第2章：單自由度振動(dòng)2

1、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES Prof. Lanhe Wu Shijiazhuang Tiedao Univ. Dynamics of Structures STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2.4有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng) 一、動(dòng)力方程及其解 設(shè) 11 sinmycykyFt 或 2 2sin F yyyt m 通解 )()()( * tytyty 12 ( )(sincos) t dd y tectct tDtDtysincos)( 21 * 1 222222 2 ()4 F D m 22 2 222222 ()4 F D m )sin

2、()( * tAty 2 2222 1 (1)4 F A m ss /s 2 2 tan 1 s s 代入動(dòng)力方程得 于是得到非齊次方程的一個(gè)特解 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 12 ( )(sincos)sin() t dd y tectctAt 00 )0()0(yyyy 1122 ( )sin()sin() sin() tt dd y tAetA et At 0 1 00 tan d y yy 22 00 10 () d yy Ay 2 2222 2 tan 2(-) d 代入一般解,可確定待定系數(shù).方程的通解即可寫為 若初始條件為 其中 222222 2 22

3、22 (2)2() (-)(2) d d F A m STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 初始條件自由振動(dòng) 伴隨自由振動(dòng) 純受迫振動(dòng) 1122 ( )sin()sin() sin() tt dd y tAetA et At 過渡階段：振動(dòng)開始三種振動(dòng)同時(shí)存在的階段； 平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動(dòng)的階段。（由于阻尼的 存在） 二、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特征 由于初始自由振動(dòng)和伴隨自由振動(dòng)都含有一個(gè)振幅衰減因子， 故經(jīng)過一段時(shí)間之后系統(tǒng)的振動(dòng)將趨于穩(wěn)定，工程上比較關(guān) 心穩(wěn)態(tài)解，即原方程的特解 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES ( )sin()y tAt st Ay

4、/s 2 2 tan 1 s s 2222 1 (1)4ss 2 st F y m 線性系統(tǒng)對簡諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是:頻率等同于激勵(lì)力頻率 而相位滯后于激勵(lì)力的簡諧振動(dòng). 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅和相位只取決 于系統(tǒng)本身的參數(shù)和激勵(lì)力的 頻率與力幅,而與系統(tǒng)的初始條 件無關(guān). ( ) s 如果以動(dòng)力系數(shù)為縱坐標(biāo)、 以無量綱頻率為橫坐標(biāo)畫出 的曲線稱為幅頻特性曲線 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 當(dāng) 1,/0s即時(shí) 2222 1 1 (1)4ss 1,s即時(shí) 2222 1 0 (1)4ss 當(dāng) 此時(shí)系統(tǒng)的振幅很小，質(zhì)點(diǎn)在平衡位置作微幅顫動(dòng) 1,s即時(shí) 2222 11 2 (1)4ss

5、 當(dāng) 此時(shí)系統(tǒng)的振幅急劇增大，若不考慮阻尼，其振幅將會(huì)是無 窮大，即出現(xiàn)共振現(xiàn)象 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 此時(shí)動(dòng)力系數(shù)受阻尼影響非常顯著，在0.75 / 1.25(共振 區(qū))內(nèi)，阻尼大大減小了受迫振動(dòng)的位移，因此, 為了研究共 振時(shí)的動(dòng)力反應(yīng), 阻尼的影響是不容忽略。 需要指出： max 并不是發(fā)生在1s 時(shí)，而是稍微偏左 2222 1 (1)4ss 令 d 0 ds max 2 1 21 如果以相位差為縱坐標(biāo)、以無量綱頻率為橫坐標(biāo)畫出的曲線 稱為相頻特性曲線 ( ) s 1 2 2 tan 1 s s 0 1 lim ( )0 lim ( ) lim ( )/

6、2 s s s s s s STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 表明受迫振動(dòng)的響應(yīng)與激勵(lì)在低頻范圍內(nèi)同相，在高頻范 圍內(nèi)反相，共振時(shí)的相位差/2 阻尼越小，同相和反相現(xiàn)象越明顯，增大阻尼，相位差逐漸 向 靠近，共振時(shí)的相位差與阻尼無關(guān) /2 2.5無阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng) 一、動(dòng)力方程及其解 動(dòng)力平衡方程為:( )0mykyF t 若干擾力為簡諧荷載：( )sinF tFt 2 sin F yyt m 則動(dòng)力方程為： 化為標(biāo)準(zhǔn)形式: STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 1122 ( )sin()sin() sin() tt dd y tAetA

