泰勒公式的若干問題研究畢業(yè)論文

1、畢畢 業(yè)業(yè)論論 文文 題題 目目 泰勒公式的若干問題研究 學(xué)學(xué) 院院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專專 業(yè)業(yè) 信息與計算科學(xué) 班班 級級 計算 0901 學(xué)學(xué) 生生 呂晗 學(xué)學(xué) 號號 20090921073 指導(dǎo)教師指導(dǎo)教師 徐美榮 二一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探討了泰勒公式的若干問題。首先給出了幾種不同形式的泰勒公式并給出 了相應(yīng)的證明。其次我們討論了泰勒公式的應(yīng)用問題，主要分析了泰勒公式在計算 行列式，判斷級數(shù)斂散性，判斷函數(shù)凹凸性等方面的應(yīng)用，并輔以具體的例子進行 說明，另外我們研究了泰勒公式中間點的漸近性問題，主要分區(qū)間長度趨于零和區(qū) 間長度趨于無窮大兩種情況進行了討論，當(dāng)區(qū)間長度趨于零與

2、無窮時中間點分別 滿足的條件與。最后討論了泰勒公式 0 11 lim 11 n m mn 1 (1) lim ! (1) x an xan 與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系以及泰勒公式與泰勒級數(shù)在計算方面的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：泰勒公式；斂散性；行列式；漸近性 abstract in this paper，we discuss some problems of taylor formula。firstly, we discuss the taylor formula of different types and the corresponding proof。secondly, we discuss t

3、he application of taylor formula。we mainly analysis of the taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。in addition we study the asymptotic properties of intermediate point

4、of taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 11 lim 11 n m mn and 1 (1) lim ! (1) x an xan 。finally, we discusses the

5、relationship between the taylor formula and taylor series and the taylor formula and taylor series in computational applications。 key words：taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior 目 錄 摘要.i abstract.ii 1 前言. . .1 1.1 引言.1 1.2 相關(guān)概念.1 2 泰勒公式.5 2.1 泰勒公式的幾種形式.5 2.2 泰勒公式的證明. 6 3 泰勒公式的

6、應(yīng)用.8 3.1 泰勒公式在計算行列式中的應(yīng)用.8 3.2 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用.9 3.3 泰勒公式在判斷函數(shù)凸凹性中的應(yīng)用. 11 4 泰勒公式的“中間點”的漸近 性.12 4.1 當(dāng)區(qū)間長度趨于零時“中間點” 的漸近 性.12 4.2 當(dāng)區(qū)間長度趨于無窮時“中間點” 的漸近性. .12 5 泰勒公式與泰勒級數(shù).19 5.1 泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別.19 5.2 泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用.20 結(jié)論. .22 參考文獻.23 致謝.24 1 前言前言 1.1 引言引言 泰勒公式在數(shù)學(xué)上占有非常重要的地位，近年來，關(guān)于泰勒公式的證明以及應(yīng) 用的研究已經(jīng)引起國內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注和思

7、考，對于泰勒公式的證明， “中間點” 的漸近性及利用泰勒定理判斷級數(shù)斂散性、判斷函數(shù)凹凸性，泰勒公式與泰勒級數(shù) 之間的關(guān)系等方面的研究，都取得了一定的進展。其中劉瑜3給出了泰勒公式在 階行列式計算中的應(yīng)用問題；邱忠文5討論了利用泰勒公式證明函數(shù)的凸凹性問n 題；續(xù)鐵權(quán)8討論了泰勒公式“中間點”當(dāng)?shù)臐u近性態(tài)問題；鮑春梅12討論x 了當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時“中間點”的漸近性問題。鮑培文5給出了泰勒公 式與泰勒級數(shù)的異同和典型應(yīng)用問題。 在一般的數(shù)學(xué)分析中，僅給出了泰勒公式的證明以及在計算極值問題方面 的應(yīng)用，但在實際的生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會應(yīng)用泰勒公式來解決一些實際問題， 因此有必要對泰勒公式

8、的若干問題進行深入研究。在一些文獻中只是具體地研究了 泰勒公式的應(yīng)用問題或中間點的漸近性問題。本文將系統(tǒng)地研究泰勒公式的若干問 題，從泰勒公式的證明到泰勒公式的中間點的漸近性，最后再討論泰勒公式的應(yīng)用 以及泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等。 對于泰勒公式的應(yīng)用太少，我們要研究的泰勒公式問題，不僅要熟練應(yīng)用泰勒 公式計算極值，還要研究泰勒公式在更多方面的作用，如當(dāng)“中間點”趨于零與無 窮時滿足的條件,利用泰勒公式計算行列式，利用泰勒公式證明函數(shù)凹凸性，以及 研究泰勒公式與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系，更進一步了解泰勒公式的性質(zhì)。 在本文的研究中主要用到以下基本概念和相關(guān)定理。 1.2 相關(guān)概念及定理 定義

