結(jié)構(gòu)力學(xué)——第15章懸索計算

1、第十五章 懸索計算 15-1 概述 15-2 集中荷載作用下的單根懸索計算 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 15-5 懸索體系的計算 15-1 概 述 懸索：懸索：懸索結(jié)構(gòu)中的主要承重構(gòu)件，一般由高強(qiáng)度鋼材制成。懸索結(jié)構(gòu)中的主要承重構(gòu)件，一般由高強(qiáng)度鋼材制成。 懸索受力特性：懸索受力特性： 只產(chǎn)生軸向拉力。只產(chǎn)生軸向拉力。 懸索的優(yōu)點(diǎn)：懸索的優(yōu)點(diǎn)：受力合理，能充分利用高強(qiáng)度鋼材的優(yōu)點(diǎn)；受力合理，能充分利用高強(qiáng)度鋼材的優(yōu)點(diǎn)； 結(jié)構(gòu)自重輕；結(jié)構(gòu)自重輕； 較經(jīng)濟(jì)地跨越很大的跨度。較經(jīng)濟(jì)地跨越很大的跨度。 懸索的特征：懸索的特征：柔性結(jié)構(gòu)，幾何形

2、狀隨所受荷載不同而變化；柔性結(jié)構(gòu)，幾何形狀隨所受荷載不同而變化； 位移與外荷載的關(guān)系是非線性的；位移與外荷載的關(guān)系是非線性的； 按變形后的幾何形狀和尺寸建立平衡方程。按變形后的幾何形狀和尺寸建立平衡方程。 懸索懸索AB在豎向集中荷載作用的計算簡圖如圖在豎向集中荷載作用的計算簡圖如圖a所示。所示。 15-2 集中荷載作用下的單根懸索計算 圖圖b為相應(yīng)簡支梁。為相應(yīng)簡支梁。 將索端張力沿豎向和將索端張力沿豎向和 弦弦AB方向分解可得：方向分解可得： 可求得索端張力的水可求得索端張力的水 平與豎向分量為：平與豎向分量為： tan tan cos H 0 VV H 0 VV 0 RH FFF FFF

3、f M FF BB AA C C h M FFFFF C BBAA 0 R 0 VV 0 VV (a) 15-2 集中荷載作用下的單根懸索計算 即給定了懸索中任一點(diǎn)即給定了懸索中任一點(diǎn)K到弦到弦AB的豎直距離的豎直距離fK，索中張，索中張 力的水平分量可由下式確定力的水平分量可由下式確定 K K f M F 0 H (b) 0 K M為相應(yīng)簡支梁為相應(yīng)簡支梁K界面的彎矩。界面的彎矩。 FH在各索段中為常數(shù)，各索段的張力可由各集中力作用在各索段中為常數(shù)，各索段的張力可由各集中力作用 點(diǎn)的平衡方程求得，并可確定各索段的幾何位置。點(diǎn)的平衡方程求得，并可確定各索段的幾何位置。 例例15-1 求圖求圖a

4、所示懸索在集中荷載作用下各索端張力及幾何位置。所示懸索在集中荷載作用下各索端張力及幾何位置。 15-2 集中荷載作用下的單根懸索計算 解：由圖解：由圖a可得懸索可得懸索E點(diǎn)到弦點(diǎn)到弦 AB的豎直距離為的豎直距離為 m834. 3m4 . 4 m4 .10 m5 . 1 m2 . 3 E f mkN38.153 0 E M 作相應(yīng)簡支梁圖作相應(yīng)簡支梁圖b。 計算得計算得 由式由式(b)得得kN40 0 H E E f M F kN77.45kN23.44 0 V 0 V BA FF 由式由式(a)得得 15-2 集中荷載作用下的單根懸索計算 kN40tan kN50tan H 0 VV H 0