7、et At 0 1 00 tan d y yy 22 00 10 () d yy Ay 222222 2 2222 (2)2() (-)(2) d d F A m 2 2222 2 tan 2(-) d 其中 該方程的解只需要令考慮阻尼時(shí)的解中的阻尼因子等于零而得 到原解為 令上式中的 0 st Ay 2 2 tan 1 s s 2222 1 (1)4ss 便有 112 ( )sin()sin+ siny tAtAt At STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0 1 0 tan y y 2 2 0 10 y Ay st Ay 2 1 1s 2 22 (-) F A m 2

8、st F y m 可以看到，系統(tǒng)的振動(dòng)仍然有三部分組成，即： 初始自由振動(dòng)、伴隨自由振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng) 若初始條件均為零，則有： 2 2222 222 ( )sin+ sinsinsin (-)(-) 1 (sinsin) 1 FF y tAt Attt mm F tt m tAtysin)( 可以看到，盡管初始條件為零，仍然有伴隨自由振動(dòng)發(fā)生 此時(shí)，穩(wěn)態(tài)解為 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 22 () F A m 22 2 1 1 st F y m -穩(wěn)態(tài)振幅 11 2 st F yF m 靜位移 22 /1 1 動(dòng)力系數(shù) 二、幅頻響應(yīng)曲線和振動(dòng)特征 重要的特性： 當(dāng)

9、/0時(shí), 1，荷載變化 得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。 當(dāng)0 / 1，并且隨 /的增大而增大。 1 0 2 3 123 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 當(dāng)/ 1時(shí), 。即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振 幅會(huì)無限增大。稱為“共振”。通常把0.75 / 1時(shí), 的絕對值隨/的增大而減小。當(dāng)很大時(shí)， 荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及反應(yīng), 0 。 思考: 0/1 /1 此時(shí)，由于體系上各截面的內(nèi)力、位移都與質(zhì)點(diǎn)處的位移 成正比，故各截面的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移可采用統(tǒng)一 的動(dòng)力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)按靜力方法 來計(jì)算即可。 三、結(jié)構(gòu)最大位移和內(nèi)力計(jì)算 1.動(dòng)荷載作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)(

10、干擾力與慣性力方向一致) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 計(jì)算步驟: 1.計(jì)算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內(nèi)力； 2.計(jì)算動(dòng)力系數(shù)； 3.將得到的位移、內(nèi)力乘以動(dòng)力系數(shù)即得動(dòng)位移幅值、動(dòng) 內(nèi)力幅值。 例 求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知 5 . 0 sinFt 1 EI EI EI F Pl/4 解. 3 11 24 l EI k 3 11 24 st FFl y kEI 3 4 /1 1 22 3 1 18 st Fl Ay EI Pl/3 動(dòng)彎矩幅值圖 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 例：已知m=300kg，I=90105N.m2 ,

11、k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。2m EI m k Psint 2m 解：1)求 3333 12 1 15 482 248192192 llll EIkEIEIEI 1 3 16.134 5 1921 s ml EI m 2)求動(dòng)力放大系數(shù) 22 1 1.552 1 333 3 max 5 51.552 20 105 4 5.75 10 192192 90 10 l yPPm EI 3)求ymax， Mmax mkNlPM.04.31420552. 1 4 1 )( 4 1 max STDU DYNAMICS OF STRUCTURES PP

12、 11 12 * tPsin )(ty )(sin)( 1112 ymtPty )(ty m tPsin 12 =1 11 =1 tPtytym sin)( 1 )( 11 12 11 令 tPtytym sin)( 1 )( * 11 t m P ty sin)( 2 * 11 * 2 * P m P A 11 11 12 P P 12 st y st y P 仍是位移動(dòng)力系數(shù) 是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎? 運(yùn)動(dòng)方程 穩(wěn)態(tài)解 振幅 2.動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)(干擾力與慣性力方向不一致) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 因?yàn)?tAtysin)( EI Pl l lPl EI y s

