EOF分析及其應(yīng)用[理論實操]

1、 組員：組員： 中國氣象科學研究院中國氣象科學研究院 1行業(yè)進步 一、引一、引 言言 經(jīng)驗正交函數(shù)（經(jīng)驗正交函數(shù)（EOFEOF）方法：最早由統(tǒng)計學家）方法：最早由統(tǒng)計學家 pearsonpearson（19021902）提出，由）提出，由LorenzLorenz（19561956）引入氣象）引入氣象 問題分析中。該方法以場的時間序列為分析對象，問題分析中。該方法以場的時間序列為分析對象， 由于對計算條件要求甚高，直到由于對計算條件要求甚高，直到2020世紀世紀6060年代后期年代后期 才在實際工作中得到廣泛應(yīng)用。才在實際工作中得到廣泛應(yīng)用。 近近3030年來，出現(xiàn)了適合于各種分析目的的年來，出

2、現(xiàn)了適合于各種分析目的的EOFEOF分析方分析方 法，如法，如擴展擴展EOFEOF（EEOFEEOF）方法）方法，旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)EOFEOF（REOFREOF）方）方 法，風場法，風場EOFEOF（EOFWEOFW）方法，復(fù)變量）方法，復(fù)變量EOFEOF（CEOFCEOF）方）方 法。法。 2行業(yè)進步 l1，沒有固定的函數(shù)；沒有固定的函數(shù)； l2 2，能在有限區(qū)域?qū)Σ灰?guī)則分布的站點進行分解；，能在有限區(qū)域?qū)Σ灰?guī)則分布的站點進行分解； l3 3，展開收斂快，很容易將變量場的信息集中在幾個模，展開收斂快，很容易將變量場的信息集中在幾個模 態(tài)上；態(tài)上； l4 4，分離出的空間結(jié)構(gòu)具有一定的物理意義；，分離

3、出的空間結(jié)構(gòu)具有一定的物理意義； l EOFEOF方法不但用于觀測資料的分析，還用方法不但用于觀測資料的分析，還用 于于GCMGCM資料的分析和數(shù)值模式的設(shè)計?，F(xiàn)在，資料的分析和數(shù)值模式的設(shè)計?，F(xiàn)在， EOFEOF方法已作為一種基本的分析手段頻繁地出方法已作為一種基本的分析手段頻繁地出 現(xiàn)在大氣科學研究的文獻中?，F(xiàn)在大氣科學研究的文獻中。 3行業(yè)進步 二、二、EOF分析方法原理分析方法原理 將某氣候變量場的觀測資料以矩陣形將某氣候變量場的觀測資料以矩陣形 式給出式給出 m是空間點（觀測站或網(wǎng)格點），是空間點（觀測站或網(wǎng)格點）， n是時間序列長度（觀測次數(shù)）。是時間序列長度（觀測次數(shù)）。 mnm

4、m n n xxx xxx xxx 21 22221 11211 X 4行業(yè)進步 氣象場的自然正交展開，是將氣象場的自然正交展開，是將X X分解為時間函分解為時間函 數(shù)數(shù)Z Z和空間函數(shù)和空間函數(shù)V V兩部分兩部分, ,即即 或者或者 含義：含義：場中第場中第i i個格點上的第個格點上的第t t次觀測值，可以次觀測值，可以 看作是看作是p p個空間函數(shù)個空間函數(shù) 和時間函數(shù)和時間函數(shù) 的線性組的線性組 合合 。 VZX mi,2, 1nt,2,1 p k ptiptitiktikit zvzvzvzvx 1 2211 ik v ki z pk,2, 1 5行業(yè)進步 其中，其中， 是第是第j個典

5、型場，只是空間的函數(shù)。個典型場，只是空間的函數(shù)。 mmmm m m vvv vvv vvv 21 22221 11211 V mnmm n n zzz zzz zzz 21 22221 11211 Z T mjjjj vvvv),( 21 6行業(yè)進步 第第t個空間場可表示為個空間場可表示為 或者或者 mtmttt zzzvvvx 2211 mt mm m m t m t mmt t t z v v v z v v v z v v v x x x 2 1 2 2 22 12 1 1 21 11 2 1 7行業(yè)進步 上式表明，第上式表明，第t t個場可以表示為個場可以表示為m個空間個空間 典型場，