5、VV FFF FFF BB AA 由端點(diǎn)（由端點(diǎn)（A或或B）開始，依次考慮各結(jié)點(diǎn)處的平衡條件，）開始，依次考慮各結(jié)點(diǎn)處的平衡條件， 可求出以分量表示的各索段張力及幾何位置，如圖可求出以分量表示的各索段張力及幾何位置，如圖c。 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 1. 平衡微分方程平衡微分方程 懸索在分布荷載作用下的幾何形狀是曲線，如圖懸索在分布荷載作用下的幾何形狀是曲線，如圖a所示。所示。 )(xyy 索曲線索曲線 索兩端及索中任一點(diǎn)張索兩端及索中任一點(diǎn)張 力的水平分量力的水平分量FH為常量。為常量。 取任一微段索取任一微段索dx為隔離為隔離 體，其受力如圖體，其受力如圖b。 由由Fy=0

6、可得可得 0)( d d 2 2 H xq x y F(c) 單根懸索基本平衡微分方程單根懸索基本平衡微分方程 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 2. 常見分布荷載作用下平衡微分方程的解常見分布荷載作用下平衡微分方程的解 (1) 沿跨度方向均布荷載沿跨度方向均布荷載q作用，如圖。作用，如圖。由式由式(c)可得可得 H 2 2 d d F q x y 積分兩次并由邊界條件可得積分兩次并由邊界條件可得 給定懸索跨中垂度給定懸索跨中垂度f為控制值為控制值 x l c xlx F q y)( 2 H (d) 令令 f c y l x 2 , 2 由式由式(d)可得可得 f ql F 8 2 H

7、代入式代入式(d)可得可得 2 )(4 l xlfx x l c y 二次拋物線方程二次拋物線方程 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 2 )(4 l xlfx x l c y 弦弦AB的直線方程的直線方程 以弦以弦AB為基線的懸索曲線方程為基線的懸索曲線方程 當(dāng)當(dāng)AB為水平線時，為水平線時，c=0，有，有 2 )(4 l xlfx y 當(dāng)索曲線方程確定后，索中各點(diǎn)的張力為當(dāng)索曲線方程確定后，索中各點(diǎn)的張力為 2 HT d d 1 x y FF 當(dāng)索較平坦時，如當(dāng)索較平坦時，如f/l0.1，可近似為，可近似為 HT FF 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 (2) 沿索長度均布荷載沿索

8、長度均布荷載q作用，如圖。作用，如圖。 將將q轉(zhuǎn)化為沿跨度方向的轉(zhuǎn)化為沿跨度方向的 等效均布荷載等效均布荷載qy，由圖得，由圖得 2 d d 1 d d x y q x s qqy 代入式代入式(c)得得 2 H 2 2 d d 1 d d x y F q x y 積分并根據(jù)邊界條件可得積分并根據(jù)邊界條件可得 x lq F y 2 coshcosh H (e) 式中式中 sinh )( sinh 1l c H 2F ql 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 當(dāng)當(dāng)AB位于水平方向時，位于水平方向時，c=0有有 H 2F ql 可得可得 x F q q F y H H coshcosh(f)

9、若給定跨中垂度若給定跨中垂度f，則有，則有 ) 1(cosh H q F f 可算出可算出FH。 式式(e)與式與式 (f)表示的曲線為表示的曲線為懸鏈線懸鏈線。 曲線比較平坦時，可以用較簡單的拋物線代替懸鏈線；曲線比較平坦時，可以用較簡單的拋物線代替懸鏈線； 把沿索長度的均布荷載折算成沿跨度的均布荷載進(jìn)行計算。把沿索長度的均布荷載折算成沿跨度的均布荷載進(jìn)行計算。 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 3. 任意分布荷載作用下平衡微分方程的解任意分布荷載作用下平衡微分方程的解梁比擬法梁比擬法 懸索微分方程式懸索微分方程式(c) 與梁的平衡微分方程形式完全相同與梁的平衡微分方程形式完全相同 0