9、 1.11對于一般函數(shù)，設(shè)它在點存在直到階的導(dǎo)數(shù).由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造f 0 xn 一個次多項式，n ( ) 2 000 0000 ()()() ( )()()()() 1!2! n n n fxfxfx t xf xxxxxxx n 則稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式，的各項系數(shù)稱為f 0 x( ) n t x ( ) 0 () ! k fx k (1,2, )kn 泰勒系數(shù)。 定義 1.21若函數(shù)在點存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有=，f 0 xn f x 0 ( )() ) n n t xo xx 即 ， 2 00 000000 ()() ( )()()()().()() ) 2! n nn fxfx f xf

10、 xfxxxxxxxo xx n 稱為函數(shù)在點處的泰勒公式，稱為泰勒公式的余項。f 0 x( )( )( ) nn r xf xt x 定義 1.31若函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)( )f x+1n 的階泰勒公式為( )f xn ， 2 00 00000 ()() ( )()()()().() 2! n n fxfx f xf xfxxxxxxx n 其中，稱為拉格朗日余項，以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù)。 0 0 () () ! n n fx xx n 定理 1.11拉格朗日(lagrange)中值定理 若函數(shù)滿足如下條件:在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可f(1) f , a b

11、(2) f( , )a b 導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點,使得。( , )a b ( )( ) ( ) f bf a f ba 定理 1.21洛必達法則 設(shè)函數(shù)與滿足下列條件:( )f x( )f x ，；(1)lim( )0 xa f x lim( )0 xa f x 在點的某去心鄰域內(nèi)與都存在且；(2)a( )fx( )f x( )0f x 存在或為無窮大；(3)lim( )/( ) xa fxf x 則。lim( ( )/( )lim( )/( ) xaxa f xf xfxf x 2 泰勒公式 泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分逼近法的精髓，在微積分學(xué)及相關(guān)的領(lǐng)域的各個方 面都有著重要的應(yīng)用。本部分在

12、現(xiàn)行教材對泰勒公式證明的基礎(chǔ)上，研究泰勒公式 的一種新的更為簡單的證明方法。 2.1 泰勒公式的幾種形式 在證明泰勒公式前，我們首先給出泰勒公式的幾種不同形式。 定義 2.11帶有 peano 型余項的泰勒公式:函數(shù)在，上具有階導(dǎo)數(shù),( )f x , a bn 則有 , xa b ，( )f x 0 ()f x 00 ()()fxxx 2 2 0 0 () () 2! fx xx+ 0 0 () () ! n n fx xx n ( ) n r x 其中 。( ) n r x 0 () ) n o xx 定義 2.21 帶有 lagrange 型余項的泰勒公式: 函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直

13、到階導(dǎo)數(shù)，則對( )f x 0 x( , )a b1n 有 ( , )xa b ( )f x 0 ()f x 00 ()()fxxx 2 2 0 0 () () 2! fx xx 0 0 () () ! n n fx xx n + ，( ) n r x 其中。( ) n r x (1) 1 0 ( ) () (1)! n n f xx n 在以上兩個定義中，如果我們?nèi)√厥獾模瑒t得到相應(yīng)的麥克勞林公式。 0 x0 定義 2.31 麥克勞林公式(maclaurin 公式) 。( )f x (0)(0)ffx (0) ( ) ! n n n f xr x n 其中=()。( ) n r x (1)

14、1 () (1)! n n fx x n 01 以上，我們給出了泰勒公式的幾種形式，下面我們從拉格朗日中值定理出發(fā)， 給出不同于課本上的證明泰勒公式的方法。 2.2 泰勒公式的證明 下面我們首先討論帶有 lagrange 型余項的泰勒公式的證明問題，主要是根據(jù)拉 格朗日中值定理來討論泰勒公式的證明。 證明：由拉格朗日中值定理知,若在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則( )yf x 0 xd ,其中介于與之間，即 0 ( )()f xf x 10 ( )()fxx 1 0 xx 。 010 ( )()( )()f xf xfxx (2.1) 若將代替式中的，則產(chǎn)生誤差記為。 0 x(2.1) 1 1( ) r

15、x 則 。 0001 ( )()()()( )f xf xfxxxr x (2.2) 現(xiàn)在問，的具體形式是什么? 1( ) r x 當(dāng)時，由洛必達法則知與為當(dāng)時的同階無窮小。 0 ()0fx 2 0 ()xx 0 xx ，待定。這樣式變?yōu)?2 110 ( )()r xk xx 1 k(2.2) 。 2 00010 ( )()()()()f xf xfxxxk xx (2.3) 如何確定呢 對式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得 1 k?(2.3)x 。 010 ( )()2()fxfxk xx(2.4) 若函數(shù)在鄰域內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理，有( )f xd 。 020 ( )()()()fxfxfx

