足球中的數(shù)學(xué)知識(shí)知多少？

1、足球中的數(shù)學(xué)知識(shí)知多少？足球中的數(shù)學(xué)知識(shí)知多少？ But 怎樣才能預(yù)測(cè)球是 否能射進(jìn)呢？ 你有哪些好的想法 呢？ 其實(shí)，這涉及到一個(gè)概率問(wèn)題 概率是什么？ 概率 事件與可能性 概率的求法與應(yīng)用 最基礎(chǔ)知識(shí) 事件 確定事件：必然事件和不可能事件 不確定事件：隨機(jī)事件 可能性 事件發(fā)生的可能性，即事件的概率 最簡(jiǎn)單的事件 擲一枚（或一次）均勻的硬幣與正多面體 摸一個(gè)大小和質(zhì)量相同的球 旋轉(zhuǎn)一個(gè)（或一次）均勻等分的轉(zhuǎn)盤(pán) 類(lèi)似于上述實(shí)驗(yàn)的生產(chǎn)、生活中的事件 最基本的方法 實(shí)驗(yàn)觀察法 重復(fù)實(shí)驗(yàn)找規(guī)律 事物分析法 分析事物的均勻性過(guò)程的隨機(jī)性、均等性 統(tǒng)計(jì)推斷法 統(tǒng)計(jì)事件發(fā)生的頻率推斷穩(wěn)定性 最基本的研究

2、思想 隨機(jī)思想 事件的發(fā)生不以人們的主觀意識(shí)為轉(zhuǎn)移，事件 發(fā)生的不確定性、隨機(jī)性、可能性 不確定的觀點(diǎn) 用不確定的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解世界 概率的主要內(nèi)容 隨機(jī)事件與事件的概率 列表和畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié) 果 求概率的方法 求概率方法的應(yīng)用 課程目標(biāo) 在具體情境中了解概率的意義,運(yùn)用列舉法 (包括列表、畫(huà)樹(shù)狀圖)計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率 通過(guò)實(shí)驗(yàn),獲得事件發(fā)生的概率;知道大量重 復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻數(shù)可作為事件發(fā)生概率的估計(jì) 值 通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí),并能解 決一些實(shí)際問(wèn)題. 內(nèi)容解讀 隨機(jī)事件：指不確定事件,可能發(fā)生,也可能 不發(fā)生。 用不確定的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)與理解它的發(fā)生與不 發(fā)生; 用可能性表述（而不

3、是分類(lèi)討論）它發(fā)生 的數(shù)量規(guī)律 （概率）; 可能發(fā)生,不一定發(fā)生,更不是已經(jīng)發(fā)生了。 內(nèi)容解讀 事件的概率 描述定義,表示事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值 （數(shù)值含義）; 古典定義,表示事件可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)占所有等 可能結(jié)果數(shù)的比值（比值含義）; 幾何定義,表示事件可能發(fā)生的點(diǎn)所在區(qū)域的面 積占所有等可能點(diǎn)所在區(qū)域面積的比值（比值 含義）; 統(tǒng)計(jì)定義,表示在重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率的 穩(wěn)定性（隱定值含義）。 內(nèi)容解讀 求概率的方法 列舉法 判斷每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性是否相等如果都相 等,可采用列舉法；如果不都相等,則不能用列舉法。 幾何法 所有可能發(fā)生的點(diǎn)（結(jié)果）不能一一列出通過(guò) 計(jì)算區(qū)域的面積求面積

4、比值。 頻率估計(jì)法 一個(gè)重復(fù)實(shí)驗(yàn)獲得事件的一個(gè)頻率值,就直接用這個(gè) 頻率作為概率的估計(jì)值；幾個(gè)重復(fù)實(shí)驗(yàn)獲得一組頻 率數(shù)據(jù),就用頻率的平均值作為概率的估計(jì)值。 操作與運(yùn)用 有一個(gè)拋兩枚硬幣的游戲,規(guī)則是:若出現(xiàn)兩 個(gè)正面,則甲贏;若出現(xiàn)一正一反,則乙贏;若 出現(xiàn)兩個(gè)反面,則甲.乙都不贏. 1. 這個(gè)游戲是否公平?請(qǐng)說(shuō)明理由; 2. 如果你認(rèn)為這個(gè)游戲不公平,那么請(qǐng)你改變游 戲規(guī)則,設(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲;如果你認(rèn)為這個(gè) 游戲公平,那么請(qǐng)你改變游戲規(guī)則,設(shè)計(jì)一個(gè)不 公平的游戲; 課后思考 所有可能發(fā)生的“情況”與“結(jié)果” 有序結(jié)果與無(wú)序結(jié)果 無(wú)放回摸出與有放回摸出。 相同事件概率不等與不同事件概率相

