基于MATLAB實(shí)現(xiàn)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程可視化建模及仿真

1、摘 要“信號(hào)與系統(tǒng)”是電子信息、通信工程、光電工程、計(jì)算機(jī)工程、自動(dòng)控制、電子科學(xué)、生物電子工程、電力控制等弱電類專業(yè)或跨弱電類專業(yè)的一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課。它為實(shí)際應(yīng)用的信號(hào)與系統(tǒng)提供了數(shù)學(xué)分析與設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，為連續(xù)信號(hào)的抽樣，離散信號(hào)與離散系統(tǒng)提供了數(shù)字分析與設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，因而成為許多課程的理論課基礎(chǔ)?！靶盘?hào)與系統(tǒng)”主要研究確定信號(hào)的特性、線性非時(shí)變系統(tǒng)的性質(zhì)、信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的響應(yīng)，以及由此引出的信號(hào)與線性系統(tǒng)理論中重要的基本概念和基本分析方法。本文對(duì)某些典型信號(hào),如連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)，以及對(duì)基本理論進(jìn)行深入討論，運(yùn)用matlab對(duì)信號(hào)及原理進(jìn)行仿真。論文主要由三部分構(gòu)成。第一

2、部分、信號(hào)的表示和可視化。第二部分、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域、頻域、s域分析、連續(xù)信號(hào)的采樣和重構(gòu)等內(nèi)容的介紹及仿真。第三部分、用matlab創(chuàng)建各章節(jié)的圖形界面。關(guān)鍵詞 信號(hào)與系統(tǒng)，傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉變換，采樣定理，matlab仿真abstractsignals and systems is an important basic technology coursr of electronic information, communication engineering, opto-electronic engineering, computer engineering, automatic contr

3、ol, e-science, bo-electrical engineering, electrical control and so on. it provides the theoretical math analysis and design basis to practical signal and system of the mathematics of the theoretical basis of sampling for the continuous signal, also to discrete signals and discrete-time systems. so

4、it has become the basic of courses. signals and systems studies mainly about identifing the main characteristics of the signal, non-linear nature of time-varying systems, the signal through the linear system response, and the signal leads to linear system theory and the basic concept of an important

5、 and fundamental analysis. in this thesis, i study some of typical signals, such as continuous-time signal, discrete-time signal, then do an in-depth discussion of basic theory, and use matlab to emulate the signals and the principle of signal simulation. in this thesis, there are three parts. the f

6、irst part, the expression and visualization of signal; the second part, time domain, frequency domain, s domain analysis of continuous system, presentation and simulation of sampling and reconstruction in continuous signals; the third part, using matlab to create the graphical interface in the parts

7、 sbove.key words signals and systems, fourier series, fourier transform, sample theory, matlab simulation目 錄摘 要iabstractii第1章 緒 論1第2章 信號(hào)的表示和可視化32.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)32.1.1 連續(xù)指數(shù)信號(hào)32.1.2 連續(xù)正弦信號(hào)42.2 離散時(shí)間信號(hào)52.2.1 單位抽樣序列52.2.2 單位階躍序列62.2.3 單位沖激信號(hào)62.3 信號(hào)的運(yùn)算72.3.1 連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算72.3.2 離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算9第3章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析123.1 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)、

8、階躍響應(yīng)及matlab的實(shí)現(xiàn)123.2 利用matlab求lti連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)133.3 卷積的概念與性質(zhì)14第4章 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析164.1 連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換164.1.1 周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù)164.1.2 非周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉變換184.2 離散信號(hào)的傅里葉變換19第5章 連續(xù)信號(hào)的采樣和重構(gòu)225.1 采樣定理225.2 信號(hào)的重構(gòu)23第6章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析276.1 拉普拉斯變換276.2 拉普拉斯反變換286.3 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析29第7章 matlab圖形界面32結(jié) 論35致 謝36參考文獻(xiàn)37第1章 緒 論宇宙中的一切事物都在不停地運(yùn)動(dòng)中，

