2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收同步配套教學(xué)案 -5VIP

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三講 柯西不等式與排序不等式 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p37考情分析從近兩年高考來(lái)看，對(duì)本部分內(nèi)容還未單獨(dú)考查，可也不能忽視，利用柯西不等式構(gòu)造“平方和的積”與“積的和的平方”，利用排序不等式證明成“對(duì)稱形式，或兩端是“齊次式”形式的不等式問(wèn)題真題體驗(yàn)1（陜西高考）設(shè)a，b，m，nr ，且 a2b25，manb5，則 的最小值為_(kāi)解析：由柯西不等式得（a2b2)(m2n2）(manb)2，將已知代入得m2n25 ，當(dāng)且僅當(dāng)“時(shí)等號(hào)成立答案：2（福建高考）已知定義在r上的函數(shù)f（x）|x1|x2|的最小值為a。(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2

2、q2r23.解:（1)因?yàn)閤1|x2（x1)（x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f（x)的最小值等于3，即a3.(2）由(1）知pqr3，又因?yàn)閜，q,r是正實(shí)數(shù)，所以（p2q2r2)（121212)(p1q1r1）2（pqr）29,即p2q2r23. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p37利用柯西不等式證明有關(guān)不等式問(wèn)題柯西不等式的一般形式為（aaa)（bbb）(a1b1a2b2anbn)2(ai，bir，i1，2，n)，形式簡(jiǎn)潔、美觀、對(duì)稱性強(qiáng),靈活地運(yùn)用柯西不等式,可以使一些較為困難的不等式證明問(wèn)題迎刃而解例1已知a，b,c，d為不全相等的正數(shù)，求證:.證明由柯西不等式()（）（）2，于是等號(hào)成立

3、abcd.又已知a，b，c，d不全相等，則中等號(hào)不成立即。利用排序不等式證明有關(guān)的不等式問(wèn)題排序不等式具有自己獨(dú)特的體現(xiàn)：多個(gè)變量的排列與其大小順序有關(guān),特別是與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問(wèn)題,利用排序不等式解決往往很簡(jiǎn)捷例2設(shè)a，b,c為實(shí)數(shù),求證：a10b10c10。證明由對(duì)稱性，不妨設(shè)abc，于是a12b12c12，。由排序不等式：順序和亂序和得。又因?yàn)閍11b11c11，再次由排序不等式:反序和亂序和得.由得a10b10c10.利用柯西不等式或排序不等式求最值問(wèn)題有關(guān)不等式問(wèn)題往往要涉及到對(duì)式子或量的范圍的限定其中含有多變量限制條件的最值問(wèn)題往往難以處理在這類題目中，利用柯西不等式

4、或排序不等式處理往往比較容易例3已知5a23b2,求a22abb2的最大值解（a)2(b)22(ab）2a22abb2，當(dāng)且僅當(dāng)5a3b即a，b時(shí)取等號(hào)（5a23b2）a22abb2.a22abb2(5a23b2)1。a22abb2的最大值為1.例4 已知正實(shí)數(shù)x1，x2，xn滿足x1x2xnp，p為定值，求f的最小值解不妨設(shè)0x1x2xn則0且00,f(x) 。當(dāng)且僅當(dāng)3，即2（2x）3（x)即x時(shí)等號(hào)成立答案：c7設(shè)a，b，c為正數(shù),ab4c1，則2的最大值是（)a。 b.c2 d。解析：1ab4c()2(）2（2）2（）2()2（2）2(121212)(2)2，(2）23。即當(dāng)且僅當(dāng)ab

5、4c時(shí)等式成立，所求為.答案：b8函數(shù)f（x）cos x，則f(x)的最大值是()a。 b。c1 d2解析：由f(x）cos x，所以f(x) cos x 。當(dāng)且僅當(dāng)cos x時(shí)取等號(hào)答案:a9已知abc1，且a,b，cr,則的最小值為()a1 b3c6 d9解析:abc1，2（abc)（ab)(bc)（ca）(111）29.答案：d10設(shè)c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列（a1,a2,an均為正數(shù)），則的最小值是（)a。 bnc1 d不能確定解析:不妨設(shè)0a1a2an，則，,，,是，,，的一個(gè)排列，又反序和亂序和,所以n.答案：b二、填空題（本大題共4小題,每小題5分,共20分把正

6、確答案填寫在題中橫線上)11x，yr，若xy1，則x2y2的最小值為_(kāi)解析：令a（1,1)，b（x，y)，則abxy1,又|aba|b|,1（）2(）22(x2y2）當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)x2y2。答案：12已知a，b，c是三角形三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)，則的最小值是_解析：(abc）（111)29,而abc，故，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立答案：13函數(shù)y2的最大值是_解析：y .當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)答案:14已知a，b，x，y均為正數(shù)，且，xy，則與的大小關(guān)系是_解析：，ba0.又xy0，由排序不等式知，bxay。又0,.答案:三、解答題（本大題共4小題,共50分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

7、算步驟)15(本小題滿分12分)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2bc1，a2b2c21，求證：c1.證明：因?yàn)閍2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222）(a2b2)（a2b）2，5（1c2)（1c）2，整理得,3c2c20，解得c1。c1。16(本小題滿分12分）求函數(shù)y的最大值解:由1sin x0,4sin x10，得sin x1，則y22(14），即y，當(dāng)且僅當(dāng)4(1sin x)sin x即sin x時(shí)等號(hào)成立,所以函數(shù)y的最大值為.17（本小題滿分12分）設(shè)a，b，cr，求證：。證明:（bc)（ca)(ab)2(abc)2，即2（abc)(abc）2。又a，b，cr，.18(本小題滿分12分）(1)已知：a，br，ab4，證明：1；（2)已知： a，b，cr，abc9,證明：1；并類比上面的結(jié)論，寫出推廣后的一般性結(jié)論(不需證明）證明：(1)根據(jù)柯西不等式:（ab）24，ab4,1.(2）根據(jù)柯西不等式：（ab