16、x (2.5) 介于與之間。 2 0 xx 由和式得 ，(2.4)(2.5) 12 1 () 2! kf 。 2 120 1 ( )()() 2! r xfxx (2.6) 這樣式變?yōu)?2.3) 。 2 000002 1 ( )()()()()()( ) 2! f xf xfxxxfxxxr x (2.7) 同樣可知，與為時的同階無窮小，則，并代 2( ) r x 3 0 ()xx 0 xx 3 220 ( )()r xkxx 入式，得(2.7) 。 2 00000 1 ( )()()()()() 2! f xf xfxxxfxxx 3 20 +()kxx 為了確定,對上式兩邊關(guān)于求二次導(dǎo)數(shù)，

17、得 2 kx 。 020 ( )()3!()fxfxkxx (2.8) 若在鄰域內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理有( )f xd 。 030 ( )()()()fxfxfxx (2.9) 介于與之間。由和式知。 3 0 xx(2.8)(2.9) 23 1 () 3 kf ！ 并代入式，得 3 230 1 ( )()() 3! r xfxx(7) ， 23 0000030 11 ( )()()()()()()() 2!3! f xf xfxxxfxxxfxx 仿此可推得 ， 2 0000 1 ( )()()()() 21 f xf xfxfxxx ( ) 00 1 ()()( ) ! nn n

18、 fxxxr x n 其中，介于與之間。 (1)1 0 1 ( )( )() (1)! nn n r xfxx n 0 xx 從整體推導(dǎo)過程可知，函數(shù)在的某鄰域內(nèi)必須具有 至階導(dǎo)數(shù)才行。這( )f x 0 x11n 樣就自然地得到拉格朗日泰勒公式。 下面我們用一種不同的方法證明帶有佩亞諾余項的泰勒公式。 證明:設(shè)，( )( )( ) nn r xf xt x 0 ( )()n n q xxx 現(xiàn)在只需驗證明 0 ( ) lim0 ( ) n xx n r x q x 函數(shù)在點存在直到階導(dǎo)數(shù)，又知f 0 xn 易知 ( ) 2 000 00000 ()()() ( )()()()()() ) 1

19、!2! n n n fxfxfx t xf xxxxxxxxx n ，=0,1,，因為而 ( )( ) 00 ()() kk n fxtxkn ( ) 000 ()()()0 n nnn r xrxrx ， (1) 000 ()()()0 n nnn q xqxqx ( ) 0 ()! n n qxn 因為存在，所以在點的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，于是， ( ) 0 () n fx 0 x 0 ()u xf1n( )f x 當(dāng)且時，允許接連使用洛必達法則次，得到 0 () o xux 0 xx1n 000 (1) (1) ( )( )( ) limlimlim ( )( ) ( ) n nnn n

20、 xxxxxx nn n r xrxrx q xqx qx = 0 (1)(1)( ) 000 0 ( )()()() lim (1)2() nnn xx fxfxfxxx n nxx = 0 (1)(1) ( ) 0 0 0 ( )()1 lim() ! nn n xx fxfx fx nxx =0。 這就證明了帶有佩亞諾余項的泰勒公式，當(dāng)時可同理證明帶有麥克勞林公式 0 0 x 的泰勒公式。 3 泰勒公式的應(yīng)用 第 2 部分我們給出了泰勒公式的幾個基本形式及泰勒公式的證明，在此基礎(chǔ)上， 我們利用泰勒公式來解決一些問題，這些問題利用其他的方法往往比較困難，而運 用泰勒公式可以使問題變得簡單。

21、下面我們研究泰勒公式的應(yīng)用問題，主要包括在 計算行列式，利用泰勒公式證明斂散性，判斷函數(shù)的凹凸性等方面的應(yīng)用。 3.1 泰勒公式在計算行列式中的應(yīng)用 在代數(shù)學(xué)中，有關(guān)利用代數(shù)知識計算行列式的方法很多，但應(yīng)用泰勒公式法極 為少見，下面讓我們從泰勒公式入手，利用泰勒展開式計算行列式。首先看一個具 體的例子。 例 3.1 求階行列式n 。 (3.1) n d xyyy zxyy zzxy zzzx (注:此題可用代數(shù)知識的遞推法以及數(shù)學(xué)歸納法求解，但非常繁瑣，此題我們利用 泰勒公式求解，達到簡便的作用。其思路根據(jù)所求行列式的特點，構(gòu)造相應(yīng)的行列 式函數(shù)，再把這個行列式函數(shù)按泰勒公式在某點展開) 解：

22、我們把行列式看成的函數(shù)，記=，則在的泰勒展開式 n dx( ) n fx n d( ) n fxxz 為 。 (3.2) 2 ( )( )( ) ( )( )()()() 1!2! n n nn n fzfzfz fxf zxzxzxz n 易知 。 (3.3) 000 000 000 00000 zyy zyy zyy d zyy zy 1 () k z zy 由(3.2)得，=1,2,n 時全都成立。 1 ( )()k k fzz zy k (3.4) 根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有， ， 1 ( )( ) nn fxnfx 12 ( )(1)( ) nn fx nfx ， (因為)。 21 (