9、物質(zhì)的一切運(yùn)動(dòng)或狀態(tài)的變化，廣義地說(shuō)都是一種信號(hào)(signal),即信號(hào)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)形式。在通信技術(shù)中，一般將語(yǔ)言、文字、圖像或數(shù)據(jù)等統(tǒng)稱為消息(message)。在消息之中包含有一定數(shù)量的信息(information),通信的目的就是從一方向另一方傳送消息，給對(duì)方以信息。但是，消息的傳送一般都不是直接的，必須借助于一定形式的信號(hào)(光信號(hào)、電信號(hào)等)才能遠(yuǎn)距離快速傳輸和進(jìn)行各種處理。因而，信號(hào)是消息的表現(xiàn)形式，它是通信傳輸?shù)目陀^對(duì)象；而消息則是信號(hào)的具體內(nèi)容，它蘊(yùn)藏在信號(hào)之中。我們目前廣泛應(yīng)用的是電信號(hào)，電信號(hào)通常是隨時(shí)間變化的電壓或電流，在某些情況下，也可以是電荷或磁通。由于信號(hào)是隨時(shí)間

10、而變化的，在數(shù)學(xué)上它可以用時(shí)間t的函數(shù)來(lái)表示，因此，習(xí)慣上常常交替地使用“信號(hào)”與“函數(shù)”兩個(gè)名詞。系統(tǒng)的主要任務(wù)是對(duì)信號(hào)進(jìn)行傳輸與處理，信號(hào)與系統(tǒng)之間有著十分密切的聯(lián)系，分析系統(tǒng)的功能和特性必然要涉及到對(duì)信號(hào)的分析，因此對(duì)信號(hào)的分析是非常重要的。信號(hào)的特性可以從兩個(gè)方面描述，即時(shí)間特性和頻率特性。信號(hào)是時(shí)間t的函數(shù)，它具有一定的波形，因而表現(xiàn)出一定的時(shí)間特性，如出現(xiàn)時(shí)間的先后、持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短、重復(fù)周期的大小以及隨時(shí)間變化的快慢等。另外，任意信號(hào)總可以分解為許多不同頻率的正弦分量，即具有一定的頻率成分，因而表現(xiàn)出一定的頻率特性，如各頻率分量的相對(duì)大小，主要頻率分量占有的范圍等。信號(hào)的形式之所以

11、不同，就在于他們各自有不同的時(shí)間特性和頻率特性，信號(hào)的時(shí)間特性和頻率特性有著密切的關(guān)系，不同的時(shí)間特性將導(dǎo)致不同的頻率特性。各種變化著的信號(hào)從來(lái)不是孤立存在的，信號(hào)總是在系統(tǒng)中產(chǎn)生又在系統(tǒng)中不斷傳遞。所謂系統(tǒng)(system)，是有若干相互聯(lián)系，相互作用的單元組成的具有一定功能的有機(jī)整體。系統(tǒng)的種類很多，如通信系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。如通信系統(tǒng)包括接收機(jī)、發(fā)射機(jī)和計(jì)算機(jī)等，它們是通信系統(tǒng)的組成單元，它們本身又是一個(gè)較小的系統(tǒng)，稱為子系統(tǒng)；而一個(gè)電容元件具有存儲(chǔ)電容元件具有儲(chǔ)存電荷的功能，也可以把它看作一個(gè)小系統(tǒng)。通信系統(tǒng)的任務(wù)是傳輸信息，如語(yǔ)言、文字、圖像

12、、數(shù)據(jù)、指令等。為了便于傳輸，現(xiàn)有轉(zhuǎn)換設(shè)備將所傳消息按一定規(guī)則變換為相對(duì)應(yīng)的信號(hào)（如電信號(hào)、光信號(hào)，它們通常是隨時(shí)間變化的電流、電壓或光強(qiáng)等），經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男诺溃葱盘?hào)傳輸?shù)耐ǖ?，如傳輸線、電纜、空間、光纜等）將信號(hào)傳送到接收方，再轉(zhuǎn)換為聲音、文字、圖像等?！靶盘?hào)與系統(tǒng)”是一門實(shí)用性較強(qiáng)、涉及面較廣的專業(yè)基礎(chǔ)課，是電子信息類專業(yè)本科生的必須課程。它的基本方法和理論大量應(yīng)用于計(jì)算機(jī)信息處理的各個(gè)領(lǐng)域，特別是通信、數(shù)字語(yǔ)音處理、數(shù)字圖像處理、數(shù)字信號(hào)分析等領(lǐng)域，應(yīng)用更為廣泛?！靶盘?hào)與系統(tǒng)”課程是一門重要的學(xué)科基礎(chǔ)課，是一門聯(lián)系基礎(chǔ)理論與專業(yè)技術(shù)知識(shí)的重要的專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課。近年來(lái)，信息科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展

