基于MATLAB實現(xiàn)“信號與系統(tǒng)”課程可視化建模及仿真

1、摘 要“信號與系統(tǒng)”是電子信息、通信工程、光電工程、計算機工程、自動控制、電子科學、生物電子工程、電力控制等弱電類專業(yè)或跨弱電類專業(yè)的一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課。它為實際應用的信號與系統(tǒng)提供了數(shù)學分析與設(shè)計的理論基礎(chǔ)，為連續(xù)信號的抽樣，離散信號與離散系統(tǒng)提供了數(shù)字分析與設(shè)計的理論基礎(chǔ)，因而成為許多課程的理論課基礎(chǔ)?！靶盘柵c系統(tǒng)”主要研究確定信號的特性、線性非時變系統(tǒng)的性質(zhì)、信號通過線性系統(tǒng)的響應，以及由此引出的信號與線性系統(tǒng)理論中重要的基本概念和基本分析方法。本文對某些典型信號,如連續(xù)時間信號、離散時間信號，以及對基本理論進行深入討論，運用matlab對信號及原理進行仿真。論文主要由三部分構(gòu)成。第一

2、部分、信號的表示和可視化。第二部分、連續(xù)系統(tǒng)的時域、頻域、s域分析、連續(xù)信號的采樣和重構(gòu)等內(nèi)容的介紹及仿真。第三部分、用matlab創(chuàng)建各章節(jié)的圖形界面。關(guān)鍵詞 信號與系統(tǒng)，傅里葉級數(shù)，傅里葉變換，采樣定理，matlab仿真abstractsignals and systems is an important basic technology coursr of electronic information, communication engineering, opto-electronic engineering, computer engineering, automatic contr

3、ol, e-science, bo-electrical engineering, electrical control and so on. it provides the theoretical math analysis and design basis to practical signal and system of the mathematics of the theoretical basis of sampling for the continuous signal, also to discrete signals and discrete-time systems. so

4、it has become the basic of courses. signals and systems studies mainly about identifing the main characteristics of the signal, non-linear nature of time-varying systems, the signal through the linear system response, and the signal leads to linear system theory and the basic concept of an important

5、 and fundamental analysis. in this thesis, i study some of typical signals, such as continuous-time signal, discrete-time signal, then do an in-depth discussion of basic theory, and use matlab to emulate the signals and the principle of signal simulation. in this thesis, there are three parts. the f

6、irst part, the expression and visualization of signal; the second part, time domain, frequency domain, s domain analysis of continuous system, presentation and simulation of sampling and reconstruction in continuous signals; the third part, using matlab to create the graphical interface in the parts

7、 sbove.key words signals and systems, fourier series, fourier transform, sample theory, matlab simulation目 錄摘 要iabstractii第1章 緒 論1第2章 信號的表示和可視化32.1 連續(xù)時間信號32.1.1 連續(xù)指數(shù)信號32.1.2 連續(xù)正弦信號42.2 離散時間信號52.2.1 單位抽樣序列52.2.2 單位階躍序列62.2.3 單位沖激信號62.3 信號的運算72.3.1 連續(xù)信號的運算72.3.2 離散時間信號的運算9第3章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析123.1 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應、

8、階躍響應及matlab的實現(xiàn)123.2 利用matlab求lti連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應133.3 卷積的概念與性質(zhì)14第4章 信號與系統(tǒng)的頻域分析164.1 連續(xù)信號的傅里葉變換164.1.1 周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)164.1.2 非周期信號的頻譜分析傅里葉變換184.2 離散信號的傅里葉變換19第5章 連續(xù)信號的采樣和重構(gòu)225.1 采樣定理225.2 信號的重構(gòu)23第6章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析276.1 拉普拉斯變換276.2 拉普拉斯反變換286.3 連續(xù)系統(tǒng)的復頻域分析29第7章 matlab圖形界面32結(jié) 論35致 謝36參考文獻37第1章 緒 論宇宙中的一切事物都在不停地運動中，