13、t 3 48 5 6 5 222 11 解: 5 .0例:求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.已知 tAtysin)( 2 tmAtIsin)( 2 tPtPsin)( 可以看到:干擾力與慣性力同頻同步變化,故只需要將干擾力幅 值和習(xí)慣性力幅值同時(shí)加在結(jié)構(gòu)上,此時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力即最大內(nèi)力. tPsin EI l/2l/2 )(ty Am 2 A 3 4 /1 1 22 EI Pl yA st 3 36 5 st y =1 11 2/Pl l STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 11 22 44 1 A mAmAI P 48 5 PP 48 5 Pl 96 5 Pl 48 29 解:

14、: 例:求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅 0 o M km P A 410 3 2 tPsin l k EI ll A P 2 mA 2 3 1 mAAk 3 2 o STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 考慮阻尼時(shí)，除動(dòng)力系數(shù)的計(jì)算不同之外，其它過程與無阻尼 類似。但要注意：干擾力與慣性力不再是同相位的 例例. .圖示為塊式基礎(chǔ)圖示為塊式基礎(chǔ). .機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為 ; ;地基豎向地基豎向 剛度為剛度為 ; ;豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為 機(jī)器轉(zhuǎn)速為機(jī)器轉(zhuǎn)速為N=800r/min, ,其偏心質(zhì)量引起的離心力為其偏心質(zhì)量引起的離心力為P=30kN. .求

15、豎向求豎向 振動(dòng)時(shí)的振幅。振動(dòng)時(shí)的振幅。 kg10156 3 m kg/m105 .1314 3 K2.0 解：解： m100228.0 105.1314 30 3 3 K P y st tPtPsin)( )s/1 (79.91 10156 105 .1314 3 6 m K )s/1 (78.832 60 N 49.2)/2()/1 (/1 2222 )mm(0568.0 st yA STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2m2m 例題例題1 尼，求梁中點(diǎn)的振幅。尼，求梁中點(diǎn)的振幅。不計(jì)梁自重，不計(jì)阻。不計(jì)梁自重，不計(jì)阻 分，質(zhì)心偏心距分，質(zhì)心偏心距轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)部分質(zhì)

16、量旋轉(zhuǎn)部分質(zhì)量 動(dòng)力機(jī)械質(zhì)量動(dòng)力機(jī)械質(zhì)量號工字鋼做成，號工字鋼做成，簡支梁由簡支梁由 mm 4 . 0e /500N ,kg 40 m ,kg 100m ,cm245I ,GPa 8 .205E10 4 1p 1 圖圖 1 M 解：解： 1、自振頻率、自振頻率： m/N 1064. 2 EI3 4 3 2 )21 2 1 ( EI 2 6 11 s/1 5 .61 10264100 1 m 1 6 11 3、離心力幅值、離心力幅值： N76.43104 . 0)3 .52(40emp 322 m1017. 476.431064. 2 ) 61.5 52.3 (-1 1 P 1 1 PAA 46

17、 2 11 2 2 11DsD 2、干擾力頻率、干擾力頻率： 1/s 3 .52 60 500 2 60 N2 4、梁中點(diǎn)的振幅、梁中點(diǎn)的振幅： )613. 3( D STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2m2m 例題例題2 位移。位移。，求梁中點(diǎn)的振幅及總，求梁中點(diǎn)的振幅及總尼，尼，。不計(jì)梁自重，考慮阻。不計(jì)梁自重，考慮阻 分，質(zhì)心偏心距分，質(zhì)心偏心距轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)部分質(zhì)量旋轉(zhuǎn)部分質(zhì)量 動(dòng)力機(jī)械質(zhì)量動(dòng)力機(jī)械質(zhì)量號工字鋼做成，號工字鋼做成，簡支梁由簡支梁由 05. 0mm 4 . 0e /500N ,kg 40 m ,kg 100m ,cm245I ,GPa 8 .205

18、E10 4 解解：（一）不共振情況：（一）不共振情況 1、動(dòng)力系數(shù)、動(dòng)力系數(shù)： 45. 3 5 .61 3 .5205. 04 ) 5 .61 3 .52 1( 1 4 )1( 1 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 D 2、動(dòng)位移幅值、動(dòng)位移幅值： m10987. 31064. 278.4345. 3PA 46 11D 3、梁中點(diǎn)的總位移、梁中點(diǎn)的總位移： m10986. 210987. 31064. 28 . 9100AW 346 11max STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 動(dòng)力彎矩圖的繪制動(dòng)力彎矩圖的繪制 動(dòng)力系數(shù)法動(dòng)力系數(shù)法 N 15176.4345.