13、日益迅速，新的信號(hào)處理和分析技術(shù)不斷涌現(xiàn)，信息科學(xué)與技術(shù)研究的核心內(nèi)容主要是信息的獲取、傳輸、處理、識(shí)別及綜合等，信號(hào)是信息的載體，系統(tǒng)是信息處理的手段。在“信號(hào)與系統(tǒng)”的大部分教材中主要闡述確定性信號(hào)的時(shí)域分析和頻域分析，線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述與特性，以及信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析與變換域分析。我們?cè)谡莆招盘?hào)與系統(tǒng)的基本理論與方法的基礎(chǔ)上，應(yīng)始終強(qiáng)調(diào)其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，包括對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和求解，從而提高學(xué)生應(yīng)用基本理論和基本方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。matlab軟件提供了豐富而功能強(qiáng)大的分析工具，學(xué)生無(wú)需過(guò)多地注重計(jì)算技巧，重要的是

14、應(yīng)用所學(xué)理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題。充分利用最新的仿真軟件，可以更有效地學(xué)習(xí)知識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新素質(zhì)。應(yīng)用matlab強(qiáng)大的功能進(jìn)行信號(hào)與系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)，在可視化編程語(yǔ)言環(huán)境下做信號(hào)與系統(tǒng)的輔助實(shí)驗(yàn)，可以加深對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)理論內(nèi)容的理解。學(xué)會(huì)應(yīng)用matlab的數(shù)值計(jì)算功能，能夠使自己從繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算中解脫出來(lái)，從而將更多的時(shí)間用于對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)基本原理的分析之中。我們就是利用matlab軟件來(lái)完成“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的數(shù)值計(jì)算、信號(hào)與系統(tǒng)分析的可視化建模及仿真調(diào)試。在設(shè)計(jì)過(guò)程中主要是將信號(hào)與系統(tǒng)的基本知識(shí)、基本概念、基礎(chǔ)理論和基本方法，并按照從淺到深，從特殊到一般的演繹思路逐步引出連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

15、、復(fù)頻域分析，及離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域分析以及傅里葉級(jí)數(shù)等的主要分析，增加了利用matlab與教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合的計(jì)算機(jī)綜合練習(xí)，強(qiáng)化了學(xué)生用matlab軟件的能力。具體章節(jié)安排如下，在第二章主要介紹信號(hào)與系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)、信號(hào)的運(yùn)算等的進(jìn)行仿真；第三章主要對(duì)連續(xù)信號(hào)的時(shí)域進(jìn)行分析并用matlab實(shí)現(xiàn)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)；第四章信號(hào)的頻域分析包括連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)的傅里葉變換內(nèi)容的仿真；第五章介紹了連續(xù)信號(hào)的采樣和重構(gòu)（采樣定理），并對(duì)其進(jìn)行了仿真實(shí)現(xiàn)；第六章介紹了連續(xù)系統(tǒng)的s域分析，并對(duì)拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換進(jìn)行了仿真實(shí)現(xiàn)；第七章介紹了如何用mat