9、物質(zhì)的一切運動或狀態(tài)的變化，廣義地說都是一種信號(signal),即信號是物質(zhì)運動的表現(xiàn)形式。在通信技術(shù)中，一般將語言、文字、圖像或數(shù)據(jù)等統(tǒng)稱為消息(message)。在消息之中包含有一定數(shù)量的信息(information),通信的目的就是從一方向另一方傳送消息，給對方以信息。但是，消息的傳送一般都不是直接的，必須借助于一定形式的信號(光信號、電信號等)才能遠距離快速傳輸和進行各種處理。因而，信號是消息的表現(xiàn)形式，它是通信傳輸?shù)目陀^對象；而消息則是信號的具體內(nèi)容，它蘊藏在信號之中。我們目前廣泛應用的是電信號，電信號通常是隨時間變化的電壓或電流，在某些情況下，也可以是電荷或磁通。由于信號是隨時間

10、而變化的，在數(shù)學上它可以用時間t的函數(shù)來表示，因此，習慣上常常交替地使用“信號”與“函數(shù)”兩個名詞。系統(tǒng)的主要任務是對信號進行傳輸與處理，信號與系統(tǒng)之間有著十分密切的聯(lián)系，分析系統(tǒng)的功能和特性必然要涉及到對信號的分析，因此對信號的分析是非常重要的。信號的特性可以從兩個方面描述，即時間特性和頻率特性。信號是時間t的函數(shù)，它具有一定的波形，因而表現(xiàn)出一定的時間特性，如出現(xiàn)時間的先后、持續(xù)時間的長短、重復周期的大小以及隨時間變化的快慢等。另外，任意信號總可以分解為許多不同頻率的正弦分量，即具有一定的頻率成分，因而表現(xiàn)出一定的頻率特性，如各頻率分量的相對大小，主要頻率分量占有的范圍等。信號的形式之所以

11、不同，就在于他們各自有不同的時間特性和頻率特性，信號的時間特性和頻率特性有著密切的關(guān)系，不同的時間特性將導致不同的頻率特性。各種變化著的信號從來不是孤立存在的，信號總是在系統(tǒng)中產(chǎn)生又在系統(tǒng)中不斷傳遞。所謂系統(tǒng)(system)，是有若干相互聯(lián)系，相互作用的單元組成的具有一定功能的有機整體。系統(tǒng)的種類很多，如通信系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等。如通信系統(tǒng)包括接收機、發(fā)射機和計算機等，它們是通信系統(tǒng)的組成單元，它們本身又是一個較小的系統(tǒng)，稱為子系統(tǒng)；而一個電容元件具有存儲電容元件具有儲存電荷的功能，也可以把它看作一個小系統(tǒng)。通信系統(tǒng)的任務是傳輸信息，如語言、文字、圖像

12、、數(shù)據(jù)、指令等。為了便于傳輸，現(xiàn)有轉(zhuǎn)換設(shè)備將所傳消息按一定規(guī)則變換為相對應的信號（如電信號、光信號，它們通常是隨時間變化的電流、電壓或光強等），經(jīng)過適當?shù)男诺溃葱盘杺鬏數(shù)耐ǖ?，如傳輸線、電纜、空間、光纜等）將信號傳送到接收方，再轉(zhuǎn)換為聲音、文字、圖像等?！靶盘柵c系統(tǒng)”是一門實用性較強、涉及面較廣的專業(yè)基礎(chǔ)課，是電子信息類專業(yè)本科生的必須課程。它的基本方法和理論大量應用于計算機信息處理的各個領(lǐng)域，特別是通信、數(shù)字語音處理、數(shù)字圖像處理、數(shù)字信號分析等領(lǐng)域，應用更為廣泛?！靶盘柵c系統(tǒng)”課程是一門重要的學科基礎(chǔ)課，是一門聯(lián)系基礎(chǔ)理論與專業(yè)技術(shù)知識的重要的專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課。近年來，信息科學與技術(shù)的發(fā)展

13、日益迅速，新的信號處理和分析技術(shù)不斷涌現(xiàn)，信息科學與技術(shù)研究的核心內(nèi)容主要是信息的獲取、傳輸、處理、識別及綜合等，信號是信息的載體，系統(tǒng)是信息處理的手段。在“信號與系統(tǒng)”的大部分教材中主要闡述確定性信號的時域分析和頻域分析，線性時不變系統(tǒng)的描述與特性，以及信號通過線性時不變系統(tǒng)的時域分析與變換域分析。我們在掌握信號與系統(tǒng)的基本理論與方法的基礎(chǔ)上，應始終強調(diào)其分析問題和解決問題的能力，包括對實際問題建立數(shù)學模型，用適當?shù)臄?shù)學工具對數(shù)學模型進行分析和求解，從而提高學生應用基本理論和基本方法分析和解決實際問題的能力。matlab軟件提供了豐富而功能強大的分析工具，學生無需過多地注重計算技巧，重要的是