5、等 （等概率事件）。 給出條件相同與不同,隨機(jī)過(guò)程相同與不同。 觀察與學(xué)習(xí) 我們生活在幾何的世界里 球？ 球的概念與性質(zhì) 課程目標(biāo) 掌握球的定義、表示方法及其有關(guān)概念; 掌握球的截面性質(zhì); 掌握地球的經(jīng)度、緯度，理解實(shí)際應(yīng)用; 掌握球面上兩點(diǎn)間的距離定義及求法。 最基本的概念 球的定義 球的旋轉(zhuǎn)定義 半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球 面。球面所圍成的幾何體叫做球體。 球的集合定義 與定點(diǎn)(圓心)的距離等于或小于定長(zhǎng)(半徑) 的點(diǎn)的 集合叫做球體，簡(jiǎn)稱球。 球心 半圓的圓心，用字母O來(lái)表示 半徑 連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑（線 段OP)。 直徑 球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)球心的

6、線段叫做球的直徑（線段AB)。 球體與球面的區(qū)別 球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所成的曲面。 球(即球體):球面所圍成的幾何體，它包括球面和球面所 包圍的空間 想一想 怎樣畫(huà)球？ 什么是球的截面？ 球面距離 想一想 假如你要乘坐從北京直飛紐約的飛機(jī),設(shè)想 一下,它需要沿著怎樣的航線飛行呢?航程大 約是多少呢? 北京和紐約間的距離是一條線段的長(zhǎng)嗎? 北京和紐約間的距離是一條線段的長(zhǎng)嗎? 這無(wú)數(shù)條弧長(zhǎng)哪條最短? 球面距離 定義： 球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò) 這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣孤的長(zhǎng)度. 即：球面距離是球面上過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn) 之間的劣弧的長(zhǎng)度. 球面距離 兩點(diǎn)的球面

7、距離公式 , , . AOB R ABR 設(shè)球心角 球半徑為則 弧長(zhǎng) 地球的經(jīng)緯線 地球的經(jīng)度 地球的經(jīng)線就是球面上從 北極到南極的半個(gè)大圓. 某點(diǎn)的經(jīng)度是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的 經(jīng)線和地軸確定的半平面 與0度經(jīng)線(本初子午線) 和 地軸確定的半平面所成二 面角的度數(shù). 由地理知識(shí)知： AOB為 P點(diǎn)所在經(jīng)線的經(jīng)度. 地球的經(jīng)緯線 地球的緯度 赤道是一個(gè)大圓，其它 的緯線都是小圓 某點(diǎn)的緯度就是經(jīng)過(guò)這 點(diǎn)的球半徑與赤道面所 成角的度數(shù)。 由地理知識(shí)知： AOP 的度數(shù)為P點(diǎn)緯度 地球的經(jīng)緯線 經(jīng)度 經(jīng)線上的度數(shù)叫做經(jīng)度 經(jīng)度的概念與二面角的度數(shù)有關(guān) 經(jīng)度差是經(jīng)線與地軸所確定平面的兩個(gè)半平面的二面角大小 若