16、lab生成圖形界面，并能夠?qū)σ逊抡娴膬?nèi)容進(jìn)行演示。基于matlab實(shí)現(xiàn)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程可視化建模及仿真第2章 信號(hào)的表示和可視化信號(hào)是消息的載體，是消息的一種表現(xiàn)形式。信號(hào)可以是多種多樣的，通常表現(xiàn)為隨時(shí)間變化的某些物理量，一般用f(t)和f(k)來(lái)表示。信號(hào)按照自變量的取值是否連續(xù)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析，首先就需要將信號(hào)隨時(shí)間變化的規(guī)律用二維曲線表示出來(lái)。對(duì)于簡(jiǎn)單的信號(hào)，我們可以通過(guò)手工來(lái)繪制其波形。但對(duì)于復(fù)雜的信號(hào)，手工繪制信號(hào)波形則顯得十分困難，且難以繪制精確的曲線。matlab強(qiáng)大的圖形處理功能及符號(hào)運(yùn)算功能，為我們實(shí)現(xiàn)信號(hào)的表示及可視化提供了強(qiáng)有力的工

17、具。本章介紹如何用matlab來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的表示和可視化。在matlab中通常用兩種方法來(lái)表示，一種是用向量來(lái)表示，另一種則是用符號(hào)運(yùn)算的方法來(lái)表示信號(hào)。用適當(dāng)?shù)膍atlab語(yǔ)句表示出信號(hào)后，我們就可以利用matlab的繪制命令繪制出直觀的信號(hào)波形。2.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)所謂連續(xù)時(shí)間信號(hào)，是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對(duì)于一切自變量的取值，除了有若干不連續(xù)點(diǎn)以外，信號(hào)都由確定的值與之對(duì)應(yīng)的信號(hào)。從嚴(yán)格意義上來(lái)講，在matlab中，是用連續(xù)信號(hào)在等時(shí)間間隔點(diǎn)的樣值來(lái)近似地表示在matlab中連續(xù)信號(hào)可用向量或符號(hào)運(yùn)算功能來(lái)表示。連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指在所討論的時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)于任意時(shí)間值（除若干不連續(xù)點(diǎn)之

18、外）都可給出確定的函數(shù)值。一些基本連續(xù)信號(hào)的表達(dá)式和波形有：2.1.1 連續(xù)指數(shù)信號(hào) (2.1)式中，a是實(shí)數(shù)。a0,信號(hào)幅值隨t增加而增大，為增值函數(shù)；a0,幅值隨t增加而減少，為衰減函數(shù)。實(shí)際中，常遇到的信號(hào)為衰減指數(shù)信號(hào)。例如，信號(hào) ，我們可以用matlab表示出它的圖形，程序如下所示。t=0:0.01:10;ft=exp(-0.4*t);plot(t,ft);grid on程序運(yùn)行結(jié)果繪制的圖形如圖2.1所圖2.1 圖形2.1.2 連續(xù)正弦信號(hào) (2.2)式中，k為振幅，為角頻率，單位為弧度/秒，為初相位，單位為弧度。例如信號(hào) ，可以用matlab表示出它的圖形，程序如下所示。f=sy

19、m(2*sin(pi/4*t+3);ezplot(f,-16,16)程序運(yùn)行結(jié)果繪制的圖形如圖2.2所示。 圖2.2 圖形 2.2 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)定義為一時(shí)間函數(shù)，它只在某些離散的瞬時(shí)給出函數(shù)值，而在其他處無(wú)定義。因此，它是時(shí)間上不連續(xù)按一定先后次序排列的一組數(shù)的集合，故稱為時(shí)間序列，通常表示為x(n) -n=0;stem(n,x)xlabel(n);ylabel(x(n);title(單位階躍序列);grid on程序運(yùn)行所繪制的圖形如圖2.4所示圖2.4單位階躍序列圖形2.2.3 單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào) 的定義為 ，我們同樣可以用matlab來(lái)表示出它的圖形，程序如下所示。 n

20、=1:10; %定義序列的長(zhǎng)度是10x=zeros(1,10); x(3)=1;stem(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(單位沖激序列)grid on程序所繪制的圖形如圖2.5所示。圖2.5 單位沖激信號(hào)圖形2.3 信號(hào)的運(yùn)算2.3.1 連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算通常有信號(hào)的時(shí)移、信號(hào)倒置、信號(hào)加、信號(hào)乘、信號(hào)微分和積分等。通過(guò)信號(hào)運(yùn)算，可由基本信號(hào)生成各種復(fù)雜信號(hào)。(1)信號(hào)加(2.7)(2)信號(hào)時(shí)間尺寸改變(2.8)式中，a為時(shí)間尺寸變換系數(shù)。a1,y(t)波形在時(shí)間域內(nèi)被“壓縮”成 ;0a=min(n1)&(n=min(n2)&(n=min(n1)&(