14、應用所學理論和方法解決實際問題。充分利用最新的仿真軟件，可以更有效地學習知識，培養(yǎng)創(chuàng)新素質(zhì)。應用matlab強大的功能進行信號與系統(tǒng)的分析設(shè)計，在可視化編程語言環(huán)境下做信號與系統(tǒng)的輔助實驗，可以加深對信號與系統(tǒng)理論內(nèi)容的理解。學會應用matlab的數(shù)值計算功能，能夠使自己從繁瑣的數(shù)學運算中解脫出來，從而將更多的時間用于對信號與系統(tǒng)基本原理的分析之中。我們就是利用matlab軟件來完成“信號與系統(tǒng)”課程的數(shù)值計算、信號與系統(tǒng)分析的可視化建模及仿真調(diào)試。在設(shè)計過程中主要是將信號與系統(tǒng)的基本知識、基本概念、基礎(chǔ)理論和基本方法，并按照從淺到深，從特殊到一般的演繹思路逐步引出連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析

15、、復頻域分析，及離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析、復頻域分析以及傅里葉級數(shù)等的主要分析，增加了利用matlab與教學內(nèi)容相結(jié)合的計算機綜合練習，強化了學生用matlab軟件的能力。具體章節(jié)安排如下，在第二章主要介紹信號與系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識，包括連續(xù)時間信號、離散時間信號、信號的運算等的進行仿真；第三章主要對連續(xù)信號的時域進行分析并用matlab實現(xiàn)沖激響應和階躍響應；第四章信號的頻域分析包括連續(xù)信號和離散信號的傅里葉變換內(nèi)容的仿真；第五章介紹了連續(xù)信號的采樣和重構(gòu)（采樣定理），并對其進行了仿真實現(xiàn)；第六章介紹了連續(xù)系統(tǒng)的s域分析，并對拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換進行了仿真實現(xiàn)；第七章介紹了如何用mat

16、lab生成圖形界面，并能夠?qū)σ逊抡娴膬?nèi)容進行演示?；趍atlab實現(xiàn)“信號與系統(tǒng)”課程可視化建模及仿真第2章 信號的表示和可視化信號是消息的載體，是消息的一種表現(xiàn)形式。信號可以是多種多樣的，通常表現(xiàn)為隨時間變化的某些物理量，一般用f(t)和f(k)來表示。信號按照自變量的取值是否連續(xù)可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。對信號進行時域分析，首先就需要將信號隨時間變化的規(guī)律用二維曲線表示出來。對于簡單的信號，我們可以通過手工來繪制其波形。但對于復雜的信號，手工繪制信號波形則顯得十分困難，且難以繪制精確的曲線。matlab強大的圖形處理功能及符號運算功能，為我們實現(xiàn)信號的表示及可視化提供了強有力的工

17、具。本章介紹如何用matlab來實現(xiàn)信號的表示和可視化。在matlab中通常用兩種方法來表示，一種是用向量來表示，另一種則是用符號運算的方法來表示信號。用適當?shù)膍atlab語句表示出信號后，我們就可以利用matlab的繪制命令繪制出直觀的信號波形。2.1 連續(xù)時間信號所謂連續(xù)時間信號，是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對于一切自變量的取值，除了有若干不連續(xù)點以外，信號都由確定的值與之對應的信號。從嚴格意義上來講，在matlab中，是用連續(xù)信號在等時間間隔點的樣值來近似地表示在matlab中連續(xù)信號可用向量或符號運算功能來表示。連續(xù)時間信號是指在所討論的時間間隔內(nèi)，對于任意時間值（除若干不連續(xù)點之