6、按照不同的權(quán)重線性疊加而成。典型場，按照不同的權(quán)重線性疊加而成。V 的每一列表示一個空間典型場，由于這個場的每一列表示一個空間典型場，由于這個場 由實際資料確定，故又叫經(jīng)驗正交函數(shù)。由實際資料確定，故又叫經(jīng)驗正交函數(shù)。 上述分解要求滿足下列兩個條件：上述分解要求滿足下列兩個條件： 8行業(yè)進步 ji ji zz i n t jtit 0 1 T ji ZZ mji,21 ji ji vv p k kjkij 1 0 1 vv T i 性性 質(zhì)質(zhì) 9行業(yè)進步 三、分解方法三、分解方法 A為實對稱矩陣，根據(jù)實對稱矩陣分解原理，為實對稱矩陣，根據(jù)實對稱矩陣分解原理， 一定有一定有 或者或者 TT VV

7、ZZXX T T XXA AVV T T VVA 10行業(yè)進步 V的列就是的列就是A的特征向量的特征向量， 是是A的的 特征值特征值組成的對角矩陣。組成的對角矩陣。 Z就是時間系數(shù)矩陣就是時間系數(shù)矩陣， 第第i個格點上的個格點上的 第第t 個時間系數(shù)。個時間系數(shù)。 XVZ T m k ktkiit xvz 1 it z 11行業(yè)進步 四、誤差估計和計算四、誤差估計和計算 是擬合場是擬合場. 可以證明誤差可以證明誤差 nppm Z.VX X X 2 1111 () pmnm ititii itii Qxx 12行業(yè)進步 第第i個特征向量對個特征向量對X場的貢獻率場的貢獻率 前前p個特征向量對個特

8、征向量對X場的貢獻率場的貢獻率 m i iii 1 m i i i p i ii 11 五、重要參數(shù)五、重要參數(shù) 13行業(yè)進步 六、計算步驟六、計算步驟 1）根據(jù)分析目的，對原始資料矩陣）根據(jù)分析目的，對原始資料矩陣X作距作距 平或者標準化處理；平或者標準化處理； 2）由）由X求協(xié)方差矩陣求協(xié)方差矩陣 ； 3）求實對稱矩陣）求實對稱矩陣A的全部特征值的全部特征值 、特征、特征 向量向量 ，h=1H（通常使用（通常使用Jacobi法）；法）； h V h T AXX 14行業(yè)進步 4）將特征值作非升序排列（通常使用）將特征值作非升序排列（通常使用 沉浮法），并對特征向量序數(shù)作相應(yīng)變動；沉浮法），

9、并對特征向量序數(shù)作相應(yīng)變動； 5）根據(jù)）根據(jù) , ,h=1H和和X總方差，求出全總方差，求出全 部部 、 , , h=1H； 6 6）由）由X及主要及主要 求其時間系數(shù)求其時間系數(shù) 、 h h=1=1H，主要的數(shù)量由分析目的及分析對象，主要的數(shù)量由分析目的及分析對象 定；定； 7 7）輸出主要計算結(jié)果。）輸出主要計算結(jié)果。 h h V h Z h h P 15行業(yè)進步 七七 經(jīng)驗正交函數(shù)的物理意義經(jīng)驗正交函數(shù)的物理意義 特征向量以及時間系數(shù)的分析。特征向量以及時間系數(shù)的分析。 vvvv第一特征向量（第一空間典型場）是與第一特征向量（第一空間典型場）是與n n 張張X X圖平均最相似的，或者說具