19、3P D 151 )m.N(M圖圖動(dòng)動(dòng) 980NmgW 980 )m.N(M圖圖靜靜 1131 )m.N(M圖圖最后最后 829 若用一般方法，則必須考慮干擾力與慣性力的相伴差若用一般方法，則必須考慮干擾力與慣性力的相伴差 )tsin(p)tsin( 4 )1( A y 11D 2 22 2 2 2 S 任意時(shí)刻的位移：任意時(shí)刻的位移： * 確定動(dòng)位移達(dá)到幅值時(shí)的時(shí)間確定動(dòng)位移達(dá)到幅值時(shí)的時(shí)間 t 1)tsin( 確定確定由由 30. 0)308. 0(tg 308. 0 3 .525 .61 3 .525 .6105. 022 tg -1 2222 STDU DYNAMICS OF STRU

20、CTURES sin()1 - 2 0.30 22 t0.0358 52.3 tt s 當(dāng)時(shí) * 確定慣性力幅值和動(dòng)荷載幅確定慣性力幅值和動(dòng)荷載幅 NtptP 79.41)0358. 03 .52sin(76.43sin)( * N 1 .10910987. 3 3 . 52100AmPm ym)t (I 4222 11D tt * * * 將慣性力幅值和動(dòng)荷載幅加在體系上，繪動(dòng)力彎矩圖將慣性力幅值和動(dòng)荷載幅加在體系上，繪動(dòng)力彎矩圖 N 79.41 1501 )m.N(M圖圖動(dòng)動(dòng) N 1 .109 980NmgW 980 )m.N(M圖圖靜靜 1131 )m.N(M圖圖最后最后 829 STD

21、U DYNAMICS OF STRUCTURES （二）共振情況（二）共振情況 1、動(dòng)力系數(shù)、動(dòng)力系數(shù)： 10 05. 02 1 2 1 max 2、動(dòng)位移幅值、動(dòng)位移幅值：m10155. 11064. 276.4310PA 36 11D 3、梁中點(diǎn)的總位移、梁中點(diǎn)的總位移： m10743. 310155. 11064. 28 . 9100AW 336 11max 設(shè)自振頻率在計(jì)算過程中有設(shè)自振頻率在計(jì)算過程中有25%的誤差，則的誤差，則 61.5（125%） 61.5(125%） 46.125 76.875 而而 =52.3，產(chǎn)生共振。，產(chǎn)生共振。 N 43876.4310 P D 438

22、)m.N(M圖圖動(dòng)動(dòng) 980NmgW 980 )m.N(M圖圖靜靜 1418 )m.N(M圖圖最后最后 542 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 四、受迫振動(dòng)的過渡階段 在系統(tǒng)受到激勵(lì)開始振動(dòng)的初始階段，其自由振動(dòng)伴隨受 迫振動(dòng)同時(shí)發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊 加。為簡單起見忽略阻尼，設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程和初始條 件分別為 2 sin F yyt m 若初始條件均為零，則方程的解為： 2 1 ( )(sinsin) 1 st y tytst s 若激勵(lì)頻率與固有頻率十分接近，可令 1 2s 為小量 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2 (

23、)(sinsin) 1 (441) st y y ttst (sinsin) 4 st y tst sin(12 )sin 4 st y tst 此時(shí) sincos2cossin2sin 4 st y ttttt cossin2 4 st y tt 2cossincos 4 st y ttt sincos 2 st y tt 這種在接近共振時(shí)發(fā)生的特殊振動(dòng)現(xiàn)象稱作拍拍， / 可以看作是頻率為振幅按0 sin 2 st y t 緩慢變化的振動(dòng) 拍的周期為 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES ( )y t sin 2 st y t sin 2 st y t 2 2 st y 上