8、旋轉(zhuǎn)是向東進(jìn)行的，則點(diǎn)P的經(jīng)度就是東經(jīng)多少度 若旋轉(zhuǎn)是向西進(jìn)行的，則點(diǎn)P的經(jīng)度就是西經(jīng)多少度 緯度 與赤道所在平面平行的截面圓 緯線上的度數(shù)叫做緯度 緯度是緯線上的點(diǎn)與球心連線和赤道所在平面所成的角的度 數(shù)，即線面角的度數(shù) 若點(diǎn)P在北半球，就是北緯多少度； 若點(diǎn)P在南半球，就是南緯多少度 練習(xí) 設(shè)地球的半徑為R，在北緯30 緯線上有甲 乙兩地，它們的經(jīng)度相差120 ，那么這 兩地的緯線的長(zhǎng)為（）。 球的體積與表面積 學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握球的體積、表面積公式 掌握球的表面積公式、體積公式的推到過(guò) 程 會(huì)用球的表面積公式、體積公式解決相關(guān) 問(wèn)題 球的體積 R 球的體積 圓面積的導(dǎo)出公式 我們把一個(gè)半徑為

9、R的圓分成若干等分，然后 如上圖重新拼接起來(lái)，把一個(gè)圓近似的看成是 邊長(zhǎng)分別是 啟示 即先把半球分割成n部分，再求出每一部分 的近似體積，并將這些近似值相加，得出 半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o(wú)窮大的 情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積 分割 求近似 和 華為準(zhǔn) 確和 球的表面積和體積公式 S=4r2 V=(4/3)r3 怎樣你遇到的球形的S&V呢？ 不知道半徑怎么辦？ 可以間接地求出體積嗎？ 我還可以用其它的方法嗎？ 寫(xiě)下你的探究過(guò)程， 下節(jié)課分享 與足球相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)分享 我知道你曾經(jīng)思考過(guò)？ 由足球的幾何結(jié)構(gòu)引發(fā)的問(wèn)題 足球上美麗的構(gòu)圖是如何形成的？ 在足球上一共有幾個(gè)正五邊形？有幾個(gè)

10、正六邊形？ 它們是如何放置的？ 每個(gè)正五邊形和正六邊形的邊長(zhǎng)是多少？頂角各 是多少度？面積是多少？ 由足球比賽引發(fā)的問(wèn)題 足球運(yùn)動(dòng)員怎樣才能把球射進(jìn)球門(mén) 怎樣才能知道一個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是否適合做足球場(chǎng)地 你曾經(jīng)遇到過(guò)嗎？ 看足球，解方程 看場(chǎng)地，做判斷 看帶球，做決策 看射門(mén)，做預(yù)測(cè) 看積分，做分析 看足球，解方程 有一種足球是由若干塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮 為正五邊形，白皮為正六邊形，（如圖1），如果縫制 好的這種足球黑皮有12塊，則白皮有（ ）塊 （A）16 （B）18 （C）20 （D）22 解析： 觀察圖形，每塊黑皮是五邊形，而每塊白皮是六邊形，每個(gè) 黑皮的五邊形分別與白皮的邊縫合，而每

11、塊白皮的三條邊與 黑皮縫合，另外三條邊分別與白皮縫合，設(shè)白皮有x塊，則 共有6x條邊，這6x條邊里與黑皮縫合的有3x條邊，已知黑皮 有12塊，每塊有5條邊，因此黑皮共有51260（條邊）， 這60條黑邊與3x條白邊縫合，從而3x60，x20（塊）， 故這個(gè)足球有白皮20塊 看場(chǎng)地，做判斷 一個(gè)長(zhǎng)方形足球場(chǎng)的長(zhǎng)為xm，寬為70m如果它的 周長(zhǎng)大于350m，面積小于7560m2，求x的取值范圍， 并判斷這個(gè)球場(chǎng)是否可以用作國(guó)際足球比賽（注： 用于國(guó)際比賽的足球場(chǎng)的長(zhǎng)在100m到110m之間， 寬在64m到75m之間） 解析： 由題意可列不等式組 ，解不等式組得105x108，而100 105x10

12、8110，647075，因此這個(gè)球場(chǎng)可以用作 國(guó)際足球比賽 看帶球，做決策 在足球比賽場(chǎng)上,甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角?門(mén)MN進(jìn)攻.當(dāng)甲帶球部到A點(diǎn)時(shí)，乙隨后沖到B點(diǎn)， 如圖所示，此時(shí)甲是自己直接射門(mén)好，還是迅速將 球回傳給乙，讓乙射門(mén)好呢?為什么?(不考慮其他因 素) 解析： 迅速回傳乙，讓乙射門(mén)較好，在不考慮其他因素的情 況下，如果兩個(gè)點(diǎn)到球門(mén)的距離相差不大，要確定較 好的射門(mén)位置，關(guān)鍵看這兩個(gè)點(diǎn)各自對(duì)球門(mén)MN的張角 的大小，當(dāng)張角越大時(shí)，射中的機(jī)會(huì)就越大，如圖2所 示，則AMCNB，即BA，從而B(niǎo)處對(duì) MN的張角較大，在B處射門(mén)射中的機(jī)會(huì)大些. 看射門(mén)，做預(yù)測(cè) 在一場(chǎng)足球賽中，一隊(duì)員