18、外）都可給出確定的函數(shù)值。一些基本連續(xù)信號的表達式和波形有：2.1.1 連續(xù)指數(shù)信號 (2.1)式中，a是實數(shù)。a0,信號幅值隨t增加而增大，為增值函數(shù)；a0,幅值隨t增加而減少，為衰減函數(shù)。實際中，常遇到的信號為衰減指數(shù)信號。例如，信號 ，我們可以用matlab表示出它的圖形，程序如下所示。t=0:0.01:10;ft=exp(-0.4*t);plot(t,ft);grid on程序運行結(jié)果繪制的圖形如圖2.1所圖2.1 圖形2.1.2 連續(xù)正弦信號 (2.2)式中，k為振幅，為角頻率，單位為弧度/秒，為初相位，單位為弧度。例如信號 ，可以用matlab表示出它的圖形，程序如下所示。f=sy

19、m(2*sin(pi/4*t+3);ezplot(f,-16,16)程序運行結(jié)果繪制的圖形如圖2.2所示。 圖2.2 圖形 2.2 離散時間信號離散時間信號定義為一時間函數(shù)，它只在某些離散的瞬時給出函數(shù)值，而在其他處無定義。因此，它是時間上不連續(xù)按一定先后次序排列的一組數(shù)的集合，故稱為時間序列，通常表示為x(n) -n=0;stem(n,x)xlabel(n);ylabel(x(n);title(單位階躍序列);grid on程序運行所繪制的圖形如圖2.4所示圖2.4單位階躍序列圖形2.2.3 單位沖激信號單位沖激信號 的定義為 ，我們同樣可以用matlab來表示出它的圖形，程序如下所示。 n

20、=1:10; %定義序列的長度是10x=zeros(1,10); x(3)=1;stem(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(單位沖激序列)grid on程序所繪制的圖形如圖2.5所示。圖2.5 單位沖激信號圖形2.3 信號的運算2.3.1 連續(xù)信號的運算連續(xù)時間信號的運算通常有信號的時移、信號倒置、信號加、信號乘、信號微分和積分等。通過信號運算，可由基本信號生成各種復雜信號。(1)信號加(2.7)(2)信號時間尺寸改變(2.8)式中，a為時間尺寸變換系數(shù)。a1,y(t)波形在時間域內(nèi)被“壓縮”成 ;0a=min(n1)&(n=min(n2)&(n=min(n1)&(

21、n=min(n2)&(n=max(n2)=x2; % 具有y的長度的 x2 y = y1 .* y2; % 序列相乘(3)信號移位(2.13) 序列y(n)相對于序列x(n)左移個采樣周期。matlab編寫的實現(xiàn)序列移位函數(shù)sigshift()，程序如下。functiony,n=sigshift(x,m,n0)n=m+n0;y=x;(4)序列折疊(2.14)即序列x(n)每一項對n=0的縱坐標折疊，y(n)和x(n)相對于n=0的縱坐標軸對稱。matlab編寫的實現(xiàn)序列移位函數(shù)sigfold()，程序如下。function y,ny = sigfold(x,nx)% y,ny = sigfol

22、d(x,nx)% -% 實現(xiàn) y(n) = x(-n)%y = fliplr(x); % 將序列數(shù)值左右翻轉(zhuǎn)ny = -fliplr(nx); % 將序列位置對零位置左右翻轉(zhuǎn)，故同時改變正負號利用matlab實現(xiàn)信號的運算并畫出其波形，例如，x(n)=1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1;求1、2的波形1. 2.用matlab實現(xiàn) 的運算并表示其圖形，源程序如下所示。n=-2:10;x=1:7,6:-1:1;x11,n11=sigshift(x,n,5);x12,n12=sigshift(x,n,-4);x1,n1=sigadd(2*x11,n11,-3*x12,n12);ste

23、m(n1,x1);title(x1(n)的序列)xlabel(n);ylabel(x1(n);grid on程序運行結(jié)果如圖2.6所示。圖2.6 x1(n)的序列圖形用matlab實現(xiàn) 的運算并表示其圖形，源程序如下所示。n=-2:10;x=1:7,6:-1:1;x21,n21=seqfold(x,n);x21,n21=sigshift(x21,n21,3);x22,n22=sigshift(x,n,2);x22,n22=seqmult(x,n,x22,n22);x2,n2=sigadd(x21,n21,x22,n22);subplot(1,1,1);stem(n2,x2);title(x2(