24、式描述了無阻尼系統(tǒng)共振時(shí)，振幅隨時(shí)間無限增大的過程。 響應(yīng)曲線見下圖。 ( )sincos 2 st y y ttt cos 2 st y tt cos 2 st y tt STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 五、簡諧慣性力激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng) 以地基振動(dòng)為例，設(shè)安裝質(zhì)量彈簧 系統(tǒng)的基座沿軸方向作振幅為xB 頻率為的簡諧振動(dòng) f sinxBt STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 則在物體上產(chǎn)生的簡諧振變化的慣 性力為 2 f sinFmxmBt 將物體相對基座的位移記作 1 x 則動(dòng)力學(xué)方程可寫成 22 111 2sinxxxBt 令相對振動(dòng)的振幅為 1 A

25、 11 AB 得到 111 sin()xAt 0 /s 振幅放大因子 2 1 222 ( ) (1)(2) s s ss 1 2 2 ( )arctan 1 s s s 相位差 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 1 0 lim( )0 s s 1 lim( )1 s s 其幅頻特性和相頻特性曲線如下 圖 不難知道 1 0 lim( )0 s s 1 lim( ) s s 1 1 lim( )/ 2 s s STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 當(dāng)激勵(lì)力頻率遠(yuǎn)小于固有頻率時(shí)，相對運(yùn)動(dòng)的振幅接近于 零，相位接近相同，這說明系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)相對于基座無相對 運(yùn)動(dòng)，而

26、是與基座一起作同步的緩慢的運(yùn)動(dòng). 當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，相對運(yùn)動(dòng)的振幅接近 于基座運(yùn)動(dòng)的振幅，但相位正好相反，這說明此時(shí)的系統(tǒng) 與基座作反相等幅的運(yùn)動(dòng)，或者說質(zhì)點(diǎn)此時(shí)基本處于靜止 狀態(tài)，絕對運(yùn)動(dòng)的振幅接近于零。 當(dāng)激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，依然存在著振幅急劇增 大的共振現(xiàn)象。 若將質(zhì)點(diǎn)相對慣性坐標(biāo)系的絕對位移作為響應(yīng) x 1f11 sin()sin sin()sin() xxxBtBt AtBt 其中A為絕對運(yùn)動(dòng)的振幅。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2 222 1 (2) ( )/ (1)(2) s sA B ss 2 2 ( )arctanarctan

27、(2) 1 s ss s 例：已知圖示梁的彎曲剛度為EI,支座產(chǎn)生微小豎向振動(dòng) sin A ydt 求: 質(zhì)量m穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 的振幅. 解： 此圖可等效為其中 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2.6 工程中的受迫振動(dòng)問題 一、慣性式測振儀 22 2sinxxxBt 設(shè)x為質(zhì)點(diǎn)m相對于外殼的位移, 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為 相對運(yùn)動(dòng)的振幅為 2 1 222 (1)(2) s AB ss STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 1 lim s AB 因?yàn)?儀器的讀數(shù)幅值接近于外殼振動(dòng)的振幅 此時(shí)該儀器可以用來測定設(shè)備振動(dòng)的振幅,稱為位移計(jì) 2 1 2 222 1 (1

28、)(2) B A ss 振幅還可以寫為 22 1 0 lim/ s AB 當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)大于外殼（基座）的振動(dòng)頻率時(shí)，儀 器的讀數(shù)幅值與外殼加速度的幅值成正比。因此，測振儀 應(yīng)是根據(jù)不同的用途選擇其固有頻率。低固有頻率的測振 儀用于測量振動(dòng)的位移幅值，稱為位移計(jì)。高固有頻率的 測振儀用于測量振動(dòng)的加速度幅值，稱為加速度計(jì). 而 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 設(shè)隔振前機(jī)器傳至地基的力為 0 sinFt 二、振動(dòng)的隔離 將作為振源的機(jī)器設(shè)備 與地基隔離，以減少對 環(huán)境的影響，這種隔振 稱為主動(dòng)隔振主動(dòng)隔振。隔離的 方法是在機(jī)器與地基之 間墊置一些彈性阻尼材 料 . S

29、TDU DYNAMICS OF STRUCTURES 隔振后，機(jī)器在激勵(lì)力作用下的受迫振動(dòng)幅頻特性為 0 222 1 (1)(2) F A k ss 隔振后機(jī)器通過彈簧和阻尼器傳遞至地基的力為 1 cos()sin()Fcxkxc AtkAt 計(jì)算 1 F的模的幅值，得到 2 222 1m0 222 1 (2) (1)(2) s Fkc AF ss 導(dǎo)出主動(dòng)隔振系數(shù) 2 1m 222 0 1 (2) (1)(2) Fs Fss STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 例 求：隔振后傳到地基上的力幅值。 解： STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 將地基的振動(dòng)與