21、n=min(n2)&(n=max(n2)=x2; % 具有y的長(zhǎng)度的 x2 y = y1 .* y2; % 序列相乘(3)信號(hào)移位(2.13) 序列y(n)相對(duì)于序列x(n)左移個(gè)采樣周期。matlab編寫的實(shí)現(xiàn)序列移位函數(shù)sigshift()，程序如下。functiony,n=sigshift(x,m,n0)n=m+n0;y=x;(4)序列折疊(2.14)即序列x(n)每一項(xiàng)對(duì)n=0的縱坐標(biāo)折疊，y(n)和x(n)相對(duì)于n=0的縱坐標(biāo)軸對(duì)稱。matlab編寫的實(shí)現(xiàn)序列移位函數(shù)sigfold()，程序如下。function y,ny = sigfold(x,nx)% y,ny = sigfol

22、d(x,nx)% -% 實(shí)現(xiàn) y(n) = x(-n)%y = fliplr(x); % 將序列數(shù)值左右翻轉(zhuǎn)ny = -fliplr(nx); % 將序列位置對(duì)零位置左右翻轉(zhuǎn)，故同時(shí)改變正負(fù)號(hào)利用matlab實(shí)現(xiàn)信號(hào)的運(yùn)算并畫出其波形，例如，x(n)=1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1;求1、2的波形1. 2.用matlab實(shí)現(xiàn) 的運(yùn)算并表示其圖形，源程序如下所示。n=-2:10;x=1:7,6:-1:1;x11,n11=sigshift(x,n,5);x12,n12=sigshift(x,n,-4);x1,n1=sigadd(2*x11,n11,-3*x12,n12);ste

23、m(n1,x1);title(x1(n)的序列)xlabel(n);ylabel(x1(n);grid on程序運(yùn)行結(jié)果如圖2.6所示。圖2.6 x1(n)的序列圖形用matlab實(shí)現(xiàn) 的運(yùn)算并表示其圖形，源程序如下所示。n=-2:10;x=1:7,6:-1:1;x21,n21=seqfold(x,n);x21,n21=sigshift(x21,n21,3);x22,n22=sigshift(x,n,2);x22,n22=seqmult(x,n,x22,n22);x2,n2=sigadd(x21,n21,x22,n22);subplot(1,1,1);stem(n2,x2);title(x2(

24、n)的圖形)xlabel(n);ylabel(x2(n);grid on程序運(yùn)行結(jié)果如圖2.7所示。圖2.7 x2(n)的序列圖形第3章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)及matlab的實(shí)現(xiàn) lti系統(tǒng)當(dāng)輸入為沖激信號(hào) 時(shí)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，用 表示。若輸入為單位階躍信號(hào) 時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，記為 ，如圖3.1所示。 圖3.1沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)原理圖對(duì)lti線性系統(tǒng)，設(shè)輸入信號(hào)為 ，沖激響應(yīng)為 ，零狀態(tài)響應(yīng)為 ，則有： (3.1) 即 包含了聯(lián)系系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。我們只要知道了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，即可求出系統(tǒng)在不同輸入時(shí)產(chǎn)

25、生的輸出。因此，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 對(duì)我們進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)的分析具有非常重要的意義。matlab為用戶提供了專門用于求連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)及階躍響應(yīng)，并繪制其時(shí)域波形的函數(shù)impulse()和step()。已知描述某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：(3.2)試用matlab繪出該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的波形，源程序如下。b=1;a=2 1 8;subplot(1,2,1)impulse(b,a)subplot(1,2,2)step(b,a) 上述命令繪制的系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的波形如圖3.2所示。圖3.2系統(tǒng)沖激和階躍響應(yīng)3.2 利用matlab求lti連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)如果系統(tǒng)的輸入信號(hào)及初始狀態(tài)已知，