10、有與所要展開的圖平均最相似的，或者說具有與所要展開的 資料矩陣的資料矩陣的n n個樣本最相似的特征。比如：若原個樣本最相似的特征。比如：若原 始資料矩陣是始資料矩陣是7 7月份月份5050年實測將水場（非距平年實測將水場（非距平 場），則第一特征向量就可以解釋為這場），則第一特征向量就可以解釋為這5050年的年的 平均場，其相應(yīng)的時間系數(shù)基本對應(yīng)我國大尺平均場，其相應(yīng)的時間系數(shù)基本對應(yīng)我國大尺 度旱澇年。但當降水場由距平組成，第一特征度旱澇年。但當降水場由距平組成，第一特征 向量就解釋為與向量就解釋為與5050年夏季距平場最相似的特征年夏季距平場最相似的特征 場，它指出了我國夏季經(jīng)常出現(xiàn)的大尺

11、度澇區(qū)場，它指出了我國夏季經(jīng)常出現(xiàn)的大尺度澇區(qū) 和旱區(qū)。和旱區(qū)。 16行業(yè)進步 八、時空轉(zhuǎn)換問題八、時空轉(zhuǎn)換問題 當當 時，先求出時，先求出 的特征值，的特征值， 然后求然后求 的特征向量，這種方法叫時的特征向量，這種方法叫時 空轉(zhuǎn)換?？辙D(zhuǎn)換。 令令 的特征值為的特征值為 ，其特征向量，其特征向量 為為 ， 的特征值也為的特征值也為 ，其，其 特征向量為特征向量為 nm XX T T XX XX T i i u T XXi i v 17行業(yè)進步 iii Xuv m vvvV, 21 XVZ T 18行業(yè)進步 l分析表明，南亞夏季風的爆發(fā)主要體現(xiàn)在降 水的突然增加和季風雨帶的快速推進上，雨 帶的

12、時空分布有突變的特點。 l第1 模態(tài)降水量的突然增加。 l第2 模態(tài)從南向北的快速推進過程。 l第3模態(tài)東西分布型態(tài)，及在季風爆發(fā) 后印度半島降水快速增加的過程。 l第4模態(tài)印度次大陸東海岸降水的準雙 周振蕩型態(tài)。 19行業(yè)進步 20行業(yè)進步 21行業(yè)進步 22行業(yè)進步 23行業(yè)進步 l將東亞500 hPa 風場,溫度場,降水量場進 行經(jīng)驗正交分解,得到它們的主要模態(tài)的 時空變化特征。結(jié)果表明東亞風場EOF 的主要模態(tài)與我國溫度,降水量的EOF 的 主要模態(tài)對應(yīng),其第一EOF 模態(tài)與盛夏溫 度,降水量的關(guān)系密切。 24行業(yè)進步 25行業(yè)進步 圖中,淡灰(灰,黑色) 是0. 05 (0. 01

13、,0. 001) 信度的相對區(qū) 26行業(yè)進步 圖a 圖b 27行業(yè)進步 l魏鳳英，現(xiàn)代氣候統(tǒng)計診斷與預(yù)測技術(shù)，氣象出版社，北京，2007; lEOF在大氣科學研究中的新進展；丁裕國；氣象科技199303期 ； l近年來中國統(tǒng)計氣象學的新進展；周家斌 黃嘉佑 ；氣象學報 1997 年03期 ； l我國盛夏500 hPa 風場的EOF 分析及其與大尺度氣候異常的關(guān)系。顧澤， 封國林，顧駿強，施能； l南亞夏季風爆發(fā)前后降水量時空變化特征。朱 敏，張 銘； 28行業(yè)進步 Thank you! 29行業(yè)進步 lKarl Pearson（18571936） 統(tǒng)統(tǒng) 計學計學之父之父。 lK. Pearson 1879年畢業(yè)于劍橋 大學數(shù)學系；1884年進入倫敦大倫敦大 學學院學學院 。 lK. Pearson 最重要的學術(shù)成就 ，是為現(xiàn)代統(tǒng)計學打下基礎(chǔ)。K. Pearson 在1893-1912年間寫出18篇 在演化論上的數(shù)學貢獻的文 章，而這門算術(shù)，也就是今 日的統(tǒng)計。許多熟悉的統(tǒng)計名詞 如標準差，成分分析，卡方檢定 都是他提出的。 30行業(yè)進步 l混沌理論之父、MIT教授 lOne of the great modern science stories