10、)( d d 2 2 xq x M 梁的平衡微分方程梁的平衡微分方程 若兩者有相同的邊界條件，可建立關(guān)系式若兩者有相同的邊界條件，可建立關(guān)系式 )()( H xMxyF 可得可得 對于兩端支座位于同一水平線的懸索，其兩端邊界條對于兩端支座位于同一水平線的懸索，其兩端邊界條 件與相應(yīng)簡支梁彎矩圖相同。件與相應(yīng)簡支梁彎矩圖相同。 H )( )( F xM xy(g) 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 如圖如圖a、b 懸索懸索AB x=0 時，時，y=0 x=l 時，時，y=0 相應(yīng)簡支梁相應(yīng)簡支梁AB x=0 時，時，M=0 x=l 時，時，M=0 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 圖

11、圖a為兩端支座高差為為兩端支座高差為c的的 懸索，在相應(yīng)簡支梁的一端加懸索，在相應(yīng)簡支梁的一端加 上集中力偶矩上集中力偶矩FHc，y與與M得到得到 相同的邊界條件，即相同的邊界條件，即 懸索懸索AB x=0 時，時，y=0 x =l 時，時，y=c 相應(yīng)簡支梁相應(yīng)簡支梁AB x=0 時，時，M=0 x=l 時，時，M=FHc 15-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 任意分布荷載作用下懸索曲線的形狀與相應(yīng)簡支梁彎矩任意分布荷載作用下懸索曲線的形狀與相應(yīng)簡支梁彎矩 圖的形狀完全相同。圖的形狀完全相同。 兩端等高的懸索曲線：由式兩端等高的懸索曲線：由式(g)直接計算。直接計算。 兩端支座高差為兩端支

12、座高差為c的懸索曲線：計算式為的懸索曲線：計算式為 x l c F xM xy H )( )(h) 式式(h)的第二項(xiàng)為懸索支座連線的第二項(xiàng)為懸索支座連線AB的豎標(biāo)，第一項(xiàng)為以的豎標(biāo)，第一項(xiàng)為以 弦弦AB為基線的懸索曲線豎標(biāo)為基線的懸索曲線豎標(biāo)y1(x)，即，即 H 1 )( )( F xM xy 由式由式(g)、(h)可得可得 如果用兩支座連線作為懸索線豎向坐標(biāo)的基線，無論兩支座等如果用兩支座連線作為懸索線豎向坐標(biāo)的基線，無論兩支座等 高與否，懸索曲線的形狀與相應(yīng)簡支梁彎矩圖的形狀相似，任高與否，懸索曲線的形狀與相應(yīng)簡支梁彎矩圖的形狀相似，任 意點(diǎn)豎標(biāo)之比為常數(shù)意點(diǎn)豎標(biāo)之比為常數(shù)FH。 15

13、-3 分布荷載作用下的單根懸索計算 4. 懸索長度的計算懸索長度的計算 如圖，由懸索如圖，由懸索AB中取中取 一微分單元一微分單元ds，有，有 x x y yxsd) d d (1ddd 222 積分可得懸索積分可得懸索AB的長度為的長度為 lB A x x y ss 0 2 d) d d (1d 將將 2 ) d d (1 x y 按級數(shù)展開，取兩項(xiàng)時按級數(shù)展開，取兩項(xiàng)時 取三項(xiàng)時取三項(xiàng)時 l x x y s 0 2 d ) d d ( 2 1 1 (i) l x x y x y s 0 42 d ) d d ( 8 1 ) d d ( 2 1 1 (j) 15-3 分布荷載作用下的單根懸索

14、計算 例例15-2 試求圖式形狀為拋物線的懸索長度。試求圖式形狀為拋物線的懸索長度。 解：設(shè)拋物線懸索方程為解：設(shè)拋物線懸索方程為 2 )(4 l xlfx x l c y x l f l fc x y 2 84 d d 代入式代入式(i)積分得懸索長度為積分得懸索長度為 ) 3 8 2 1 ( 2 2 2 2 l f l c ls 代入式代入式(h)積分得懸索長度為積分得懸索長度為 ) 4 5 32 3 8 82 1 ( 4 22 4 4 2 2 4 4 2 2 l fc l c l f l c l c ls 當(dāng)兩支座等高時當(dāng)兩支座等高時 ) 3 8 1 ( 2 2 l f ls l f f