23、 )2( )fxf x 1( ) 1fx 1( ) f xx 于是 在處的各階導(dǎo)數(shù)(注意到公式 3.4) 為( ) n fxxz ， 2 1 ( )( )|( )()n nx zn fzfxnfznz zy ， 3 1 ( )( )|( )(1) ()n nx zn fzfxnfzn nz zy ， ， 11 1 ( )( )|(1)2( )(1)2 nn nnx z fzfxn nf zn nz 。 ( )( ) (1)2 1 n n fzn n 把以上各導(dǎo)數(shù)代入(3.2)式中，有 1232 (1) ( )()()()()() 1!2! nnn n nn n fxz zyz zyxzz zy

24、xz , 1 (1)2(1)2 1 ()() (1)! nn n nn n z xzxz nn 若，有;若，有。zy 1 ( )()(1) n n fxxyxny zy ()() ( ) nn n z xyy xz fx zy 以上我們就討論了泰勒公式的在計算行列式方面的應(yīng)用，特別是利用泰勒公式 求解行列式這一方法在高等代數(shù)中沒有介紹過，從而使行列式的求解又多了一種新 方法，也為數(shù)學(xué)分析研究高等代數(shù)問題做了一個初步探索，以便為高等代數(shù)的教學(xué) 起到促進作用。接下來我們討論泰勒公式在判別級數(shù)及無窮積分斂散性方面的應(yīng)用。 3.2 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用 在級數(shù)斂散性理論中，要判定一個正項級數(shù)

25、是否收斂，通常找一個參考級 1 n n a 數(shù)：級數(shù)()，根據(jù)級數(shù)的斂散性來判定級數(shù)的斂散性。在實際p 1 1 p n n 0p p 1 n n a 應(yīng)用中較困難是如何選取恰當(dāng)?shù)?中的值)？例如 1 1 p n n 0p p (1) 若，此時收斂，但；2p 2 1 1 n n 2 lim 1 n n a n (2) 若，此時收斂，但。1p 1 1 n n lim 1 n n a n 0 這里我們無法判定的斂散性。為了有效地選取中的值，可以應(yīng)用 1 n n a 1 1 p n n p 泰勒公式研究通項()的階，據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)闹凳?，并且? n a n plim 1 n n p a n l 證，再

26、由比較判定法(極限形式)就可判定的斂散性，下面舉例說明之。0l 1 n n a 例 3.2 判定級數(shù)()的斂散性。 11 + 1 (2) nn n aa 0a 解: ， x a lnxa e 2 22 1 11 1+ lnln() 2 xaao nn ， 1 n a 2 22 11 11 1+lnln() 2! aao nnn ， 1 n a 2 22 11 11 1lnln() 2! aao nnn 因此，從而有，是關(guān)于() 11 2 22 11 (2)ln() nn n aaaao nn 0 2 2 1 lim 1 ln n a a n 0 n a 1 n 的 2 階.即與同收斂。 11

27、1 (2) nn n aa 2 1 1 n n 通過這個例子我們得到了利用泰勒公式可以判斷級數(shù)的斂散性，下面我們討論 利用泰勒公式來判斷廣義積分的斂散性問題。我們通過一個具體的例子來進行說明。 例 3.3 研究廣義積分的斂散性。 4 (332)xxx dx 解: ， 22 (1) (1)1() 2! xxxo x 11 22 33 ( )332(1)(1)2f xxxxx xx 2222 3 19113 1911 1+ ()1+ ()2 2828 xoo xxxxxx 。 33 22 911 () 4 o xx 因此，即是。 3 2 ( )9 lim 1 4 n f x x ( )0f x 1

28、 ()x x 通過上面兩個例子我們討論了泰勒公式在斂散性方面的應(yīng)用，接下來我們討論 泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性方面的應(yīng)用。 3.3 泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性的應(yīng)用 例 3.4 若二次可微，且，證明不等式( )f x( )0f x 。 11 11 ( )() nn ii ii f xfx nn (3.5) 且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，并且由此證明當(dāng)()時， 12n xxx0 i x 1,2,in 。 (3.6) 12 12 n n n xxx x xx n 證明: 令，則，由泰勒公式得: 0 1 1 n i i xx n 0ii xxh 0 (1,2, ) ii xxh in ， 2 00 1 ( )()

29、()( ) 2 iiii f xf xf x hfh 0 (1,2,) iii xh in (3.7) 2 00 111 111 ( )()()( ) 2 nnn iiii iii f xf xfxhfh nnn 0 ()f x 2 1 1 ( ) 2 n ii i fh n 因為，因此有即(3.5)成立。( )0fx 0 11 11 ( )()() nn ii ii f xf xfx nn 顯然(3.5)式中等號成立充分必要條件是:。 12n xxx 再證(3.7)式成立。因為令，則，0(1,2,) i xin( )lnf xx 1 ( )fx x ，由(3.6)式得= 2 1 ( )0fx