24、n)的圖形)xlabel(n);ylabel(x2(n);grid on程序運行結(jié)果如圖2.7所示。圖2.7 x2(n)的序列圖形第3章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析3.1 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應、階躍響應及matlab的實現(xiàn) lti系統(tǒng)當輸入為沖激信號 時產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的沖激響應，用 表示。若輸入為單位階躍信號 時系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的階躍響應，記為 ，如圖3.1所示。 圖3.1沖激響應和階躍響應原理圖對lti線性系統(tǒng)，設(shè)輸入信號為 ，沖激響應為 ，零狀態(tài)響應為 ，則有： (3.1) 即 包含了聯(lián)系系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。我們只要知道了系統(tǒng)的沖激響應，即可求出系統(tǒng)在不同輸入時產(chǎn)

25、生的輸出。因此，求解系統(tǒng)的沖激響應 對我們進行連續(xù)系統(tǒng)的分析具有非常重要的意義。matlab為用戶提供了專門用于求連續(xù)系統(tǒng)沖激響應及階躍響應，并繪制其時域波形的函數(shù)impulse()和step()。已知描述某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：(3.2)試用matlab繪出該系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應的波形，源程序如下。b=1;a=2 1 8;subplot(1,2,1)impulse(b,a)subplot(1,2,2)step(b,a) 上述命令繪制的系統(tǒng)沖激響應和階躍響應的波形如圖3.2所示。圖3.2系統(tǒng)沖激和階躍響應3.2 利用matlab求lti連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應如果系統(tǒng)的輸入信號及初始狀態(tài)已知，

26、我們便可用微分方程的經(jīng)典時域求解方法，求出系統(tǒng)的響應。但對于高階系統(tǒng)，手工計算這一問題的過程將會非常的困難和繁瑣。matlab的函數(shù)lsim()能對上述微分方程描述的lti連續(xù)系統(tǒng)的響應進行仿真。lsim()函數(shù)能繪制連續(xù)系統(tǒng)在指定的任意時間范圍內(nèi)系統(tǒng)響應的時域波形，還能求出連續(xù)系統(tǒng)在指定的任意時間范圍內(nèi)系統(tǒng)響應的數(shù)值解。例如，描述某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：(3.3)若要求當輸入信號 時為該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 ，我們可通過如下matlab命令來實現(xiàn)：cleara=1 2 1;b=1 2;p=0.5;t=0:p:5;x=exp(-2*t);lsim(b,a,x,t);上述命令繪制的系統(tǒng)零狀態(tài)響應的仿

27、真波形如圖3.3所示。圖3.3連續(xù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應仿真3.3 卷積的概念與性質(zhì)卷積是卷積積分的簡稱。對一階系統(tǒng)，其零狀態(tài)響應(3.4)就是強迫函數(shù) 與特征函數(shù) 的卷積。為了使上述形式的積分更具有一般性，數(shù)學上給出了卷積的如下定義：設(shè)有定義在 區(qū)間上的兩個函數(shù) 和 ，則積分(3.5)定義為 和 的卷積，并簡記為(3.6)在matlab中，提供了卷積函數(shù)conv，即y=conv(x,h)，調(diào)用十分方便。例如：系統(tǒng)： 信號： ，0n50計算它們的卷積，源程序如下所示。n=1:50； %定義序列的長度是50hb=zeros(1,50); %注意：matlab中數(shù)組下標從1開始hb(1)=1;hb(2)=

28、2.5;hb(3)=2.5;hb(4)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(hb);title(系統(tǒng)hbn);m=1:50; %定義序列的長度是50a=444.128; %設(shè)置信號有關(guān)的參數(shù)a=50*sqrt(2.0)*pi;t=0.001; %采樣率w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=a*exp(-a*m*t).*sin(w0*m*t); %pi是matlab定義的，信號乘可采用“.*”subplot(3,1,2);stem(x);title(輸入信號xn);y=conv(x,hb);subplot(3,1,3);stem(y);title(輸出信號yn);

29、程序運行結(jié)果如圖3.4所示。圖3.4卷積的波形第4章 信號與系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和z變換是信號系統(tǒng)分析中兩個基本數(shù)學工具。通過信號的傅里葉變換，可實現(xiàn)信號的頻譜分析，掌握信號的頻域特征，達到提取信號中有用信息的目的。作為信號分析的有力工具，傅里葉變換已廣泛的應用于通訊工程、自動測量和控制、機械振動研究、語言處理、圖像處理等一系列工程技術(shù)領(lǐng)域。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，離散傅式變換（dft）和快速傅式變換（fft）技術(shù)也在不斷的完善和發(fā)展。4.1 連續(xù)信號的傅里葉變換4.1.1 周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)周期信號是按一定時間間隔（周期）不斷重復的的信號。 周期信號 ，其周期為t，角頻率 ，并且