30、機(jī)器設(shè)備隔離開來，以免將地基的振動(dòng)傳至 設(shè)備，稱為被動(dòng)隔振被動(dòng)隔振。隔振的方法依然是設(shè)置彈性阻尼墊層。 2 222 1 (2) (1)(2) As Bss 可以導(dǎo)得，被動(dòng)隔振系數(shù)與主動(dòng)隔振系數(shù)完全相同。 三、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 發(fā)電機(jī)、汽輪機(jī)等一類高速旋轉(zhuǎn)的機(jī)械在開機(jī)和停機(jī)的過程 中，在經(jīng)過某一轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子會(huì)發(fā)生劇烈振動(dòng)，類似于共振， 此時(shí)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 考慮垂直放置的無質(zhì)量撓性軸，兩 端簡支，其中部有一剛性圓盤 設(shè)軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 盤的質(zhì)心C與盤心不重合 1 O 1 O 偏離軸承連線與盤面的交點(diǎn)O 由于軸的彎曲變形，使盤的中心 質(zhì)心與

31、形心的偏心距為e 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè) 則 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 假設(shè)軸對圓盤的阻尼力正 比于盤形心的速度，根據(jù) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有 為清楚起見，我們畫 出盤的俯視圖 2 2 2 2 d (cos) d d (sin) d mxetkxcx t myetkycy t 即 上式右端可以看作激勵(lì)力旋轉(zhuǎn)矢量 在x和y軸方向的投影 2i t mee 作用點(diǎn)在C,方向沿O1C。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2 0 /k m 0 2/c m 0 /s 引入?yún)?shù) 2 1 222 ( ) (1)(2) s s ss 1 2 2 ( )arcta

32、n 1 s s s 22 00 22 00 2cos 2sin xxxet yyyet 其解為 可見形心的軌跡 為一個(gè)圓,軸作弓 形回旋,回旋的頻 率與軸自轉(zhuǎn)的頻 率相同 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 形心的動(dòng)撓度為 2 1 222 (1)(2) es fe ss 當(dāng)1s 時(shí)盤的振幅急劇增大而產(chǎn)生共振。 0 稱作轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 共振時(shí)的轉(zhuǎn)速 將水平位移和豎向位移合成一個(gè)矢量irxy 11 1 i()i()tt erfee 而激勵(lì)力旋轉(zhuǎn)矢量為 2i t mee 可見位移矢量落后旋轉(zhuǎn)力矢量一個(gè) 角度 1 2 2 arctan() 1 s s STDU DYNAMICS O

33、F STRUCTURES OO1 C OO1 C OO1 C 當(dāng) 1s 0 1 0/2 轉(zhuǎn)子重邊飛出 當(dāng) 1s 0 1 /2 轉(zhuǎn)子輕邊飛出 當(dāng)s 0 1 質(zhì)心不動(dòng) 1 1 思考: 轉(zhuǎn)子過臨界時(shí)應(yīng)注意些什么問題?你能提出一些具 體措施嗎? STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2.7 任意周期激勵(lì)的響應(yīng) 一、諧波分析法 實(shí)際工程中大多數(shù)激勵(lì)為周期激勵(lì)而少有簡諧激勵(lì) 假定系統(tǒng)受到的激勵(lì)力為 根據(jù)Fourier級數(shù)理論,它可以展開為無窮多個(gè)諧和函數(shù)的疊加 , 即 0 1 ( )(cossin) 2 nn n a F tan tbn t 0 2 ( )d T aF tt T 2 (

34、)cosd T n aF tn t t T 2 ( )sind T n bF tn t t T Fourier系數(shù)為 2 T STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 運(yùn)動(dòng)微分方程為 0 1 (cossin) 2 nn n a mxcxkxan tbn t 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 0 1 cos()sin() 2 nnnn nn n aab xn tn t kkk 222 1 () (1)(2) nn nn s ss 2 2 ()arctan 1 n nn n s s s 0 / n sn i ( ) nwt n n F tF e /2 /2 -i 1 ( )d T T nwt n F