30、 x 111 111 ( )( ln)ln nnn iii iii f xxx nnn 12 1 ln() n x xx n 。 11 11 ()ln() nn ii ii fxx nn 因此有所以，即(3.6)式成立。 12 1 11 ln()ln() n ni i x xxx nn 12 1 1 n n ni i x xxx n 4 泰勒公式泰勒公式“中間點中間點”的漸近性的漸近性 我們知道,一般的數(shù)學(xué)分析教材中對于帶有拉格朗日余項的泰勒公式的“中 間點” ，只是肯定了“中間點”的存在性，但沒有研究“中間點”的性質(zhì)，本部分 我們研究泰勒公式“中間點”的漸近性問題，主要分區(qū)間長度趨于零與區(qū)間

31、長度 趨于無窮進行討論。 4.1 當(dāng)區(qū)間長度趨于零時的“中間點”的漸近性 首先我們討論區(qū)間長度趨于零時的情況。有以下結(jié)果： 定理 4.15 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且( )f x,(0)a am m1n ，則由 taylor 公式所確定的“中間點”( )( )( )0 n fafafa (1)( ) 0 n fa 滿足等式。+ah 0 11 lim 11 n m mn 證明: 令。則由拉格朗日公式得 1 ()( ) () n f amf a g am m 。 ( )(1) 1 0000 ()()()( ) lim ()limlimlim (1)(1)(1)!(1)! nn nn mmm

32、h famfamfamfa g am nmnnmnmn 代入中有，所以()g am (1)( ) ()(1) ! n n fam g am n (1)(1) 000 ()() 1 lim ()lim(1)lim() () ! nn nnn mmm famfamm g am nnm 。 (1) 0 ( ) 1 () lim() ! n nn m fam nm 通過比較得，即。 0 1 lim 11 n m m mn 0 1 lim 11 n m a mn 下面討論當(dāng)區(qū)間長度趨于無窮時的情況。 4.2 當(dāng)區(qū)間長度趨于無窮時的“中間點”的漸近性 為了研究區(qū)間長度趨于無窮時中間點的漸近性，我們首先給出

33、兩個引理： 引理 4.11 設(shè)，則lim( ) x f x 0 lim ( ) x g xa 1)當(dāng)時，；a0lim( ) ( ) x f x g x 2)當(dāng)時，。a0lim( ) ( ) x f x g x 引理 4.26 設(shè)在有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，則( )x ,)a nlim( ) n x xxa 1)當(dāng)時，；a0 ( ) lim( ) i x x 2)當(dāng)時，；a0 ( ) lim( ) i x x 3)。 ( )1 0 ( ) ( )() (1)! lim (1) kn k k n x a xxa k a xn 其中為非零常數(shù)，為實數(shù)，。a10,1,2,1in 證明:1)由條件存在.當(dāng)時有，于

34、是當(dāng)時 1 max0. xa 1 xx ( )( ) 2 n a xx 1 xx 有 = 11 (1)(1)( )(1) 11 ( )()( )() 2 xr nnnn xx a xxt dtxtdt (1)11 11 ()() 2(1) n a xxx 由此不等式知。 (1) lim( ) n x x 假定 ，則取，存在，當(dāng)時. ( ) lim( )(1) k x xkn 0m max0, k xa k xx 有，于是當(dāng)時，有 ( )( )k xm k xx 。 (1)(1)( )(1)(1) ( )()( )()()() kk xx kkkkk kkkk xx xxt dtxmdtxm x

35、x 由此不等式知，由數(shù)學(xué)歸納法知 1)成立。 ( ) lim( ) k x x 2)的證明與 1)類似，省略。 3)令則，由引理 2，連續(xù)次應(yīng) ( ) 1 0 ( ) ( )( )() ! k n k k a f xxxa k ( ) + lim( ) n x x fxa n 用洛必達法則，并注意到，便得(1)()(1)(1) (1)nnn ，即為 3）中的結(jié)論。 + ( )(1) lim (1) n x f x xn ( ) (1) lim( ) (1) n x x fxa n 基于以上引理我們得到以下中間點的漸近性結(jié)論。 定理 4.21 設(shè)在有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對于任意，必存在( )f x,)

36、a n( ,)xa ，使( , )a x 2 0 00 () ( )( )( )()() 2! fx f xf afa xxxx 1 1 0 0 () () (1)! n n fx xx n 。由次定理，得以下定理。 0 0 () () ( )! n n fx xx n 定理 4.314 在泰勒中值定理的假設(shè)條件下，再設(shè)，且 ( ) lim( )= nn x x fxa ，,則泰勒中值定理中的中間點，有漸近估計式( ,)xa ( )( ) 0 n fx ( , )a x ，其中為非零常數(shù)，為實數(shù)，且。 1 (1) lim ! (1) x an xan a10 證明:首先證明當(dāng)時，有，為此不妨設(shè)