30、它滿足狄氏條件，該周期信號可以展開成傅里葉級數(shù)，即可以表示成一系列不同頻率的正弦或指數(shù)信號之和。傅里葉級數(shù)有兩種形式，分別為三角形式和指數(shù)形式。三角形式的傅里葉級數(shù)為 (4.1)其中，系數(shù) 稱為傅里葉系數(shù)，可以由式（4.2）求出。 (4.2) (4.3) (4.4)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為 (4.5)這就是說周期信號可以分解為一系列不同頻率的虛指數(shù)信號之和，其中 稱為指數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)，可以由式(3.6)求出。 (4.6) 周期信號的頻譜具有三個特點：(1)離散性，即譜線是離散的；(2)譜線性，即譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上；(3)收斂性，即諧波的幅度隨諧波次數(shù)的增高而減小。用matlab實

31、現(xiàn)周期信號的頻譜分析，源程序如下。clear all syms t n t tao at=4;a=1;tao=1;f=a*exp(-j*n*2*pi/t*t);fn=int(f,t,-tao/2,tao/2)/t;fn=simple(fn);n=-20:-1,eps,1:20;fn=subs(fn,n,n);subplot(2,1,1),stem(n,fn,filled);line(-20,20,0 0);title(周期信號的矩形脈沖的幅度譜);subplot(2,1,2),stem(n,abs(fn),filled);title(周期矩形脈沖的幅度譜)axis(-20 20 00.3);程

32、序運行結(jié)果如圖所示4.1所示。圖4.1周期信號頻譜圖4.1.2 非周期信號的頻譜分析傅里葉變換非周期信號的頻譜是連續(xù)的，也具有收斂特性。用周期信號的傅里葉級數(shù)通過極限的方法導出非周期信號的頻譜表達式稱為傅里葉變換。傅里葉變換式： (4.7)傅里葉反變換式： (4.8)matlab的symbolic math toolbox 提供了能直接求解傅立葉變換及與變換的函數(shù)fourier()與ifourier()。在調(diào)用fourier()與ifourier()之前，要用syms命令對所用到的變量進行說明，即要將這些變量說明成符號變量。對fourier()中的函數(shù)f及ifourier()的函數(shù)f，也要用符

33、號定義符syms將f和f說明為符號表達式。若f或f是matlab中的通用函數(shù)表達式，則不必用sym加以說明。求f(t)=e-2|t|的傅立葉變換，試畫出f(t)及其幅度頻譜圖。源程序如下所示。syms tx=exp(-2*abs(t)f=fourier(x)subplot(211);ezplot(t);subplot(212);ezplot(f);程序運行的結(jié)果如圖4.2所示。圖4.2非周期信號的傅里葉變換4.2 離散信號的傅里葉變換 離散傅里葉變換（dft）和離散傅里葉變換的反變換（idft）dft: (4.9)idft: (4.10) 例如，若 是一個n=12的有限序列，利用matlab計

34、算它的dft并作圖。 源程序如下所示。n=12;n=0:n-1;xn=cos(pi*n/6);k=0:n-1;wn=exp(-j*2*pi/n);nk=n*k;wnnk=wn.nk;xk=xn*wnnk figure(1)stem(n,xn)figure(2)stem(k,abs(xk)有限序列的dft為：xk = columns 1 through 5 -0.0000 .0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i columns 6 through 10 -0.0000 - 0.0000i -0.0

35、000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i columns 11 through 12 0.0000 - 0.0000i 6.0000 + 0.0000i有限序列圖形如圖4.3所示。 圖4.3有限序列有限序列的dft的圖形如下圖4.4所示。 圖4.4有限序列的dft在matlab中有兩個高效的函數(shù)可以用來計算dft和idft，它們就是fft和ifft函數(shù)。已知序列 ，試繪制x(n)及它的傅里葉變換 。源程序如下。clfn=100;n=0:n-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)