26、我們便可用微分方程的經(jīng)典時(shí)域求解方法，求出系統(tǒng)的響應(yīng)。但對(duì)于高階系統(tǒng)，手工計(jì)算這一問(wèn)題的過(guò)程將會(huì)非常的困難和繁瑣。matlab的函數(shù)lsim()能對(duì)上述微分方程描述的lti連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行仿真。lsim()函數(shù)能繪制連續(xù)系統(tǒng)在指定的任意時(shí)間范圍內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域波形，還能求出連續(xù)系統(tǒng)在指定的任意時(shí)間范圍內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解。例如，描述某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：(3.3)若要求當(dāng)輸入信號(hào) 時(shí)為該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ，我們可通過(guò)如下matlab命令來(lái)實(shí)現(xiàn)：cleara=1 2 1;b=1 2;p=0.5;t=0:p:5;x=exp(-2*t);lsim(b,a,x,t);上述命令繪制的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的仿

27、真波形如圖3.3所示。圖3.3連續(xù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)仿真3.3 卷積的概念與性質(zhì)卷積是卷積積分的簡(jiǎn)稱。對(duì)一階系統(tǒng)，其零狀態(tài)響應(yīng)(3.4)就是強(qiáng)迫函數(shù) 與特征函數(shù) 的卷積。為了使上述形式的積分更具有一般性，數(shù)學(xué)上給出了卷積的如下定義：設(shè)有定義在 區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù) 和 ，則積分(3.5)定義為 和 的卷積，并簡(jiǎn)記為(3.6)在matlab中，提供了卷積函數(shù)conv，即y=conv(x,h)，調(diào)用十分方便。例如：系統(tǒng)： 信號(hào)： ，0n50計(jì)算它們的卷積，源程序如下所示。n=1:50； %定義序列的長(zhǎng)度是50hb=zeros(1,50); %注意：matlab中數(shù)組下標(biāo)從1開(kāi)始hb(1)=1;hb(2)=

28、2.5;hb(3)=2.5;hb(4)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(hb);title(系統(tǒng)hbn);m=1:50; %定義序列的長(zhǎng)度是50a=444.128; %設(shè)置信號(hào)有關(guān)的參數(shù)a=50*sqrt(2.0)*pi;t=0.001; %采樣率w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=a*exp(-a*m*t).*sin(w0*m*t); %pi是matlab定義的，信號(hào)乘可采用“.*”subplot(3,1,2);stem(x);title(輸入信號(hào)xn);y=conv(x,hb);subplot(3,1,3);stem(y);title(輸出信號(hào)yn);

29、程序運(yùn)行結(jié)果如圖3.4所示。圖3.4卷積的波形第4章 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和z變換是信號(hào)系統(tǒng)分析中兩個(gè)基本數(shù)學(xué)工具。通過(guò)信號(hào)的傅里葉變換，可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析，掌握信號(hào)的頻域特征，達(dá)到提取信號(hào)中有用信息的目的。作為信號(hào)分析的有力工具，傅里葉變換已廣泛的應(yīng)用于通訊工程、自動(dòng)測(cè)量和控制、機(jī)械振動(dòng)研究、語(yǔ)言處理、圖像處理等一系列工程技術(shù)領(lǐng)域。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，離散傅式變換（dft）和快速傅式變換（fft）技術(shù)也在不斷的完善和發(fā)展。4.1 連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換4.1.1 周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)是按一定時(shí)間間隔（周期）不斷重復(fù)的的信號(hào)。 周期信號(hào) ，其周期為t，角頻率 ，并且

30、它滿足狄氏條件，該周期信號(hào)可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，即可以表示成一系列不同頻率的正弦或指數(shù)信號(hào)之和。傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式，分別為三角形式和指數(shù)形式。三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 (4.1)其中，系數(shù) 稱為傅里葉系數(shù)，可以由式（4.2）求出。 (4.2) (4.3) (4.4)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 (4.5)這就是說(shuō)周期信號(hào)可以分解為一系列不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和，其中 稱為指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，可以由式(3.6)求出。 (4.6) 周期信號(hào)的頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)：(1)離散性，即譜線是離散的；(2)譜線性，即譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上；(3)收斂性，即諧波的幅度隨諧波次數(shù)的增高而減小。用matlab實(shí)