37、。+x 0a 若，則由引理 4.1 有) i0 ， ( ) lim( )lim() n xx fxax 其中為當(dāng)時的無窮小量。x 令則，由引理 4.2， ( ) 1 0 ( ) ( )( )() ! k n k k fa f xf xxa k ( ) lim( ) n x x fxa 。由泰勒中值定理并連續(xù)次應(yīng)用洛必達法則則有 ( ) lim( ) i x fx (0,1,2,1)inn 。 (4.1) ( )( )( ) + ! ( ) lim( )limlim( )lim( ) () nnn n xxxx n f x ffxfx xa 若存在.使.則由于在上連續(xù)，所以必存在，bab ( )

38、( )n fx , a b 0 , xa b 使從而.這是矛盾的，故當(dāng)時， ( )( ) 0 ()( ) nn fxf ( )( ) 0 ()lim( ) nn x fxf x 有。 若，則由引理 4.1，有，從而 )ii0 ( ) 11 limlim ( ) n xx x fxa 。余下證明與類似，故當(dāng)時，有。 ( )( ) + 11 limlim ( )( ) nn xx ffx ) ix 其次，作輔助函數(shù)， () ( )( ) n g xxf x 由引理 4.2 有 。 (4.2) ( )(1) lim( )lim (1) n xx f x g xa xn 由泰勒中值定理得 ( ) +

39、1 ( )() ! lim( )lim nn n xx fxa n g x x 。 ( ) 1 lim( ) (1)(1)() ! nn x aaa f nxxa (4.3) 注意到時，有得， x ( ) lim( )(1)(1)0 nn x aa fa x (4.4) 由式知存在，故由式知存在且(4.2)lim( ) x g x (4.3)lim() x a xa ，lim( )lim() ! xx aa g x nxa 由式與式立得式。(4.2)(4.4)(4.1) 若.則定理 1 不再成立。但我們有0 定理 4.414 在定理 4.1 中的條件下，若，再設(shè)，且=0 ( ) lim( )

40、n x xfxab ，則泰勒中值定理中的中間點.有漸近估計式( ,)xa ( )( ) 0 n fxa( , )a x 。其中為非零常數(shù)，為實數(shù)，. 1 (1) lim ! (1) x an xan b1 證明:因為，故。 ( ) = lim( )0 n x fxaaa ( ) lim( )0 n x xfxab 0 令，則與應(yīng)用泰勒中值定( )( )() ! n a xf xxa n ( ) 1 0 ( ) ( )() ! k n k n k fa pxxa k ( )x( )f x 理可取到相同的中間點.事實上，對于應(yīng)用泰勒中值定理.存在。使( )x 1 ( , )a x 。 (4.5)

41、( ) 1 1 ( )( )( )1 ( ) ()! n n n n xpxa f xannn 又。 (4.6) ( )()( ) ( )( ) ! ()() n n n nn a f xxapx xpx n xaxa ( ) ( )( )( ) ()! n n n f xpxafa xannn 由(4.5)與(4.6)式可取。 1= 又，且，由定理有 ( )( ) + lim( )lim( )0 nn xx xxxfxab ( ,)xa ( )( ) 0 n x 。 1 1 (1) limlim ! (1) xx aan xaxan 以上我們討論了帶拉格朗日余項的泰勒公式“中間點”的漸近問題

42、，得到了當(dāng)區(qū) 間長度趨于零與無窮時的滿足的條件，下面我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的關(guān)系。 5 泰勒公式與泰勒級數(shù)泰勒公式與泰勒級數(shù) 泰勒公式和泰勒級數(shù)在解決實際問題中有某些的相似性,但是它們引入不同,因 此還是有一定的差異性，由于泰勒公式是通過重復(fù)運用柯西中值定理得來的,過程比 較復(fù)雜,泰勒級數(shù)屬于函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù),與泰勒公式類似在近似計算、極限運 算、級數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等方面也有具體應(yīng)用。接下來我們具體探討泰勒 公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系以及泰勒級數(shù)的應(yīng)用問題。 5.1 泰勒級數(shù)與泰勒公式的區(qū)別 首先我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別。 如果在定義 1.1 中抹去余項，那么在附近可用