15、 s 3 16 d d s l f f 3 16 垂度變化值大于懸索長度變化值垂度變化值大于懸索長度變化值 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 1. 懸索的變形協(xié)調(diào)方程懸索的變形協(xié)調(diào)方程 懸索實(shí)際問題的一般模式：懸索實(shí)際問題的一般模式： 已知初始狀態(tài)：荷載已知初始狀態(tài)：荷載q0，位置，位置y0，內(nèi)力，內(nèi)力FH0； 求解最終狀態(tài)：荷載增量求解最終狀態(tài)：荷載增量q，懸索位置，懸索位置y，內(nèi)力，內(nèi)力FH。 懸索的平衡方程中有兩個未知量：懸索的平衡方程中有兩個未知量：y，F(xiàn)H 要補(bǔ)充一個方程：變形協(xié)調(diào)方程要補(bǔ)充一個方程：變形協(xié)調(diào)方程內(nèi)力與位移的關(guān)系內(nèi)力與位移的關(guān)系 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)

16、方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 圖示懸索的初始位置為圖示懸索的初始位置為AB，最終位置為，最終位置為AB。 由幾何關(guān)系得由幾何關(guān)系得x x y yxsd) d d (1ddd 2 0 2 0 2 0 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 x x y x u yuxsd) d d () d d 1 (d)d(dd 2222 略去微小量略去微小量 2 ) d d ( x u x x y x u sd) d d ( d d 21d 2 x x y x x y x u ssd) d d (1d) d d ( d d 21dd 2 0 2 0 略去微小量略去微小量 2 0 2 ) d d (,) d

17、d ( x y x y 將上式根號按級數(shù)展開取兩項(xiàng)可得將上式根號按級數(shù)展開取兩項(xiàng)可得 x x y x y x u ssd ) d d ( 2 1 ) d d ( 2 1 d d dd 2 0 2 0 整根懸索總伸長量整根懸索總伸長量 lB A x x y x y x u sss 0 2 0 2 0 d ) d d ( 2 1 ) d d ( 2 1 d d dd 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 l x x y x y uus 0 2 0 2 LR d ) d d () d d ( 2 1uR-右端點(diǎn)支座右端點(diǎn)支座B水平位移水平位移 uL-左端點(diǎn)支座左端點(diǎn)支座A水平位移水平位移

18、將將y=y0+v代入上式得代入上式得 l x x y x v x y uus 0 2 0 LR d ) d d ( 2 1 d d d d 懸索伸長是由懸索內(nèi)力增量和溫度變化引起的，即懸索伸長是由懸索內(nèi)力增量和溫度變化引起的，即 ll lB A x x y tx x y EA F x x s t x s EA F st EA F s 0 2 0 0 2 0H 0 00H 0 T d d d 1d d d 1 d d d d d d 略去微小量略去微小量 2 0 ) d d ( x y tll EA FF tll EA F s H0HH 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 整理得整理

19、得tlx x y x y uul EA FF l 0 2 0 2 LR H0H d ) d d () d d ( 2 1 (k) tlx x v x v x y uul EA FF l 0 2 0 LR H0H d ) d d ( 2 1 d d d d 2 1 (m)或或 變變 形形 協(xié)協(xié) 調(diào)調(diào) 方方 程程 2. 單根懸索初態(tài)終態(tài)問題的求解單根懸索初態(tài)終態(tài)問題的求解 已知懸索初始狀態(tài)：荷載已知懸索初始狀態(tài)：荷載q0，曲線形狀函數(shù)，曲線形狀函數(shù)y0，初始內(nèi)力，初始內(nèi)力FH0 x l c F xM y 0 0H 0 0 )( M0(x)q0作用下相應(yīng)簡支梁的彎矩，作用下相應(yīng)簡支梁的彎矩， c0懸