31、現(xiàn)周期信號(hào)的頻譜分析，源程序如下。clear all syms t n t tao at=4;a=1;tao=1;f=a*exp(-j*n*2*pi/t*t);fn=int(f,t,-tao/2,tao/2)/t;fn=simple(fn);n=-20:-1,eps,1:20;fn=subs(fn,n,n);subplot(2,1,1),stem(n,fn,filled);line(-20,20,0 0);title(周期信號(hào)的矩形脈沖的幅度譜);subplot(2,1,2),stem(n,abs(fn),filled);title(周期矩形脈沖的幅度譜)axis(-20 20 00.3);程

32、序運(yùn)行結(jié)果如圖所示4.1所示。圖4.1周期信號(hào)頻譜圖4.1.2 非周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉變換非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的，也具有收斂特性。用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)通過(guò)極限的方法導(dǎo)出非周期信號(hào)的頻譜表達(dá)式稱為傅里葉變換。傅里葉變換式： (4.7)傅里葉反變換式： (4.8)matlab的symbolic math toolbox 提供了能直接求解傅立葉變換及與變換的函數(shù)fourier()與ifourier()。在調(diào)用fourier()與ifourier()之前，要用syms命令對(duì)所用到的變量進(jìn)行說(shuō)明，即要將這些變量說(shuō)明成符號(hào)變量。對(duì)fourier()中的函數(shù)f及ifourier()的函數(shù)f，也要用符

33、號(hào)定義符syms將f和f說(shuō)明為符號(hào)表達(dá)式。若f或f是matlab中的通用函數(shù)表達(dá)式，則不必用sym加以說(shuō)明。求f(t)=e-2|t|的傅立葉變換，試畫出f(t)及其幅度頻譜圖。源程序如下所示。syms tx=exp(-2*abs(t)f=fourier(x)subplot(211);ezplot(t);subplot(212);ezplot(f);程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.2所示。圖4.2非周期信號(hào)的傅里葉變換4.2 離散信號(hào)的傅里葉變換 離散傅里葉變換（dft）和離散傅里葉變換的反變換（idft）dft: (4.9)idft: (4.10) 例如，若 是一個(gè)n=12的有限序列，利用matlab計(jì)

34、算它的dft并作圖。 源程序如下所示。n=12;n=0:n-1;xn=cos(pi*n/6);k=0:n-1;wn=exp(-j*2*pi/n);nk=n*k;wnnk=wn.nk;xk=xn*wnnk figure(1)stem(n,xn)figure(2)stem(k,abs(xk)有限序列的dft為：xk = columns 1 through 5 -0.0000 .0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i columns 6 through 10 -0.0000 - 0.0000i -0.0

35、000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i columns 11 through 12 0.0000 - 0.0000i 6.0000 + 0.0000i有限序列圖形如圖4.3所示。 圖4.3有限序列有限序列的dft的圖形如下圖4.4所示。 圖4.4有限序列的dft在matlab中有兩個(gè)高效的函數(shù)可以用來(lái)計(jì)算dft和idft，它們就是fft和ifft函數(shù)。已知序列 ，試?yán)L制x(n)及它的傅里葉變換 。源程序如下。clfn=100;n=0:n-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)

36、;xk=fft(xn,n);magxk=abs(xk);phaxk=angle(xk);subplot(221)plot(n,xn);xlabel(n);ylabel(x(n);title(x(n)n=100);subplot(222);k=0:length(magxk)-1;plot(k,magxk);xlabel(k);ylabel(|x(k)|);title(x(k)n=100);繪制出的圖形如圖4.5所示。圖形4.5 復(fù)合余弦信號(hào)的傅里葉變換第5章 連續(xù)信號(hào)的采樣和重構(gòu)采樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)完全可以用該信號(hào)在等時(shí)間間隔上的瞬時(shí)值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)時(shí)間信號(hào)