43、定義 1.1 式右邊的多( ) n r x 0 xf 項式來近似代替，如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時稱形式為f 0 xx 。 2 00 00000 ()() ()()()()() 2! n n fxfx f xfxxxxxxx n 的級數(shù)為函數(shù)在的泰勒級數(shù)。f 0 x 泰勒公式中含有有限多項式，泰勒級數(shù)中含有無限多項式，泰勒公式不是泰勒 級數(shù)，泰勒級數(shù)也不是泰勒多項式。 當(dāng)?shù)母麟A導(dǎo)數(shù)都存在時，的泰勒級數(shù)在收斂情況下一定等于；( )f x( )f x( )f x 但不論的泰勒級數(shù)是否收斂，只要有階導(dǎo)數(shù)，就有泰勒公式成立，可( )f x( )f x1n 見泰勒級數(shù)收斂時，與泰勒公式結(jié)果一致，都

44、是。( )f x 當(dāng)在含有的某個鄰域內(nèi)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，可將展成( )f x 0 x( , )a b( )f x 冪級數(shù)，其中的乘冪的系數(shù)分別為， 0 ()xx 0 ()nxx 0 ()f x ，稱為冪級數(shù)系數(shù).可見在處的泰勒 0 1 () 1! fx 0 1 () 2! fx 0 1 () ! n fx n ( )f x 0 x 級數(shù)也是展成的冪級數(shù)。( )f x 0 ()xx 特別，當(dāng)是的次多項式，將展成的多項式，在初等數(shù)學(xué)中，( )f xxn( )f x 0 ()xx 只能采用待定系數(shù)法，在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)學(xué)了泰勒公式后，我們可以先求出， 0 ()f x ，再按泰勒公式展成的多項式形式 0

45、 ()fx 0 ()fx 0 () n fx 0 ()xx 。 2 0000000 11 ( )()()()()() +()() 2 1(1)2 1 nn f xf xfxxxfxxxfxxx n n 5.2 泰勒級數(shù)與泰勒公式的應(yīng)用 對于一階微分方程，若為關(guān)于，的多項式，則可設(shè)其通= ( , ) dy f x y dx ( , )f x yxy 解為將及代入,比較同次冪的系數(shù)，就可得出待定 2 012 n n yaa xa xa xy y 系數(shù)，從而得到通解。 0 a 1 a n a 2 012 n n yaa xa xa x 例 5.1 求方程，滿足的特解。= dy dx 2 xy 0 0

46、 x y 解：設(shè) 2 012 n n yaa xa xa x 因為，所以, 0 0 x y 0 0a 所以， 2 12 n n ya xa xa x 11 12 n n yaa xa x 將，代入原方程得y y 122 1212 2() nn nn aa xna xxa xa xa x =+ 22324 112132 2(2)xa xa a xa aax 5 1423 (22)a aa a x 比較同次冪系數(shù)，得 ， 1 0a 2 21a 2 31 3aa 412 42aa a 2 5132 52aa aa 61423 622aa aa a ， 1 0a 2 1 2 a 3 0a 4 0a 5

47、 1 11 5 420 a 6 0a 從而，。 25 11 220 yxx 對于形如的方程，當(dāng)，可在內(nèi)展為+ ( )( )0yp x yx y ( )p x( )xrxr 的冪級數(shù)時，那么在內(nèi)，必有形如的解。x-r,r（） 0 n n n ya x 我們接下來利用泰勒公式求解。 例 5.2 求在點處的各階導(dǎo)數(shù)的值。 4 3 ( ) 1+ x f x x 0 x ( )(0)n f 解：利用泰勒公式對其展開，可求得的麥克勞林公式 1 (1)x 31 (1)x ，。 33 2332 3 1 1()( 1) ()() 1+ nnn xxxx x 0 x 則的麥克勞林公式為( )f x ，。 4 47

48、103436 3 ( )( 1)() 1 nn x f xxxxxx x (0)x 由麥克勞林公式及其各項系數(shù)之間所具有的聯(lián)系可知 ，。 (34)(0) ( 1) (34)! kk fk 0,1,2,k 而在處的其他各階導(dǎo)數(shù)為零。( )f x0 x 泰勒公式與泰勒級數(shù)除了上面的應(yīng)用以外在概率的計算方面也有應(yīng)用，這里就 不再贅述。總之，泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用范圍相當(dāng)?shù)膹V泛，巧妙合理的利用泰 勒公式與泰勒級數(shù)，可以解決一些較難解決的高階導(dǎo)問題，在其他方面的應(yīng)用有待 于我們進一步地研究和探討。 結(jié) 論 隨著數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家們研究出了許多的定理與公式,以便我們在解 決數(shù)學(xué)疑難問題時有多重的

49、選擇。本文我們總結(jié)了不同于課本上證明泰勒公式的方 法，并通過三個方面了解了泰勒公式的應(yīng)用。泰勒公式的應(yīng)用非常廣泛，不僅局限 于本文介紹的求行列式，函數(shù)斂散性，函數(shù)凹凸性。泰勒公式在各個學(xué)科中也有廣 泛的應(yīng)用，如果能很好的應(yīng)用它來解題，會使更多的人能更好的學(xué)好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)領(lǐng) 域會發(fā)展的更好。 四、參考文獻四、參考文獻 1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析m.高等教育出版社.2001 2劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(下冊)m.北京:高等教育出版社，1992. 3劉瑜,陳美燕,于超.泰勒公式在 n 階行列式計算中的應(yīng)用j.內(nèi)江師范學(xué)院報,2008,s1(73): 222-223 4齊成輝.泰勒公式的應(yīng)用j.