20、索兩端支座高差。懸索兩端支座高差。 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 懸索最終狀態(tài)：荷載變?yōu)閼宜髯罱K狀態(tài)：荷載變?yōu)閝0+q，曲線形狀函數(shù)，曲線形狀函數(shù)y與懸索內(nèi)力與懸索內(nèi)力 FH必須滿足變形協(xié)調(diào)條件和終態(tài)的平衡條件必須滿足變形協(xié)調(diào)條件和終態(tài)的平衡條件 x l c F xM y H )( tlEA l uu EAx x y x y l EA FF l LR 0 2 0 2 H0H d ) d d () d d ( 2 有有 M (x)q作用下相應(yīng)簡支梁的彎矩，作用下相應(yīng)簡支梁的彎矩， c 終止?fàn)顟B(tài)懸索兩端支座高差。終止?fàn)顟B(tài)懸索兩端支座高差。 qqq 0 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程

21、及初態(tài)終態(tài)問題求解 整理可得整理可得tEA l uu EA l cc EA F D F D l EA FF LR 2 2 0 2 2 H0 0 2 H H0H 22 可解出可解出FH 式中式中 ll xFDxFD 0 2 S00 0 2 S dd 如支座位移與待定的索內(nèi)力有關(guān)時，需與支承結(jié)構(gòu)的如支座位移與待定的索內(nèi)力有關(guān)時，需與支承結(jié)構(gòu)的 剛度方程聯(lián)立求解；或用試算法確定支座位移。剛度方程聯(lián)立求解；或用試算法確定支座位移。 FS0-初始狀態(tài)相應(yīng)簡支梁的剪力初始狀態(tài)相應(yīng)簡支梁的剪力 FS -最終狀態(tài)相應(yīng)簡支梁的剪力最終狀態(tài)相應(yīng)簡支梁的剪力 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 均布荷載

22、作用下，小垂度拋物線懸索內(nèi)力的計算均布荷載作用下，小垂度拋物線懸索內(nèi)力的計算 初始狀態(tài)的長度初始狀態(tài)的長度 ) 3 8 2 1 ( 2 2 0 2 2 0 l f l c ls ) 3 8 2 1 ( 2 2 2 2 l f l c ls 最終狀態(tài)的長度最終狀態(tài)的長度 長度變化值為長度變化值為 2 2 0 2 0 3 8 l ff sss 變形協(xié)調(diào)方程為變形協(xié)調(diào)方程為 2 2 0 2 H0H 3 8 l ff l EA FF 平衡方程為平衡方程為 H 2 0H 2 0 0 8 8 F ql f F lq f 整理得整理得 迭代法計算迭代法計算 )( 24 2 H0 2 0 2 H 22 0HH

23、 F q F qEAl FF(n) 15-4 懸索的變形協(xié)調(diào)方程及初態(tài)終態(tài)問題求解 例例15-2 現(xiàn)有承受均布荷載拋物線的懸索，已知現(xiàn)有承受均布荷載拋物線的懸索，已知A=67.4mm2, E=166.6GPa，l=8m，q0=0.4kN/m，F(xiàn)H0=20kN，q=1kN/m. 試求懸索最終狀態(tài)水平張力試求懸索最終狀態(tài)水平張力FH及跨中垂度增量。及跨中垂度增量。 解：將已知數(shù)據(jù)代入式解：將已知數(shù)據(jù)代入式(n)整理得整理得0kN67.29946kN02. 8 32 H 3 H FF 寫成迭代形式寫成迭代形式 kN02. 8 kN67.29946 H 3 H F F迭代計算得迭代計算得kN97.33