35、 tt T Fe STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 這種將周期力展開成Fourier級數(shù)的分析方法稱為諧波分析法 i() n n t n n xA e 1 nnn AF k 0, 1, 2,n 222 1 () (1)(2) nn nn s ss 2 2 ()arctan 1 n nn n s s s 以各階頻率為橫坐標(biāo)，作出 n 和 n 的離散圖形稱作頻譜圖 。根據(jù)頻譜圖分析周期激勵(lì)力響應(yīng)狀況稱作頻譜分析法 例 設(shè)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵(lì)，如圖 0 0 (0/2) ( ) ( /2) FtT F t FTtT 求此系統(tǒng)的響應(yīng) 0 /1/6 0.1 STD

36、U DYNAMICS OF STRUCTURES 解: : 0 1 ( )(cossin) 2 nn n a F tan tbn t 0 2 ( )d0 T aF tt T 2 ( )cosd0 T n aF tn t t T 因?yàn)?關(guān)于 反對稱,( )F t/2T cosn t/ 2T而1和 關(guān)于 正對稱，所以有 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2 ( )sind T n bF tn t t T n 為偶數(shù)時(shí) 因?yàn)?關(guān)于 和 正對稱( )F t/4T3/4T 關(guān)于 和 反對稱 sinn t /4T3/4T 故2,4,6,n n為奇數(shù)時(shí)關(guān)于 和 正對稱sinn t /4

37、T3/4T 故 /4 0 0 00 428 ( )sindsind TT n F bF tn t tFn t t TTn 2 ( )sind0 T n bF tn t t T 1,3,5,n 于是 0 411 ( )(sinsin3sin) 3 F F tttn t n STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0 1,3,5, 4 sin() nn n F k xn t 222 1 (1)(2) n nn nss 2 2 arctan 1 n n n s s 0 n n s 相應(yīng)的頻譜圖為 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES A O r l B x c k

38、例例 設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿機(jī)構(gòu)與活 塞相連，如圖所示 連桿AB長度為l 兩者的質(zhì)量不計(jì) 活塞B的質(zhì)量為 1 m 發(fā)動(dòng)機(jī)與地面之間以剛度系數(shù)為k 和阻尼系數(shù)為c 的阻尼器相隔，曲柄以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng) rl只保留 /r l 的一次項(xiàng)。 試計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)的響應(yīng)。 解解 將和作為輔助坐標(biāo) 活塞的位置坐標(biāo)為 x坐標(biāo)軸以O(shè)點(diǎn)的靜力平衡位置為原點(diǎn)建立 coscos B xxrl 曲柄OA長度為r 發(fā)動(dòng)機(jī)的總質(zhì)量為m 設(shè) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES sinsina 22 cos1sin1a 將上式對 t 求導(dǎo)，得到cosat t 將式coscos B xxrl對 t 二次求導(dǎo) 只保留的一次項(xiàng)

39、 ，得到 2 (coscos2) B xxrtat 對包括活塞在內(nèi)的發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)方程 2 11 ()(coscos2)mm xm xrtatkxcx 整理后得 2 1 (coscos2)mxcxkxm rtat 受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解為 1 1122 (cos)(cos2) m xrtt m 0 n n s 2 222 (1)(2) n n nn s nss 2 2 arctan 1 n n n s s 0 k m 2 c km 其中 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 2.8 非周期激勵(lì)的響應(yīng) 一、脈沖激勵(lì)的響應(yīng) 對于脈沖激勵(lì)的情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

40、單位脈沖力可利用Dirac-函數(shù)表示 ( )t也稱為單位脈沖函數(shù) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 在脈沖力作用和瞬間，位移來不及發(fā)生變化，但速度可以產(chǎn) 生突變 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 由沖量定理得 (0 )0 x 因 系統(tǒng)在單位脈沖作用下的響應(yīng)即為：初位移為0而初速度為 1/m的自由振動(dòng) d d 1 ( )sin( ) t x teth t m 若單位脈沖力不是作用在0t 時(shí)刻，而是作用在t 時(shí)刻，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)必須滯后時(shí)間間隔 () d d 1 ()sin() t h tet m ()t 若系統(tǒng)在t時(shí)刻受到?jīng)_量為 0 I 的脈沖力，則其響應(yīng)為 0 ( )()x tI h t()t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 二