36、;xk=fft(xn,n);magxk=abs(xk);phaxk=angle(xk);subplot(221)plot(n,xn);xlabel(n);ylabel(x(n);title(x(n)n=100);subplot(222);k=0:length(magxk)-1;plot(k,magxk);xlabel(k);ylabel(|x(k)|);title(x(k)n=100);繪制出的圖形如圖4.5所示。圖形4.5 復合余弦信號的傅里葉變換第5章 連續(xù)信號的采樣和重構(gòu)采樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)時間信號

37、的全部信息，利用這些樣本值可以恢復原信號。可以說，采樣定理在連續(xù)時間信號和離散時間信號之間架起了一座橋梁。由于離散時間信號的處理更為靈活、方便，在許多實際應用中（如數(shù)字通信系統(tǒng)等），首先將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為相應的離散信號，并進行加工處理，然后再將處理后的離散信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號。采樣定理為連續(xù)時間信號和離散時間信號的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。5.1 采樣定理設(shè) ，其中沖擊采樣信號 的表達式為 (5.1)其傅里葉變換為 ，其中 。設(shè) 的頻譜為 ，則由傅里葉變換的頻域卷積定理，有 (5.2)下面我們用例子來說明信號的采樣。例如，當采樣頻率時 ， 稱為臨界采樣，取 。下面編程實現(xiàn)對信號 的采樣及由該信號恢復

38、 。程序如下所示。wm=1; % 信號帶寬wc=wm; % 濾波器截止頻率ts=pi/wm; % 采樣間隔ws=2*pi/ts; % 采樣角頻率n=-100:100; % 時域采樣點數(shù)nts=n*ts; % 時域采樣點f=sinc(nts/pi);dt=0.005;t=-15:dt:15;fa=f*ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nts),1)*t-nts*ones(1,length(t); %信號的重構(gòu)t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(2,1,1);stem(t1,f1);xlabel(kts);ylabel(f(k

39、ts);title(sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號);subplot(2,1,2);plot(t,fa);xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號重構(gòu)sa(t);程序運行所繪制圖形如圖5.1所示。圖5.1信號 的采樣及恢復圖5.2 信號的重構(gòu)設(shè)信號 被采樣后所形成的信號為 ，信號的重構(gòu)是指 由經(jīng)內(nèi)插處理后，恢復出來原信號 的過程，所以又稱為信號恢復。經(jīng)過上面的分析，我們可以得到下面的時域取樣定理。如果采樣頻率 大于有限帶寬信號 帶寬 的兩倍，即 則該信號可以由它的采樣值 重構(gòu)。否則就會在 中產(chǎn)生混疊。該有限帶寬模

40、擬信號的 被稱為奈奎斯特頻率。用matlab語言實現(xiàn)對連續(xù)信號的采樣；并驗證采樣定理。為了研究采樣對頻域各量的影響，這里用兩個不同的采樣頻率對 進行采樣。a.以樣本/秒采樣得到。求并畫出。b.以樣本/秒采樣得到。求并畫出。解：a.因為的帶寬是2khz，奈魁斯特頻率為4000樣本/秒。它比所給的采樣頻率低，因此混疊將（幾乎）不存在，用matlab繪制其波形，源程序如下。 % 模擬信號dt=0.00005;t=-0.005:dt:0.005;xa=exp(-1000*abs(t);%離散時間信號ts=0.0002;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(n*ts);%離散時間傅立葉變

41、換k=500;k=0:1:k;w=pi*k/k;x=x*exp(-j*n*w);x=real(x);w=-fliplr(w),w(2:k+1);x=fliplr(x),x(2:k+1);subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(x1(n);title(離散信號);hold on stem(n*ts*1000,x);gtext(ts=0.2毫秒);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,x);xlabel(以pi為單位的頻率);ylabel(x1(w);title(離散時間傅立葉變換);程序運行繪制的結(jié)果如圖5.2所示。圖5.2 的曲線在圖5.2中，把離散信號和疊合在一起以強調(diào)采樣。表明它是一個放大了（倍）的曲線。顯然，不存在混疊現(xiàn)象。b.此時，。因此必然會有明顯的混疊出現(xiàn)。從圖5.3可以看得很清楚，其中的形狀和不同了，可以看出這是把互相交疊的的復制品疊加的結(jié)果。源程序如下。% 模擬信號dt=0.00005;t