37、的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō)，采樣定理在連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之間架起了一座橋梁。由于離散時(shí)間信號(hào)的處理更為靈活、方便，在許多實(shí)際應(yīng)用中（如數(shù)字通信系統(tǒng)等），首先將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的離散信號(hào)，并進(jìn)行加工處理，然后再將處理后的離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。采樣定理為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。5.1 采樣定理設(shè) ，其中沖擊采樣信號(hào) 的表達(dá)式為 (5.1)其傅里葉變換為 ，其中 。設(shè) 的頻譜為 ，則由傅里葉變換的頻域卷積定理，有 (5.2)下面我們用例子來(lái)說(shuō)明信號(hào)的采樣。例如，當(dāng)采樣頻率時(shí) ， 稱為臨界采樣，取 。下面編程實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào) 的采樣及由該信號(hào)恢復(fù)

38、 。程序如下所示。wm=1; % 信號(hào)帶寬wc=wm; % 濾波器截止頻率ts=pi/wm; % 采樣間隔ws=2*pi/ts; % 采樣角頻率n=-100:100; % 時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)nts=n*ts; % 時(shí)域采樣點(diǎn)f=sinc(nts/pi);dt=0.005;t=-15:dt:15;fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t-nts*ones(1,length(t); %信號(hào)的重構(gòu)t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(2,1,1);stem(t1,f1);xlabel(kts);ylabel(f(k

39、ts);title(sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào));subplot(2,1,2);plot(t,fa);xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t);程序運(yùn)行所繪制圖形如圖5.1所示。圖5.1信號(hào) 的采樣及恢復(fù)圖5.2 信號(hào)的重構(gòu)設(shè)信號(hào) 被采樣后所形成的信號(hào)為 ，信號(hào)的重構(gòu)是指 由經(jīng)內(nèi)插處理后，恢復(fù)出來(lái)原信號(hào) 的過(guò)程，所以又稱為信號(hào)恢復(fù)。經(jīng)過(guò)上面的分析，我們可以得到下面的時(shí)域取樣定理。如果采樣頻率 大于有限帶寬信號(hào) 帶寬 的兩倍，即 則該信號(hào)可以由它的采樣值 重構(gòu)。否則就會(huì)在 中產(chǎn)生混疊。該有限帶寬模

40、擬信號(hào)的 被稱為奈奎斯特頻率。用matlab語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)信號(hào)的采樣；并驗(yàn)證采樣定理。為了研究采樣對(duì)頻域各量的影響，這里用兩個(gè)不同的采樣頻率對(duì) 進(jìn)行采樣。a.以樣本/秒采樣得到。求并畫出。b.以樣本/秒采樣得到。求并畫出。解：a.因?yàn)榈膸捠?khz，奈魁斯特頻率為4000樣本/秒。它比所給的采樣頻率低，因此混疊將（幾乎）不存在，用matlab繪制其波形，源程序如下。 % 模擬信號(hào)dt=0.00005;t=-0.005:dt:0.005;xa=exp(-1000*abs(t);%離散時(shí)間信號(hào)ts=0.0002;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(n*ts);%離散時(shí)間傅立葉變

41、換k=500;k=0:1:k;w=pi*k/k;x=x*exp(-j*n*w);x=real(x);w=-fliplr(w),w(2:k+1);x=fliplr(x),x(2:k+1);subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(x1(n);title(離散信號(hào));hold on stem(n*ts*1000,x);gtext(ts=0.2毫秒);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,x);xlabel(以pi為單位的頻率);ylabel(x1(w);title(離散時(shí)間傅立葉變換);程序運(yùn)行繪制的結(jié)果如圖5.2所示。圖5.2 的曲線在圖5.2中，把離散信號(hào)和疊合在一起以強(qiáng)調(diào)采樣。表明它是一個(gè)放大了（倍）的曲線。顯然，不存在混疊現(xiàn)象。b.此時(shí)，。因此必然會(huì)有明顯的混疊出現(xiàn)。從圖5.3可以看得很清楚，其中的形狀和不同了，可以看出這是把互相交疊的的復(fù)制品疊加的結(jié)果。源程序如下。% 模擬信號(hào)dt=0.00005;t