50、陜西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003,s1(9): 23-25 5鮑培文.泰勒公式與泰勒級數(shù)的異同和典型應(yīng)用j.懷化學(xué)院學(xué)報,2011,2(9):90-93 6王倩.帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的推廣與應(yīng)用j.沈陽建筑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2005,6(43):774-776 7黃福同.泰勒公式在函數(shù)凹凸性理論中的應(yīng)用j.山東建筑工程學(xué)院學(xué)報,1997,3(22):105-10 7 8續(xù)鐵權(quán).泰勒公式“中間點”的漸近性j.青島教育學(xué)院學(xué)報,1996,2(8):25-26 9徐香勤，張小勇.關(guān)于泰勒(taylor)公式的幾點應(yīng)用j.河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2005， 2(8):1

51、6-17 10邱忠文，劉瑞金.函數(shù)的凹凸性及不等式的證明j.工科數(shù)學(xué)，1993,3(49):151-154 11黃宗文，簡靈鋒.泰勒公式在討論級數(shù)收斂性中的應(yīng)用j.玉林師范學(xué)院學(xué)報，2001,3(7)： 21-23 12鮑春梅.關(guān)于 taylor 中值定理“中間點”漸近性的討論j.赤峰學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2005,5(3):10 13繼鐵權(quán).泰勒公式“中間點”的漸近性j.青島職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，1996,2(8):25-26 14張樹義.泰勒中值定理“中間點”當(dāng) x+時的漸近性態(tài)j.沈陽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)， 1997,3(1):1-4 15楊彩萍.taylor 公式中間點的漸近性態(tài)

52、j.天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2001,4(26):71-72 16by p.g. todorov.abh.math.sem.univ.hamburg j，65(1995),147-153 17 dale varberg.edwin j .purcell.steven e. rigdon. calculusm .beijing :china machine press ,2004 :467-476 致 謝 在長達三個多月的論文寫作結(jié)束之際，在大學(xué)最后的畢業(yè)之際，首先，我要感 謝在四年里面那些曾經(jīng)幫助過我的老師們，感謝這樣一支愿意從事基礎(chǔ)科學(xué)研究的 數(shù)學(xué)系教師隊伍；還要感謝在數(shù)學(xué)領(lǐng)域辛勤踏實工作的人們，

53、以及被我選中作為我 畢業(yè)論文參考文獻的文章作者和各位數(shù)學(xué)前輩，你們是我的榜樣和楷模。 在畢業(yè)論文的完成過程中,我的指導(dǎo)老師徐老師以治學(xué)嚴謹, 嚴格要求給了我深 刻的印象,也同時給了我莫大的幫助還有耐心的指導(dǎo).從選題、定題開始，到論文任 務(wù)書和開題報告,再到最后論文的反復(fù)修改、潤色，徐老師始終認真負責(zé)地給予我深 刻而細致地指導(dǎo)，耐心的為我解答論文寫作過程中遇到的種種問題,幫助我開拓研究 思路，正是徐老師的無私幫助與耐心講解，我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成.感謝 她利用緊張忙碌的教學(xué)任務(wù)之余,利用個人休息時間幫我指點論文以及搜集外文翻譯 資料。謝謝! 四年大學(xué)，所收獲的不僅僅是愈加豐厚的知識，更重

54、要的是在閱讀、實踐中所 培養(yǎng)的思維方式、表達能力和廣闊視野。很慶幸這四年來我遇到了如此多的良師益 友，無論在學(xué)習(xí)上、生活上，還是工作上，都給予了我無私的幫助和熱心的照顧， 讓我在一個充滿溫馨的環(huán)境中度過四年的大學(xué)生活。感恩之情難以用言語量度，謹 以最樸實的話語致以最崇高的敬意。 最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對中國傳統(tǒng)文化的濃厚的興趣， 讓我在漫長的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能夠順利的完成畢業(yè) 論文提供了巨大的支持與幫助。在未來的日子里，我會更加努力的學(xué)習(xí)和工作，不 辜負父母對我的殷殷期望！ “長風(fēng)破浪會有時，直掛云帆濟滄海。 ”這是我少年時最喜歡的詩句。就用這話 作

55、為這篇論文的一個結(jié)尾，也是一段生活的結(jié)束。希望自己能夠繼續(xù)少年時的夢想， 永不放棄。 內(nèi)部資料 僅供參考 內(nèi)部資料 僅供參考 6a*cz7h$dq8kqqfhvzfedswsyxty#&qa9wkxfyeq!djs#xuyup2knxprwxma&ue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum

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