13、從球門(mén)正前方12m處挑射， 當(dāng)球飛行水平距離3m時(shí)，球高為3m；當(dāng)球飛行水 平距離為8m時(shí)球高為4m，且球門(mén)框高2.5m，問(wèn)球 能否射進(jìn)？ 解析： 以球飛出時(shí)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系（如圖3），據(jù)已知條件可求 得足球飛行的路線（即拋物線）為 ，x12代入拋物線得y 1.22.5如此射門(mén)能進(jìn)球 看積分，做分析 在世界杯小組賽上，每四個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3 分，負(fù)隊(duì)得0分，平局兩隊(duì)各得1分小組賽結(jié)束后，總積分高的 兩隊(duì)出線，進(jìn)入下一輪比賽如果總積分相同，還要按進(jìn)一步的 規(guī)則排序 （1）一個(gè)隊(duì)為了晉級(jí)下一輪，至少要積幾分才能保證必然出線？ （2）一個(gè)隊(duì)只積3分，這個(gè)隊(duì)有可能出線嗎？為什么？ 解

14、析： （1）4個(gè)隊(duì)單循環(huán)賽要賽6場(chǎng)，每場(chǎng)比賽最多產(chǎn)生3分，6場(chǎng) 比賽最多產(chǎn)生18分若某隊(duì)積6分，則剩下12分，可能有另 兩個(gè)隊(duì)也各得6分，這樣就要按進(jìn)一步規(guī)則排序，因此該隊(duì) 有可能不出線；若一個(gè)隊(duì)積7分，則剩下11分，這樣另外三 個(gè)隊(duì)中不可能再有兩個(gè)隊(duì)積分等于或者超過(guò)7分，這樣該隊(duì) 必然出線因此一個(gè)隊(duì)為了晉級(jí)下一輪，至少要積分7分才 能保證必然出線 （2）有可能6場(chǎng)比賽都是平局，4個(gè)隊(duì)都只得了3分，按進(jìn) 一步規(guī)則排序，該隊(duì)如果處于前兩位，就有可能出線 課后練習(xí) 有一種足球由32塊黑白相同的牛皮縫制而 成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形， 一塊白皮周?chē)鐖D有3塊三塊黑皮，每塊黑 皮周?chē)?塊白皮

15、，請(qǐng)問(wèn)縫制一個(gè)足球需要 多少塊白皮，多少塊黑皮？ 紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行 想想你有多少中解法 解法一：從五邊形和六邊形的邊數(shù) 著手 分析：一個(gè)正五邊形有5條邊，一個(gè)正六邊形 有6條邊，從圖中可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)正六邊形中恰 好有3條邊與五邊形的邊重合，而正五邊形的 每條邊都與正六邊形的邊重合。因此，六邊形 的總邊數(shù)為五邊形的總邊數(shù)的2倍。 解：設(shè)足球中有x塊白皮，則有(32-x)塊黑皮。則 可列方程為 6x=25(32-x) 解之得 x=20 當(dāng)x=20時(shí)， 32-x=12 即：縫制一個(gè)足球需要20塊白皮，12塊黑皮。 解法二：從五邊形和六邊形的頂點(diǎn) 個(gè)數(shù)出發(fā) 分析：從圖形中可以發(fā)現(xiàn)，頂點(diǎn)的相交處總是 兩個(gè)六邊形的頂點(diǎn)和一個(gè)五邊形的頂點(diǎn)，因此， 六邊形的頂點(diǎn)總數(shù)為五邊形的頂點(diǎn)總數(shù)的2倍。 解：設(shè)足球中有x塊白皮，則有y塊黑皮。