zhì)，進(jìn)行直接判斷.二是代數(shù)方法：核心是函數(shù)思想

8、，具體步驟：設(shè)參變量，找關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，求函數(shù)的最值.一般地，當(dāng)條件中幾何關(guān)系比較明顯時(shí)，可借助幾何直觀，否則選用代數(shù)的方法.（二）了解策略簡(jiǎn)單應(yīng)用形成基本技能你能否用前面所總結(jié)的解題策略來(lái)解決下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}二練一練（1）點(diǎn)p是拋物線c：上的動(dòng)點(diǎn),f是拋物線c的焦點(diǎn)，m(2,4),則的最小值為.（2）若p，q分別橢圓與圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值和最大值分別為，.設(shè)計(jì)意圖：題(1)是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，由于涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，可以利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離,從而利用平面幾何中點(diǎn)到直線的所有距離中垂線段最短的結(jié)論得到問(wèn)題結(jié)果.解決此類問(wèn)題，要求學(xué)生有結(jié)合曲

9、線的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的能力.題(2)對(duì)象涉及橢圓與圓，目標(biāo)是動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，與問(wèn)題一相比在結(jié)構(gòu)上有較大差異；設(shè)計(jì)成填空題的形式可以引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先選擇圖形直觀解決問(wèn)題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)需要理性，本題先借助“形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)m(0,3)的距離的最值問(wèn)題，進(jìn)而從代數(shù)的角度，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.實(shí)際教學(xué)中學(xué)生易憑直覺判斷，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?如“壓扁橢圓”使學(xué)生直觀地感知錯(cuò)誤，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行反思并調(diào)整策略.圖3有學(xué)生用“曲率”來(lái)進(jìn)行說(shuō)明,也可以用同心圓來(lái)直覺猜想，最簡(jiǎn)單的方法還是用代數(shù)法函數(shù)思想分析.（三）問(wèn)題變式策略優(yōu)化形成能力問(wèn)題三.

10、議一議點(diǎn)m(0,3)的直線與橢圓交于p,q兩個(gè)不同點(diǎn),若,求數(shù)的取值范圍.分析：先審題：（1）誰(shuí)在動(dòng)？目標(biāo)量是誰(shuí)？（2）動(dòng)直線有限制條件嗎？（3）動(dòng)直線確定時(shí)，p，q的位置確定嗎？不同的位置對(duì)目標(biāo)量的值是否會(huì)有影響？預(yù)設(shè)：本題若從代數(shù)的角度求解，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為參變量，則將代入，得.可得.（）若直接求出方程的兩根，則（）若設(shè)，則但若從幾何的角度，卻有意外的驚喜！設(shè)計(jì)意圖:可以建立與斜率的等量關(guān)系，再由的范圍求的取值范圍，也可以利用問(wèn)題2的結(jié)論從幾何的角度直接判斷.同樣的思想方法,可以訓(xùn)練學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,形成解決問(wèn)題的策略.實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生更多選擇代數(shù)方法，只有三個(gè)同學(xué)選擇幾何法

11、，學(xué)生一利用了練習(xí)二的結(jié)論，但這里事實(shí)上對(duì)一般的問(wèn)題有個(gè)方法上的漏洞，教師可以提出質(zhì)疑：當(dāng)橢圓足夠扁時(shí)，的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)不共線，還能用類似的幾何方法處理嗎？其實(shí)同樣只需再換一個(gè)角度就可以順利解決，用幾何畫板演示的變化即可.練一練直線y=kx(k0)與橢圓交于p,q兩點(diǎn),a,b分別是橢圓的右、上頂點(diǎn),則四邊形apbq面積的最大值為你能說(shuō)明理由嗎？談?wù)勀愕慕忸}思路，并與同學(xué)議一議，了解一些不同的思路.設(shè)計(jì)意圖：本題的目標(biāo)量是四邊形的面積，需要借助三角形的面積，轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題進(jìn)行求解.由此產(chǎn)生不同的策略.如1：，以為參數(shù)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù);如2：，以p點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);如3：，以p點(diǎn)坐標(biāo)為參

12、數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù).如4：以思路2為基礎(chǔ)，可以通過(guò)幾何直觀判斷面積的最大值，即求p,q兩點(diǎn)到直線ab的距離之和的最大值，即為平行于ab且與橢圓相切的兩直線之間的距離通過(guò)交流，了解不同的解法，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)兩種策略的靈活運(yùn)用，提升解題能力有學(xué)生提出兩種幾何法（1）如4；（2）較有創(chuàng)意：將橢圓通過(guò)伸縮變換成為圓，先解決圓中的四邊形面積最大問(wèn)題，再進(jìn)行還原！(四)反思小結(jié)策略內(nèi)化本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？（1）你認(rèn)為解決最值問(wèn)題有哪些策略？（2）每種策略如何操作？（3）這些思想體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？（4）還有其他收獲或感想嗎？設(shè)計(jì)意圖：解題后，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生的自主反思，才能使學(xué)生的解題技能提升為策略，并內(nèi)化成自身的能力.（五）目標(biāo)檢測(cè)（必做題）1.若p，q分別拋物線c：與圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.2.2.若p，q分別是兩條曲線上的任意兩