24、 H F 初始跨中垂度初始跨中垂度 m160. 0 8 H0 2 0 0 F lq f 最終跨中垂度最終跨中垂度 m236. 0 8 H 2 F ql f 跨中垂度增量跨中垂度增量 m076. 0 0 fff 15-5 懸索體系的計算 懸索體系由多根懸索組成，用位移法計算。懸索體系由多根懸索組成，用位移法計算。 基本未知量：懸索結(jié)點(diǎn)位移基本未知量：懸索結(jié)點(diǎn)位移 計算單元：計算單元： 結(jié)點(diǎn)間的索段結(jié)點(diǎn)間的索段 1. 位移法的基本假定位移法的基本假定 (1) 懸索的應(yīng)力與應(yīng)變保持線性關(guān)系懸索的應(yīng)力與應(yīng)變保持線性關(guān)系 (2) 懸索僅承受結(jié)點(diǎn)集中荷載作用，懸索僅承受結(jié)點(diǎn)集中荷載作用， 相鄰結(jié)點(diǎn)間的索段

25、均為直線。相鄰結(jié)點(diǎn)間的索段均為直線。 15-5 懸索體系的計算 2. 位移法的典型方程位移法的典型方程 圖圖(a)表示空間懸索體系一表示空間懸索體系一 典型結(jié)點(diǎn)的初始狀態(tài)，匯交于典型結(jié)點(diǎn)的初始狀態(tài)，匯交于 此結(jié)點(diǎn)的懸索根數(shù)為此結(jié)點(diǎn)的懸索根數(shù)為n。 (a)(b) 設(shè)設(shè)j為任一索段的遠(yuǎn)端結(jié)點(diǎn)如圖為任一索段的遠(yuǎn)端結(jié)點(diǎn)如圖(b)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)i發(fā)生位移發(fā)生位移ui、vi、wi時時 結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)j由初始位置由初始位置 j0(xj , yj , wj)移至位置移至位置 j(xj+uj , yj+vj , zj+wj)。 15-5 懸索體系的計算 初始狀態(tài)結(jié)點(diǎn)上無外荷初始狀態(tài)結(jié)點(diǎn)上無外荷 載作用，結(jié)點(diǎn)載作用，

26、結(jié)點(diǎn)i的平衡條件為的平衡條件為 j ij ij ij j ij ij ij j ij ij ij zz l F yy l F xx l F 0)( 0)( 0)( 0 0 T 0 0 T 0 0 T 初始狀態(tài)索段初始狀態(tài)索段ij長度為長度為 2220 )()()( ijijijij zzyyxxl 當(dāng)結(jié)點(diǎn)承受荷載時，結(jié)當(dāng)結(jié)點(diǎn)承受荷載時，結(jié) 點(diǎn)點(diǎn)i的平衡條件為的平衡條件為 j ziiijj ij ij j yiiijj ij ij j xiiijj ij ij Fwzwz l F Fvyvy l F Fuxux l F 0)( 0)( 0)( T T T 最終狀態(tài)索段最終狀態(tài)索段ij長度為長度為

27、 222 )()()( iijjiijjiijjij wzwzvyvyuxuxl 15-5 懸索體系的計算 整整 理理 后后 可可 得得 ijij ij ijijij j ij ij ijij iz j ij ij ij zi ijij ij ijijij j ij ij ijij iy j ij ij ij yi ijij ij ijijij j ij ij ijij ix j ij ij ij xi azz l tEAFEA ww l tEAF Rzz l tEA F ayy l tEAFEA vv l tEAF Ryy l tEA F axx l tEAFEA uu l tEAF Rxx l tEA F )()( )( )()( )( )()( )( 0 0 T 0 0 T 0 0 0 T 0 0 T 0 0 0 T 0 0 T 0 ( i=1, 2, 3, , N ) 典典 型型 方方 程程 15-5 懸索體系的計算 典型方程寫成矩陣形式典型方程寫成矩陣形式KRF F結(jié)點(diǎn)荷載